冀教版九年级数学下册第30章二次函数

第三十章二次函数30.1二次函数篮球运行的路线是什么曲线？怎样出手才能把球投进篮圈？起跳多高才能成功盖帽？在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.函数一次函数反比例函数y=kx+b(k≠0)(正比例函数)y=kx(k≠0)y=(k≠0)kx函数:

正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为问题:y=6x2①问题1多边形的对角线数d与边数n有什么关系？由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有

个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作

条对角线.n(n-3)

因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数

MN即②式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.问题2某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？

这种产品的原产量是20件,一年后的产量是

件,再经过一年后的产量是

件,即两年后的产量为20(1+x)20(1+x)2即③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.函数①②③有什么共同点?

观察y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？y=6x2①

在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的.2、定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3）等式的右边最高次数为

，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。注意：（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是。整式a≠0.2任意实数二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数,a≠0)二次函数的特殊形式：当b＝0时，y＝ax2＋c当c＝0时，y＝ax2＋bx当b＝0，c＝0时，y＝ax2函数解析式二次项系数a一次项系数b常数项c00242－158－112130说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

试一试:二次函数y=ax²+bx+c中a≠0,但b、c可以为0.例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(1)y=3(x－1)²+1(2)y=x+(3)s=3－2t²(4)y=(x+3)²－x²(5)y=－x(6)v=10r²1x__x²1__(是)(否)(是)(否)(否)(是)例题解:（1）原式=.二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是4.(3)s=3-2t²是二次函数.二次项系数是-2，一次项系数是0，常数项是3.(4)原式=y=6x+9.不是二次函数.二次项系数是10π，一次项系数是0，常数项是0.(6)v=10πr²是二次函数.例2如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是______.0例题例题例3用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图）.设连墙的一边为x,矩形的面积为y.求：(1)写出y关于x的函数关系式.(2)当x=3时,矩形的面积为多少?x

(2)当x=3时(0<x<10)答：当x＝3时，矩形的面积为42m2。随堂练习1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为(）

A.y=ax2+bx+cB.y2=x2-4x+1C.y=x2D.y=2+√x2+12.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m≠0B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠nD.m,n为任何实数CC3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s与半径r之间的关系式.4.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.S=4πr2即随堂练习5.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm².(1)写出y与x之间的函数关系表达式；(2)当圆的半径分别增加1cm,2cm时,圆的面积增加多少?小结拓展

1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).

2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.第三十章二次函数30.2二次函数的图像和性质第1课时二次函数y=ax²的图像和性质学习目标1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图像，概括出图像的特点.（难点）3.掌握形如y=ax²的二次函数图像的性质，并会应用.（难点）情境引入二次函数y=ax2的图像一x…-3-2-10123…y=x2…

…

例1

画出二次函数y=x2的图像.9410194典例精析1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：24-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）

3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图像．-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：xy

二次函数y=x2的图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.练一练：画出函数y=-x2的图像.y24-2-40-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

根据你以往学习函数图像性质的经验，说说二次函数y=x2的图像有哪些性质，并与同伴交流.xoy=x2议一议1.y＝x2是一条抛物线;2.图像开口向上;3.图像关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图像有最低点．y说说二次函数y=-x2的图像有哪些性质,与同伴交流.oxyy=-x21.y＝-x2是一条抛物线;2.图像开口向下;3.图像关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图像有最高点．1.顶点都在原点;3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．二次函数y=ax2的图像性质：知识要点2.图像关于y轴对称;

观察下列图像，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2交流讨论二二次函数y=ax2的性质问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)对于抛物线y=ax2（a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.知识要点(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？对于抛物线y=ax2（a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大.知识要点解：分别填表，再画出它们的图像，如图.x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5例2

在同一直角坐标系中，画出函数的图像．xyO-222464-48思考1：从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？当a>0时，a越大，开口越小.练一练：在同一直角坐标系中，画出函数的图像．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.思考2

从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．y＝ax2a>0a<0图像位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减知识要点yOxyOx

例1

已知二次函数y=x2．（1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=－x2的图像上吗？典例精析（1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图像上；

（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=－x2的图像上吗？当x=－2时，y=x2=4，所以C点在二次函数y=x2的图像上；当x=2时，y=－x2=－4，所以B点在二次函数y=－x2的图像上；当x=－2时，y=－x2=－4，所以D点在二次函数y=－x2的图像上．已知

是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=

.分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，解得k=22练一练例3.已知二次函数y＝2x2.(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图像上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图像经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图像上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．<分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；(2)由于函数图像经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图像关于y轴对称求出OA＝OB，即图像左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积．(2)解：∵二次函数y＝2x2的图像经过点B，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.

