高中数学 3.2《立体几何中的向量方法（二）》 新人教B选修21

3.2立体几何中的向量方法（一）.ala给定一个点A和一个向量a,过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的。.方法指导：怎样求平面法向量？一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β的法向量分别为u,v,则线线平行：l∥ma∥ba=kb;线面平行：l∥αa⊥ua·u=0;面面平行：α∥βu∥vu=kv.线线垂直：l⊥ma⊥ba·b=0;面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.线面垂直：l⊥αa∥ua=ku;.例1、在棱长为1的正方体中，求平面的法向量。ABCDxyA1B1C1D1z图1.二、讲授新课1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）.

例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算.所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD分析:.思考：（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。.（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距离回归图形点面距离向量的模解：.∴所求的距离是A1B1C1D1ABCDH.练习:如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。OABCDE图2.

例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算ABCD图3.于是，得因此设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为.

例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图3分析：∴可算出AB的长。.（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为。A1B1C1D1ABCD.（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，EF在平面AC内作CF⊥AB于F。∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。.练习：（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。B图4ACD.（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABCA1B1C1图5.如图6，在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且。（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的正切值。O’C’