流体力学笔记整理

1、流体力学引言一、流体力学的研究对象流体：气体、液体的总称流体力学：研究流体的运动规律及流体与固体相互作用的一门学科二、流体力学的研究方法1、理论分析方法建立模型f推导过程f求解方程f解释结果2、实验方法理论分析f模型试验f测量f数据分析3、数值方法数学模型f离散化f编程计算f检验结果1第一章流体力学的基础概念1.流体的物理性质与宏观模型一、流体的物理性质1、易形变性：流体静止时，不能承受任何微小的切应力。原因：分子平均间距和相互作用力的不同。2、黏性：当流体层之间存在相对运动或者切形变时，流体就会反抗这种相对运动或切形变，使流体渐渐失去相对运动。流体这种阻碍流体层相对运动的特性称为黏性。库伦实

2、验表面不滑移假设内摩擦：宏观：相对快速流层对慢速流层有一个拖带作用力，使慢速流层变快起来；相应地慢速流层将拽住快速流层让其减速，最终使流层间的相对运动消失。流体层间这种单位面积的作用力称为黏性应力。微观：流体的黏性是分子输送的统计平均，是由于分子不规则运动，在不同流层间进行宏观的动量交换。理想流体：当流体的黏性很小，其相对速度也不大时，其黏性应力对流动作用就不甚重要并可予以略去，这种不计黏性的流体称为理想流体。3、压缩性：压强变化引起流体体积或密度变化的性质液体：一般认为不可压缩（除水中爆炸等压力骤变问题）气体：压强变化引起流体体积变化1%气压差相当于85m高度上气压的改变量，所以一般认为大气

3、不可压缩（除非有强烈上升、下沉气流）即p不变。速度变化也可以影响流体压强的变化C2v2211当速度增加时，压强会减小。-PV2动力气压2在常温常压下，气体作低速流动（v100m/s）,气体密度变化小于5%,可按不可压缩流体处理。二、流体的连续介质假设宏观理论模型把由离散分子构成的实际流体看作是由无数流体质点没有间隙连续分布构成的。流体质点（流点、流体微团、流体微元）：大量流体分子的集合微观“足够大”：能保持大量分子，具有确定地统计平均效应宏观“充分小”：可以把流体近似看成在几何上没有维度的“点”2.流体运动的速度与加速度一、两种表述流动的方法1、Lagrange法(随体法)：跟随流点运动，记录

4、该流点在运动过程中物理量随时间变化的规律。(以流点为着眼点)设该质点标记为(a,b,c)，该质点的物理量B的Lagrangge表达式B=B(a,b,c,t)不同的(a,b,c)表示不同流点(a,b,c)称为Lagrangge变量位置矢的Lagrange表达式：r=r(a,b,c,t)Lagrange变量速度的Lagrange表达式：v=v(a,b,c,t)=r(a,b,c,t)St不同时刻同一流点的速度加速度a的Lagrange表达式:St22、Euler法：将其瞬时占据某空间点的流点的物理量作为该空间点的物理量(以空间点为着眼点)设空间点坐标为(x,y,z)物理量B的Euler表达式B=B(

5、x,y,z,t)不同(x,y,z)代表不同的空间点速度V的Euler表达式：v=v(x,y,z,t)Euler变量同一时刻不同空间点速度物理量的Euler表达式代表了该物理量的空间分布，称为该物理力场，如速度场、气压场等(a) 若场内函数不依赖于矢径即与(x,y,z)无关，称作空间均匀场。(b) 若场内函数不依赖于时间即与t无关，称作定常场。二、描述流体运动两种方法的联系1、L变量nE变量已知r=r(a,b,c,t)x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)牛u(a,b,c,t)fu=u(x,y,z,t)消去a,b,cv=v(x,y,z,t)St=w(a,b,c,

6、t).w=w(x,y,z,t)262、E变量nL变量u=u(x,y,z,t)w=w(x,y,z,t)u=u(x(t),y(t)z(t),t)=dxdtv=v(x(t),yQzQt)=空dtw=w(x(t),y(t)z(t),t)=dzdt对时间t积分x=x(a,b,c,t)x=x(C,C,C,t)123y=y(a,b,c,t)jz=z(a,b,c,t)Vy=y(q,JJJ利用初始条件vijdrxv=dxdyuvwdy=vdz77dxdydzd=wdxnu(x,y,z,t)=v(x,y,z,t)=w(x,y,z,t)流线方程vdx=udy注：一般情况下，流线和迹线不重合。当流动定常时，两者重合，