二次函数y＝ax2的图像关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图像中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图像中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．方法总结1.函数y=2x2的图像的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧，y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.

2.函数y=-3x2的图像的开口

,对称轴是

,顶点是

;在对称轴的左侧,y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO3、如右图，观察函数y=（k-1）x2的图像,则k的取值范围是

.xyk>14、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O5.若抛物线y=ax2（a

≠0），过点（-1，2）.（1）则a的值是

；（2）对称轴是

，开口

.（3）顶点坐标是

，顶点是抛物线上的最

值.抛物线在x轴的

方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0,

则y1

y2.2y轴向上（0,0）小上>6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：∵二次函数y=x2，∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0．7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：由题意得解得所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝

CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.二次函数y=ax2的图像及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图像抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性第2课时二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质学习目标1.会用描点法画出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像.2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.（难点）复习引入a,c的符号a>0,c>0a>0,c<0a<0,c>0a<0,c<0图像开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0,c）（0,c）当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.x=0时，y最小值=cx=0时，y最大值=c问题1

说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图像的特征.问题2

二次函数y=ax2+c（a≠0）与y=ax2（a≠0）

的图像有何关系？答：二次函数y=ax2+c（a≠0）的图像可以由y=ax2（a≠0）的图像平移得到：当c>0时，向上平移c个单位长度得到.当c<0时，向下平移-c个单位长度得到.

问题3

函数的图像，能否也可以由函数平移得到？答：应该可以.二次函数y=a（x-h）2的图像和性质一例1画出二次函数的图像，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．x···－3－2－10123···············-2-4.5-200-2-2－22－2－4－64－4-4.50xy-8-8xyO－22－2－4－64－4抛物线开口方向对称轴顶点坐标向下直线x=-1(-1,0)直线x=0直线x=1向下向下(0,0)(1,0)a＞0时，开口

,最____点是顶点;a＜0时，开口

,最____点是顶点;

对称轴是

，顶点坐标是

.向上低向下高直线x=h(h,0)知识要点二次函数y=a（x-h)2的特点若抛物线y＝3(x＋)2的图像上的三个点，A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y＝3(x＋)2的对称轴为x＝－，a＝3＞0，∴x＜－时，y随x的增大而减小；x＞－时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3，y1)，∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为(，y1)．∵－1＜0＜，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.练一练y2＜y3＜y1向右平移1个单位二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系二想一想抛物线，与抛物线有什么关系？xyO－22－2－4－64－4向左平移1个单位二次函数y=ax2与y=a（x-h)2的关系可以看作互相平移得到.左右平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.知识要点例2.抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．解：二次函数y＝ax2的图像向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，，∴平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2.方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．将二次函数y＝－2x2的图像平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图像，平移的方法是(

)A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图像向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图像．故选C.练一练C二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质三例3

画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.探究归纳…………210-1-2-3-4x解:先列表-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5再描点、连线12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10直线x=－1开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1)试一试画出函数y=2（x+1）2-2图像，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)-22xyO-2468-424知识要点二次函数y=a（x-h)2+k的特点a＞0时，开口

,最

点是顶点;a＜0时，开口

,最

点是顶点;对称轴是

，顶点坐标是

.向上低向下高直线x=h(h,k)顶点式例4.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图像如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图像可能是(

)解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图像经过第一、二、三象限．故选A.典例精析A例5.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图像经过点(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图像上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图像的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m＋n＝2.方法总结：已知函数图像上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．例6

要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?C(3,0)B(1，3)

AxOy123123解:如图建立直角坐标系,

点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.

