【绿色通道】高考数学总复习 44数系的扩充与复数的引用 A

考纲要求1.理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．热点提示1.从近几年的高考试题看，复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点，通常分两种题型，即选择题和填空题．一是考查复数的概念，如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等基础知识．2．预测2011年高考命题仍会以考查复数的概念，包括以实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点进行命题.1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的

．若

，则a＋bi为实数，若

，则a＋bi为虚数，若

，则a＋bi为纯虚数．实部和虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔

(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔

(a，b，c，d∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．

叫做实轴，

叫做虚轴．实轴上的点都表示

；除原点外，虚轴上的点都表示

；各象限内的点都表示

．a＝c且b＝da＝c，b＝－dx轴y轴实数纯虚数非纯虚数3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝

；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝

；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝

；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝

，(z1＋z2)＋z3＝

．z2＋z1z1＋(z2＋z3)任意两复数能比较大小吗？提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小.

答案：D

2．若复数z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则复数z＝的共轭复数所对应的点位于复平面的 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C

答案：B

5．设i为虚数单位，那么1＋i＋i2＋…＋i10＝________.解析：1＋i＋i2＋…＋i10＝[1＋i＋(－1)＋(－i)]＋[1＋i＋(－1)＋(－i)]＋(1＋i－1)＝0＋0＋i＝i.答案：i此题是基础题，用到了复数的分类．在对复数进行分类时要注意，使得虚部和实部均有意义，如当z为实数时，应有虚部b＝0，还要保证实部a有意义；当z为虚数时，应有虚部b≠0，还要保证实部a有意义；当z为纯虚数时，应有实部a＝0，还要保证虚部b≠0，否则容易发生错误，在做题时要特别小心.

【例2】已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.思路分析：设x＝a＋bi，y＝a－bi(a，b∈R)，根据复数相等的条件求解．解这类题的关键是将复数设成z＝a＋bi(a，b∈R)的代数形式，然后根据复数相等，实现复数问题向实数问题的转化，使问题得以解决.

答案：C

思路分析：主要是应用复数的加、减、乘、除的运算法则及其运算技巧．思路分析：求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应的复数即可．解决这类题是利用复数a＋bi(a，b∈R)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解.

答案：C

1．复数的代数运算(1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知识有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的性质．2．复数的几何意义(1)(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．