7、但反之不成立。4.速度的分解二维：以xy平面流场为例，设M0(x,y)点速度为v(M0)二v(x0,y0，邻近点M(x+氐,y+5y)速度为v(M)=v(x0+5x,y0+y，J可以用Tailor展开来表示U(M)=U(Mo壮&+善5y已略去二阶以上的高阶小量v(M)=v(Mo)蹲&+|5y对上式进行适当整理，可得：(”)(”)udu1dv1dvQuM)-uM丿+ox+oy+oy一oy0dxdy2dx2dx()()dvdv1du1duvkM丿-vM+一ox+oy+ox-ox0dxdy2dy2dyu(M)=u(M)+duSx+0dx:1 (dudv-+2 (dydx丿父1(dudvSy+k2(d

8、ydx丿5yV（M）=V（M0）+善I1 (dvdu-一+一2 (dxdy丿父1(dvduSx+_一-一2(dxdy丿Sx1(dvdudu2(dxdy丿8xxdxdv8xy1 (dudv-+2 (dydx丿这些项都为流体的形变u(M)=u(M)-3Sy+8Sx+8Sy0xxxyv(M)=v(M)+3Sx+8Sx+8Syyx0得到：0、+SxSyyyz0v(M)=v(M)+3xSr+A-Sro物理意义：M的流速可以分为三部分随M0点一起运动的平移速度（Mo）1）2）亥姆霍兹速度分解定理8xyu(M)u(M)v(M)v(M0)+w（Mw（M丿03）三维：=8yx=1(dwdv2(dydz丿du8二

9、xx1 (dvdu-+2 (dxdy丿dxijk8888xxxyxzx333+8888xyzyxyyyzySxSy&8888zxzyzzz绕Mo点旋转引起的转动线速度vR=3xSr0R由M0点形变引起的线速度A，Sr=8yzzy1 (dudw2 (dzdx丿dv8=-yydy1 (dw=+2 (dydz8zz3zdw=aZ1 (dv2 (dxdy丿dv+丿8=8zxxz1 (dwdu=+2 (dxdz丿5涡度、散度与形变率一、法形变率以xy平面流场为例，u沿y方向不变，v沿x方向不变，51时间后，x方向上增加的长度为舟5x5t单位长度，单位时间的伸长为dudvdw二xxdx=-yydy=_zz

10、dz面积的相对扩张率-A（5A）lim5at0SASt5x+dudx5x5ty5y+dvdy5y5t丿-5x5y5x5y5tdudvdudvSt当51T0时A（5A）dudv一lim二+=V-v5At05A5tdxdyStt0体积的相对膨胀率速度散度limStt0Stt0dud/dwA（Su）Sx+SxStSy+.SyStSz+-SzSt-SxSySzdwdz丿dudvdw=+_dxdydz八uy八SxSy&StA（St）体积的相对膨胀率lim-二+m+二V-v体胀速度att0St-StdxdydzAtt0St-St二、切形变率（角形变率）考察xy平面流场中过任意点M的一对正交线元MA,MB分

11、别长为Sx,Sy，存Sa，SBdvSx-StdvSa-dxStSxdxduSy-StduSBdyStSydy在速度梯度色,色dxdySt时间后，MA,MB分别转过角度定义切形变率为该面元正交于该点两线元夹角的瞬间变化率uxySa+SBdvdu二+-Stdxdydudwu二+-zxdzdxdvdwu=+-三、流体的旋转1(dvdu+2(dxdy丿1dudw、+2【、dzdx丿1(dvdw、3+20q=JBvdln=kx卷Andldl=idx+jdy一一(一)n=kxdx+jdy丿/dl=(jdxidydl=(idy+jdxdlCi+vj)n=(-udy+vdx)/dlv=v-n=nq=JBvdl

12、=JBudy+vdx=JB-dy+dx=AnAAdydxdxJBd屮二屮一屮aBA三、二维流动一般的二维流动，既不是无旋也不是无辐散空色主0dxdydudv+-dxdyv=v+v屮0v：无辐散涡旋流屮v：无旋辐散流0其中D上+竺=-V20dxdyd0dxd0dydvdxu屮35v屮d屮dyd屮dxu=35d0dxd0dxv=第二章基本方程流体运动同其他运动一样，同样遵循质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律。本章将导出描述流体运动的连续方程、运动方程和能量方程。1.连续方程流体的连续方程是说明流体运动和其质量分布的关系式，它是按质量守恒定律建立起来的。一、Lagrange观点下的流体连续方