因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0)，∴0=a(3－1)2＋3.解得因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.34a=－y=(x－1)2＋3(0≤x≤3)34－向左平移1个单位二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系四12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10探究归纳怎样移动抛物线就可以得到抛物线？平移方法1向下平移1个单位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10怎样移动抛物线就可以得到抛物线？平移方法2向左平移1个单位向下平移1个单位二次函数y=ax2与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.要点归纳1.请回答抛物线y=4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.2.如果一条抛物线的形状与形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.练一练1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是

.2.二次函数y=2(x-)2图像的对称轴是直线_______，顶点是________.3.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图像上的三点，则y1

，y2

，y3的大小关系为_______________.

y=-(x+3)2或y=-(x-3)2

y1

＞y2

＞y34.指出下列函数图像的开口方向,对称轴和顶点坐标.抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上直线x=3(3,0)直线x=2直线x=1向下向上(2,0)(1,0)5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图像，分别指出两个图像之间的相互关系．解：图像如图.函数y=2(x-2)2的图像由函数y=2x2的图像向右平移2个单位得到.yOx

y=2x2

26.已知一个二次函数图像的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.y=a(x-h)2+k课堂小结二次函数y=a(x-h)2的图像及性质图像性质对称轴是直线x=h;顶点坐标是（h,0)a的符号决定开口方向.左右平移平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质图像特点当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.对称轴是直线x=h,顶点坐标是（h,k).平移规律左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.第3课时二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质学习目标1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）复习引入y=a(x-h)2+ka>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时，y随着x的增大而增大.

当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时，y随着x的增大而减小.

x=h时,y最小=kx=h时,y最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.顶点坐标对称轴最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43??????二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质一探究归纳我们已经知道y=a(x-h)2+k的图像和性质，能否利用这些知识来讨论的图像和性质？问题1

怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？配方可得想一想：配方的方法及步骤是什么？配方你知道是怎样配方的吗？

(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.问题2

你能说出的对称轴及顶点坐标吗？答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3

二次函数可以看作是由怎样平移得到的？答：平移方法1：

先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；

平移方法2：

先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4

如何用描点法画二次函数的图像？…………9876543x解:

先利用图形的对称性列表7.553.533.557.5510xy510O然后描点画图，得到图像如图.问题5

结合二次函数的图像，说出其性质.510xy510x=6当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.O例1画出函数的图像，并说明这个函数具有哪些性质.

x···-2-101234···y······-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函数通过配方可得，先列表：典例精析2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图像如下图.由图像可知，这个函数具有如下性质：当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.

求二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴和顶点坐标.

因此，二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).解：练一练将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二

我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？y=ax²+bx+c

归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是：对称轴是：直线归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(1)(2)xyOxyO如果a>0,当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大.如果a<0,当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小.例2

已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1

D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴，即b≤1，故选D.D填一填顶点坐标对称轴最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6(

,-6)直线x=二次函数字母系数与图像的关系三合作探究问题1一次函数y=kx+b的图像如下图所示，请根据一次函数图像的性质填空：xyOy=k1x+b1xyOy=k2x+b2y=k3x+b3k1___0b1___0k2___0b2___0＞＞＜＜k3___0b3___0＜＞xyO问题2二次函数的图像如下图所示，请根据二次函数的性质填空：a1___0b1___0c1___0a2___0b2___0c2___0＞＞＞＞＜＝开口向上，a＞0对称轴在y轴左侧，x＜0对称轴在y轴右侧，x＞0x=0时，y=c.xyOa3___0b3___0c3___0a4___0b4___0c4___0＜＝＞＜＞＜开口向下，a＜0对称轴是y轴，x=0对称轴在y轴右侧，x＞0x=0时，y=c.二次函数y=ax2+bx+c的图像与a、b、c的关系字母符号图像的特征a＞0开口_____________________a＜0开口_____________________b=0对称轴为_____轴a、b同号对称轴在y轴的____侧a、b异号对称轴在y轴的____侧c=0经过原点c＞0与y轴交于_____半轴c＜0与y轴交于_____半轴向上向下y左右正负知识要点例3已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是(

)A．1

B．2

C．3

D．4D由图像上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图像上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图像上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．【解析】由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；练一练二次函数的图像如图，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图像是（）解析：由二次函数的图像得知：a＜0，b＞0.故反比例函数的图像在二、四象限，正比例函数的图像经过一、三象限.即正确答案是C.C1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=则该二次函数图像的对称轴为()DOyx–1–232.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0；其中正确的是

