第五章微分方程模型

第五章微分方程模型5.1传染病模型5.2经济增长模型5.3

正规战与游击战5.4药物在体内的分布与排除5.5香烟过滤嘴的作用5.6人口预测和控制5.7烟雾的扩散与消失5.8万有引力定律的发现动态模型

描述对象特征随时间(空间)的演变过程

分析对象特征的变化规律

预报对象特征的未来性态

研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程经济增长理论是古老而有时髦且备受争议的研究领域之一。早在18世纪，古典经济学家Adam•Smith最早认识到经济增长的动力在于劳动分工、资本积累和技术进步，Rechardo发现了规模报酬递减，像ThomasMalthus,FrankRamrey,AllynYonug等都对经济增长有所贡献。新古典经济学的基础是Solow（1956）和Swan（1956），其模型描述了完全竞争的经济，产出的增长对应于资本和劳动投入的增长，其生产函数与储蓄率不变的假设相结合，是一个很简单的一般均衡模型。但这些模型与各国的经济增长现实不符合。在50、60年代，Cass和Koopmans（1965）引入Ramey的消费者最优化分析理论，从而使储蓄率内生化，但这并不能改变人均产出增长率对外生技术进步的依赖。70年代，经济增长理论处于停滞阶段。80年代，Romer（1986）和Lucas（1988）将R&D和不完全竞争引入模型，使经济增长理论出现新的高潮。5.2经济增长模型生产函数模型是经济增长分析的有力工具，所以，随着增长理论研究的深入，生产函数模型的新成果也不断出现（直观上函数的结构也越来越复杂），其应用更是呈现长盛不衰的局面。从20年代末，美国数学家CharlesCobb和经济学家PaulDauglas提出了生产函数这一名词，并用1899-1922年的数据资料，导出了著名的Cobb-Dauglas生产函数。

生产函数:描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表达式.生产函数从形式上可以分成四种：Cobb-Douglas生产函数模型(Cobb&Douglas,1928）、可变替代弹性VES生产函数模型（Sato,1967）不变替代弹性CES生产函数模型（Solow，1960；Arrow，1961）超越对数Translog生产函数模型（Christensan和Jorgenson，1973）。其中，C-D模型是受约束的CES模型和VES模型，而CES模型和VES模型又是受约束的TL模型。这四种模型中，C-D生产函数应用最广泛。增加生产发展经济增加投资，增加劳动力，提高技术，对经济增长的促进作用建立产值与资金、劳动力之间的关系研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长1.道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0F为待定函数模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生产函数含义？Douglas生产函数F为待定函数QK~单位资金创造的产值QL~单位劳动力创造的产值~资金在产值中的份额1-~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数1.Douglas生产函数w,r,K/L求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）3)经济(生产率)增长的条件(动态模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设

投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产)

劳动力相对增长率为常数Bernoulli方程产值Q(t)增长dQ/dt>03)经济增长的条件劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt>03)经济增长的条件关于资本与经济增长的实证研究，国外的经济学家就储蓄的使用效率问题在美国、德国和日本等主要几个工业化国家进行了一个比较研究，结果表明美国比日本和德国平均高出三分之一，这主要是由于美国资本市场比较发达，银行体系运行效率高。新古典增长模型（Solow-Swan模型）认为资本收益率递减会最终导致收敛，即落后地区可以利用较高的资本报酬率赶上先进地区；而内生增长理论（Romer,1986）认为知识资本对一般消费品的生产具有递增效应,而且“干中学（LearningbyDoing）”的知识外溢产生了规模经济，因此人力资本存量较高的国家可能在长期内保持比较高的增长率。全球高级经济学家多米尼克·威尔逊(DominicWilson)通过研究指出中国经济总量将在2015年超日本2039年超美国

5.1传染病模型问题

传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作问题的提出：医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),群体免疫模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=问题：

两军对垒，现甲军有m个士兵，乙军有n个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后哪一方失败？5.3正规战与游击战战争的胜负很复杂！问题太模糊！在第一次世界大战期间，F·W兰彻斯特投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型，并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。对于一次局部战斗，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备，指挥艺术。还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。两军士兵都处于对方火力范围内，由于战斗紧迫，短暂，也不考虑支援部队。兰彻思特Lanchester作战模型战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例兰彻思特Lanchester作战模型一般模型

