第六章弯曲变形

第六章弯曲变形弯曲变形的概念梁的挠曲线近似微分方程积分法求梁的变形叠加法求梁的变形梁的刚度校核静不定梁第一节

工程实际中的弯曲变形问题N1挠度和转角梁任一横截面的转角等于该截面处挠度y对x的一阶导数。第二节梁的挠曲线近似微分方程（2）角位移梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。

梁的挠曲线微分方程为

y=f(x)梁弯曲后的轴线称为挠曲线。（1）线位移

y梁轴线上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移称为该点的挠度

2挠曲线的近似微分方程注意：y轴要向上，保证方程两边符号相同将上式代入式(a),得梁的挠曲线近似微分方程第三节积分法求梁的变形积分常数C和D的值可通过梁支承处已知的变形条件来确定，这个条件称为边界条件。简支梁：悬臂梁：解：以A为原点，取直角坐标系，x轴向右，y轴向上。（1）求支座反力

列弯矩方程由平衡方程得：列弯矩方程为：（2）列挠曲线近似微分方程通过两次积分,得：（3）确定积分常数在x=0处：将边界条件代入(c)、(d)得：（4）确定转角方程和挠度方程将常数

C

和D

代入(c)、(d)得：（5）求最大转角和最大挠度说明：转角为负，说明横截面绕中性轴顺时针转动；挠度为负，说明B点位移向下。例6-2

一简支梁如图6-9所示,在全梁上受集度为q的均布载荷作用.试求此梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角|θ|max

和最大挠度|y|max解:(1)求支座反力，列弯矩方程

由对称关系得梁的两个支座反力为以A点为原点，取坐标如图，列出梁的弯矩方程为：(2)

列挠曲线近似微分方程并进行积分（3）确定积分常数简支梁的边界条件是：在两支座处的挠度等于零，即在x=0处，yA=0；将其代入（d），得D=0在x=l处，yB=0

仍代入（d），得（4）确定转角方程和挠度方程将积分常数C，D代入式（c）和（d）得（5）求最大转角和最大挠度由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（f），得：又由图6-9可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。由式（e）负号表示截面为顺时针方向转动：正号表示截面为反时针方向转动。（注：式中负号表示梁中点的挠度向下。）两个边界条件：连续条件：AC段：积分常数：C、DCB段：积分常数：C、D当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。第四节用叠加法求梁的变形叠加法：当梁上同时作用几个载荷时，可先求各个载荷单独作用下梁的挠度或转角，然后将它们代数相加。由叠加法得：第五节梁的刚度校核弯曲构件的刚度条件:解：将吊车梁简化为如图例6-12b所示的简支梁。式中：

（1）计算变形

计算梁挠度的有关数据为：P=50+5=55kN因P和q而引起的最大挠度均位于梁的中点C，由表6-1查得：由叠加法，得梁的最大挠度为：（2）校核刚度吊车梁的许用挠度为：将梁的最大挠度与其比较知：故刚度符合要求。由型钢表查得，解：（1）计算变形将主轴简化为如图例6-13b所示的外伸梁，又材料的弹性模量：由表6-1查出，因P1在C处引起的挠度和在B引起的转角（图6-13c）为：主轴横截面的惯性矩为（2）校核刚度

主轴的许用挠度和许用转角为：将主轴的和与其比较：故主轴满足刚度条件。由表6-1查得，因P2在C处引起的挠度和在B处引起的转角（图6-13d）为：第六节静不定梁1静不定梁的概念未知反力的数目多于平衡方程的数目，仅由静力平衡方程不能求解的梁，称为静不定梁2

用变形比较法求解静不定梁在静不定梁中，超过维持平衡所必需的约束，称为多余约束。与其相应的反力称为多余反力。撤除静不定梁上的多余约束后变成的静定梁称为原静不定梁的静定基。变形比较法：选取适当的静定基；利用其相应的变形条件，建立补充方程，求出多余反力；由平衡方程求出其余的支座反力例:已知q、l,求A、B支座反力。解：吊车梁的计算简图如图6-20b所示，有四个约束反力，只能列出3个平衡方程，所以是一次静不定梁，需要一个补充方程。（2）计算变形自表6-1查得：（1）取静定基，列变形条件选取C点的约束为多余约束，RC为多余支座反力，则相应的静定基为一简支梁，其上受载荷P和多余反力RC的作用（图6-20c）。变形条件为（3）建立补充方程，解出多余反力

将yCP和yCR代入变形条件，