.直线x=1（2）3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（）A．①②③

B．①③④C．①②④

D．②③④xyO2x=-1B4.根据公式确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：直线x=3直线x=8直线x=1.25直线x=0.5课堂小结顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a≠0)(一般式)配方法公式法(顶点式)第三十章二次函数30.3由不共线三点的坐标确定二次函数*学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）特殊条件的二次函数的表达式一典例精析

例1.已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函数表达式为

y=2x2－5.∴a=2，c=－5.解得关于y轴对称

1.已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），做一做图象经过原点8=4a-2b，5=a-b，∴

解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x.顶点法求二次函数的表达式二

选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得

y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得

a(1+2)2+1=-8，解得a=-1.∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.例2

一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得0=a(0-8)2+9.

解得∴所求的二次函数的解析式是

解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得

y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数的表达式.

交点法求二次函数的表达式三xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512归纳总结交点法求二次函数表达式的方法这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.一般式法二次函数的表达式四探究归纳问题1

（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.

9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法例3

一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解这个方程组，得∴所求的二次函数的表达式是1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是

.

y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-4321-13452.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是

.顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+63.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28.课堂小结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2为交点的横坐标）待定系数法求二次函数解析式第三十章二次函数30.4二次函数的应用-202462-4xy⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为

.⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为求函数的最值问题，应注意什么?2、图中所示的二次函数图像的解析式为：

1、求下列二次函数的最大值或最小值：⑴y=－x2＋2x－3;⑵y=x2＋4x已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？ABCDEFK探究活动

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？来到商场请大家带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析:调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖

件，实际卖出

件,每件利润为

元，因此，所得利润为

元.10x(300-10x)(60+x-40)y=(60+x-40)(300-10x)即(0≤X≤30)(0≤X≤30)可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，每件利润为(60-x-40)元，因此，所得利润为:答：定价为元时，利润最大，最大利润为6050元(0≤x≤20)运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤:求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。解这类题目的一般步骤

有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）.⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式.⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式。⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？解：①由题意知:P=30+x.②由题意知：死蟹的销售额为200x元，活蟹的销售额为（30+x）（1000-10x)元。

∴Q=(30+x)(1000-10x)+200x=③设总利润为W=Q-30000-400x==∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元。x(元)152030…y(件)252010…若日销售量y是销售价x的一次函数。

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（6分）

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：中考题选练（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元。则产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元。则解得：k=－1，b＝40。1分5分6分7分10分12分

（1）设此一次函数解析式为。所以一次函数解析为。设旅行团人数为x人,营业额为y元,则旅行社何时营业额最大1.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)y=-1/10x2+34x+80001.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？销售问题2.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：

t＝－3x＋204。（1）写出商场卖这种服装每天销售利润y（元）与每件的销售价x（元）间的函数关系式；（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包。起初以40元每个售出，平均每个月能售出200个。后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨1元，每个月就少卖出10个。现在请你帮帮他，如何定价才使他的利润达到2160元？yxo第二课时用待定系数法求二次函数的表达式解：设y=ax2+bx+c（a≠0）c=2a+b+c=04a-2b+c=3解得a=-1/2b=-3/2c=２∴y=-1/2x2-3/2x+2已知一个二次函数的图象过点（0,2），（1,0），（-2,3）三点，求这个函数的表达式.（0,2）（1,0）（-2,3）1.设2.找3.列4.解5.写6.查（三元一次方程组）（三点）（一般形式）y=ax2+bx+c（消元）（回代)小组讨论合作探究一般式的基本步骤.当自变量x=0时函数值y=-2，当自变量x=-1时，函数值y=-1，当自变量x=1时，函数值y=1,求这个二次函数的表达式.解：设y=ax2+bx+c（a≠0）

（0,-2）（-1,-1）（1,1）

c=-2a-b+c=-1a+b+c=3解得

a=2，b=1，c=-２∴y=2x2+x-2解：设y=a(x＋1)2-3已知抛物线的顶点为（－1，－3），与x轴交点为（-5，0）求抛物线的解析式？yox(0,-5)-5=a-3a=-2y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－5y=-2（x2

＋2x＋1）-3

顶点式1.设