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文档简介
3.2立体几何中的向量方法(一).ala给定一个点A和一个向量a,过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的。.方法指导:怎样求平面法向量?一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量,进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下:.设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则线线平行:l∥ma∥ba=kb;线面平行:l∥αa⊥ua·u=0;面面平行:α∥βu∥vu=kv.线线垂直:l⊥ma⊥ba·b=0;面面垂直:α⊥βu⊥vu·v=0.线面垂直:l⊥αa∥ua=ku;.例1、在棱长为1的正方体中,求平面的法向量。ABCDxyA1B1C1D1z图1.二、讲授新课1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(化为向量问题)(进行向量运算)(回到图形问题).
例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?A1B1C1D1ABCD图1解:如图1,设化为向量问题依据向量的加法法则,进行向量运算.所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。思考:(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?A1B1C1D1ABCD分析:.思考:(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。.(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离)A1B1C1D1ABCDH
分析:面面距离回归图形点面距离向量的模解:.∴所求的距离是A1B1C1D1ABCDH.练习:如图2,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连结DE,计算DE的长。OABCDE图2.
例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解:如图,化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算ABCD图3.于是,得因此设向量与的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角。所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为.
例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考:(1)本题中如果夹角可以测出,而AB未知,其他条件不变,可以计算出AB的长吗?ABCD图3分析:∴可算出AB的长。.(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗?分析:如图,设以顶点为端点的对角线长为,三条棱长分别为各棱间夹角为。A1B1C1D1ABCD.(3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗?A1B1C1D1ABCD分析:二面角平面角向量的夹角回归图形解:如图,在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E,EF在平面AC内作CF⊥AB于F。∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。.练习:(1)如图4,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长。B图4ACD.(2)三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,∠A1AB=45°,∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABCA1B1C1图5.如图6,在棱长为的正方体中,分别是棱上的动点,且。(1)求证:;(2)当三棱锥的体积取最大值时,求二面角的正切值。O’C’
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