每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力

每方非战斗减员率与本方兵力成正比

甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g

取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型正规战争模型假设1甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战

忽略非战斗减员

假设没有增援f(x,y)=ay,a~乙方每个士兵的杀伤率a=rypy,ry~射击率，

py~命中率0正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系平方律模型乙方胜现在回答一开始时提出的问题，设甲军有m=6000人，乙军有n=3000人，两军装备性能相同，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后哪一方失败？正规战争模型回答：甲军战死

人，剩下

人乙军全部被消灭。游击战争模型双方都用游击部队作战假设2甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加

忽略非战斗减员

假设没有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每个士兵的杀伤率c=rypyry~射击率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活动面积sry~乙方射击有效面积0游击战争模型线性律模型0混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方的兵力越南战争设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=0.1(km2),sry=1(m2)甲方为越南，乙方为美国硫磺岛位于东京以南1062km，面积仅有20.7km，是日军的重要军事基地。美军想要夺取硫磺岛作为轰炸日本本土时的轰炸机基地，而日本需要硫磺岛作为战斗机基地，以便攻击美国的轰炸机。美军从1945年2月19日开始进攻，激烈的战斗持续了一个多月，双方伤亡十分惨重，日方守军21500人全部阵亡或被俘，美军投入兵力73000人，伤亡20265人，战争进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军有按天统计的战斗减员和增援情况的战地记录，日军没有后援，战地记录全部遗失。硫磺岛战役用x(t)和y(t)表示美军和日军在第t天的人数，在正规战模型(1)中加上初始条件，得硫磺岛战役由增援率和每天的伤亡人数可算出x(t),t=1,2,…,36，将已有数据代入(13)式，算出x(t)的理论值并与实际值作一比较。对方程(1)用求和代替积分得硫磺岛战役

为估计b值在(3)式中取t=36，因为y(36)=0，且由x(t)的实际数据可得

=2037000，于是从(3)式估计出b=再把这个值代入(3)式即可算出y(t)，t=1，2，…，36．由(2)式估计a值，令t=36，得硫磺岛战役=0.0106，

其中分子为美军总的伤亡人数20265人，分母可由(3)算出的y(t)，得372500，由(4)式可解出a

将a值代入(2)式得由上式可算出美军人数x(t)的理论值．图中用实线表示．与虚线表示的实际值比较，吻合情况相当好。硫磺岛战役5.4药物在体内的分布与排除药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量)血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计

药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学

建立房室模型——药物动力学的基本步骤房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移

本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)中心室周边室给药排除模型假设中心室(1)和周边室(2),容积不变药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=0

瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1给药速率f0(t)和初始条件2.恒速静脉滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指数规律趋于零药物以速率k0进入中心室0Tt££吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)参数估计各种给药方式下的c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)由较大的用最小二乘法定A,由较小的用最小二乘法定B,参数估计进入中心室的药物全部排除过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。模型分析分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。问题5.5香烟过滤嘴的作用模型假设定性分析1）l1~烟草长，l2~过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量M均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a´:a,a´+a=13）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u，v>>uQ~吸一支烟毒物进入人体总量模型建立0t=0,x=0，点燃香烟q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)t时刻，香烟燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)3)求w(ut,t)4)计算Q结果分析烟草为什么有作用?1）Q与a,M成正比，aM是毒物集中在x=l处的吸入量2)~过滤嘴因素，,l2~负指数作用是毒物集中在x=l1处的吸入量3）(r)~烟草的吸收作用b,l1~线性作用带过滤嘴不带过滤嘴结果分析4)与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉提高-b与加长l2，效果相同5.6人口预测和控制年龄分布对于人口预测的重要性

只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程人口发展方程一阶偏微分方程人口发展方程~已知函数（人口调查）~生育率（控制人口手段）0tr生育率的分解~总和生育率h~生育模式0人口发展方程和生育率~总和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反馈系统

滞后作用很大人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按(r,t)计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制N(t)不过大控制(t)不过高5.7烟雾的扩散与消失现象和问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。问题分析无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。模型假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。模型建立1）烟雾浓度的变化规律热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比曲面积分的奥氏公式1）烟雾浓度