13、程流体块在运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质量是守恒不变的。St=SxSySzSm=pSi(5m)=0dt(p5i)=0nStdp+pdSl=0dtdtdtdp1dSi1dSi一dudvdwn+p=0其中=v=+体胀速度dtStdtStdtdxdydzn也l+pVV=0Lagrange连续方程dt(1) V-v0n流体体积增大n空0n流体局地密度减小dt(2-v0n有流体流出n空0n流体局地密度减小dt(2)?-pv0n流体局地密度增大dt(3)V-pv=0n流体无出入n空=0n流体局地密度不变dt二、自由表面的流体连续方程通常把自然界中水面与空气面的交界面称为水面或水表面水当水

14、面向某处汇集，该处水面将被拥挤而升高。反之，当该处有水向四周散开，该处水面将降低。因流动而伴随出现的可以升降的水面，称为自由表面。假设流团密度为p=p(x,y,z,t),考虑流体运动为二维，即满足w沁0，g=0并dz选取适当的坐标系，取流向方向为x轴正方向，设流体自由表面高度h，且h=h(x,y,t)，即h在各处高低不同且可以随时间变化。在流体中选取一个以&x5y为底的方形柱体，该柱体是一个固定不动的空间区域，称为控制区一一Euler观点考虑柱体内流体的质量为8m=Jh(p8x8y)z0经流体柱后侧流入的流体质量应为:Jh(pu8ybz0经流体柱前侧流出的质量为：Jh(pu8yz+Jh(pu8

15、y&8x0dxL0流出质量减去流入质量，可以得到柱体内的净流出量，等于柱体内质量的减少量，即：-Jh(p8x8y&=LJh(pu8y&dt0dx0由于上式积分中的上限h为x,y,t的函数，根据可变上限的积分规则：兰Ja()f(x,t)dx=Ja()f(x,t)dx+fa(t)t也-f%)t耐dtb(t)b(t)tdtdt对上式两边展开，左边为：-Jh(pSxSy&二-Jh込zSxSy-p竺dt00dtdt右边为：hSxSy=-Jh空SzSxSy-p竺SxSyodthdtoh(pu5ybz5x二5x5yJ0dh+pudxhhu%+dhpu0dx0dxdxhdu+dXphu+J：知+卩：pdz用=

16、0消去SxSy:理p+Jhdth0dhdh+u+dtdx1fhpdufpdz=0(p0丿dxhdudxdxhSz=0由连续方程，得J彳+udPoIdtdx丿1fh=h（匀匀流体）0Pth（自由面附近或浅层流体）hX:竺+u竺+h色二0dtdxdx自由表面连续方程：葺+VCL02.作用于流体的力应力张量牛顿第二定律：物体宏观运动（加速度）作用于物体的力一、作用于流体的力分析对象：流体中以界面&包围的体积为t的流体块f质量力流体的作用力质量力表面力 质量力（体力）：是指作用于所有流体质点的力，如重力、万有引力和电磁力等。（1）质量力是长程力：它随着相互作用的元素之间的距离的增加而减小，对于一般流体

17、的特征运动距离而言，均能显示出来。（2）它是一种分布力，分布于流体块的整个体积内，流体块所受的质量力与其周围其他流体的存在并无关系。如果F表示单位质量的流体的质量力，规定其为：F=lim辽Smobm式中是作用在质量6m的流体块上的质量力，不难看出，F可以看做是质量力的分布密度。通过体积分，作用于体积是袖勺流体块上的质量力是出pFdiT 表面力：是指流体内部之间或流体与其他物质之间的接触面上所受到的相互作用力，如流体内部的黏性应力和压力，流体与固体接触面上的摩擦力和压力等。（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。表面力随相互作用元素之间距离增加而迅速减弱，只有在相互作用元素之间的距离与分

18、子距离同量级时，表面力才显现出来。（2）根据作用力与反作用力原理，流体块内各部分之间的表面力都是互相作用而互相抵消，只有处于界面上的流体质点所受的、由界面外侧流体所施加的表面力存在。（3）表面力也是一种分布力。定义单位面积上的表面力为：p=lim看其中sp是作用于某个流体面积So上的表面力，通过面积分，某流体块与周围流体接触面Q上所受到的表面力为口pdoo 质量力与表面力的比较质量力与表面力有着本质差别。本质上，矢量F是质量力的分布密度，它是时间点和空间点的函数，因而构成一个矢量场。而矢量p为流体的应力矢量，它不但是时间点和空间点的函数，并且在空间的每一点还随着受力面元的取向不同而变化，所以要

