【绿色通道】高考数学总复习 94直接证明与间接证明 A

考纲要求1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．热点提示1.本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主．2．反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题.1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的

，最后推导出所要证明的结论从要

出发，逐步寻求使它成立的

，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因框图表示→→…→文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…推理论证成立证明的结论充分条件综合法和分析法有什么区别与联系？

提示：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种.

2.间接证明反证法：假设原命题

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾答案：A答案：B3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 ()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数答案：B4．设a、b、c∈(0，＋∞)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的 ()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件 D．即不充分又不必要条件解析：必要性是显然成立的，当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P>0，Q<0，R<0，则Q＋R＝2c<0，这与c>0矛盾，即充分性也成立．答案：C

当要证的不等式较复杂，两端差异难以消除或者已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法，分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程，能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法.证明：要证 ，只需证b2－ac<3a2，∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证2a2－ab－b2>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，所以(a－b)(a－c)>0，显然成立，故原不等式成立

思路分析：题目中出现了“不是”这个词语，要直接去进行解答会有困难，通常用反证法来证明．本题若用直接法证明，难以入手，用反证法证明，假设数列{an}是等比数列，得出矛盾即可．题目中如果出现“不是”“至少”“不可能”等词语时，通常采用反证法证明.

变式迁移3

已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.①由题意a、b、c互不相等，∴①式不成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【例4】已知常数a>0，n为正整数，fn(x)＝xn－(x＋a)n(x>0)是关于x的函数．(1)判定函数fn(x)的单调性，并证明你的结论；(2)对任意n>a，证明f′n＋1(n＋1)<(n＋1)f′n(n)．证明：(1)f′n(x)＝nxn－1－n(x＋a)n－1＝n[xn－1－(x＋a)n－1]，∵a>0，x>0，∴f′n(x)<0，∴fn(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知当x>a>0时，fn(x)＝xn－(x＋a)n是关于x的减函数，∴当n≥2时，有(n＋1)n－(n＋1＋a)n<nn－(n＋a)n.又∵f′n＋1(x)＝(n＋1)[xn－(x＋a)n]，∴f′n＋1(n＋1)＝(n＋1)[(n＋1)n－(n＋1＋a)n]<(n＋1)[nn－(n＋a)n]＝(n＋1)[nn－(n＋a)(n＋a)n－1]．(n＋1)f′n(n)＝(n＋1)n[nn－1－(n＋a)n－1]＝(n＋1)[nn－n(n＋a)n－1]，∵n＋a>n，∴f′n＋1(n＋1)<(n＋1)f′n(n)．解：(1)∵f′(x)＝ax2＋2bx＋c，由题意及导数的几何意义得，f′(1)＝a＋2b＋c＝0，①f′(m)＝am2＋2bm＋c＝－a，②由a<b<c可得，4a<a＋2b＋c<4c，即4a<0<4c，故a<0，c>0，由①得c＝－a－2b，代入a<b<c，再由a<0，

1．关于综合法与分析法(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证．用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已经证明过的结论，B为要证明的结论．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．(3)当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用分析法，从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条