19、确定应力矢P，必须考虑点的矢径r，该点受力面元的方向（或者说面元的法向单位矢n）以及时间t。确切地说应力矢量是两个矢量6,n）和一个标量t的函数，即p6,r,J。二、应力张量取流体四面体体元M-ABC,三角形ABC为其底面，这个四面体是由一个斜面和三个坐标面相交而成的，其底面积为50，跟坐标面平行的三个侧面面积n分别为站，站和站，首先分析四面体元M-ABC所受到的力，其受到质量力xyzFm，四个侧面受到的表面力分别为p刃,p5,p刃,p5。nn-xx-yy-zz按照牛顿第二定律，可得:说明：应力矢量的下标取其受力面元的外法向，并规定为外法线方向流体对另一部分流体的作用应力。应力分量p.的物理j

20、dV5m=F5m+pdtnn含义：第一个下标表示面元的外法线方向（且规定应力为外法线方向流体对另一部分流体的作用；第二个下标表示应力所投影的方向。+ppSa+p5n-xx-yy-zz根据作用力与反作用力原理：dV5m=FSm+p5ap5ap5ap5adtnnxxyyzz当四面体元向内收缩时，即5mT0时，p5a二p5a+p5a+p5annxxyyzz上式为作用于小四面体元的应力矢量之间的相互关系。考虑到面元间的关系：5a=5acos（n,x）=n5axxxyxzP=pppyxyyyzIppp丿、zxzyZZ丿利用应力张量，可将p二np+np+np改写成：nxxyyzzp=n-Pn另外，应力矢量

21、p也可以表示为：n、p=ip+jp+kpnnxnynz以上分析表明：对于以n为外法线方向面元上的应力矢量p，可以用三个n坐标面平行的应力矢量p,p和p进行线性表示，也可以将其表示为沿三个坐xyZ标轴的分量形式p，卩，p的组合。nxnynz通常应力矢量也可以表示为：p=pn+p厂nnnnT法应力为p=p-n，p为切应力。nnnnT三、应力张量与流体运动间的关系流体中的应力与流体的运动状态（主要是形变率）之间有着非常密切的对应关系。设有两无界平行平板间的黏性流体运动，保持下板不动，使上板以速度U作匀速直线运动。实验表明，两平板上的流体质点黏附在平板上，随平板一起运动。因此，下平板的流体处于静止，上

22、平板的流体速度为U,且流体的流速随距上板距离的增加而减小。经过实践测定此流动中黏性应力处处相同，与速度梯度成正比：T0-zxh牛顿归纳上述实验，提出牛顿黏性定律：T=卩一zxdz式中称为动力学黏性系数，简称黏性系数。一般情况下，需以流体的切形变率代替上式的速度梯度。对确定地流体，切应力与切形变率成正比，不论流体的黏性如何，只要流体无切形变就无黏性应力存在。当流体作任意形式流动时，广义牛顿黏性假设为：(100、-(2JP=2pA一p+pdivVI，其中I=010k3丿k001丿3运动方程一、流体的运动方程在运动流体中选取一小六面体体元，其边长Sx,Sy,5z小体元运动时，周围流体通过6个表面有表

23、面力的作用。通过六个侧面作用于小体元沿x向的表面力分别为：f(dp、前后侧面：p+xxSxSySz和pSySzdx丿+严SysxSz和pSxSzdy丿-yxdprr&SxSy和pSxSy-zxxx(UpyxJ(上下侧面：p+右左侧面:dp-xx因此，周围流体通过侧面作用于小体元的x向表面力合力为:dpdpdp、xx+zxjdxdydz丿小六面体体元运动时，还受到质量力的作用，并且小体元所受x向质量力为FpSxSySzx考虑小体元沿x方向的运动加速度为du，根据牛顿第二定律，则dtSxSySzdUpSxSySz=FpSxSySz+dtx可以化简为:dU二F+丄(dpdtxpdpOpOp、xx+z

24、xdxdydz丿dpdp、-xx+yx+zxdxdydz丿SxSySz这就是单位质量流体块x向运动方程。同理，可以得到y和z方向的运动方程为：dv厂1(dpdtypJdxdw_1(dpdtzpJdxdpdp壬+yy+zydydzdpdp+yz+zzdydz将其写成矢量的形式：dtdVf+1(op,，筋p(Oxx+y+zdz或者dVdtF+-v-Pp其中，V-P二dpppdQxxxydxQyQz_ppxz_yxyyp_yz_pppzxzyzz这就是流体运动方程的一般形式。二、纳维-斯托克斯方程将广义牛顿黏性假设条件下的应力张量P的具体形式P=2应p+2pV.pI3丿代入流体运动的一般形式，有纳维-斯托克斯方程：dV二F-Vp+1-vv-vL上v2Vdtp3pp这就是适合牛顿黏性假设的流体运动方程，是牛顿第二定律在流体力