杆的内力课件

第六章杆件的内力1ChapterSixInternalForces26.1内力定义和符号规定6.2内力方程及内力图6.3梁的平衡微分方程及其应用本章内容小结本章基本要求背景材料综合训练3准确理解杆件内力的定义和符号规定。能利用截面法建立内力方程，能迅速求出指定截面的内力。深入理解梁中弯矩、剪力和分布荷载之间的微分关系，并能利用这些关系熟练地画出梁的剪力弯矩图。本章基本要求56.1内力

(internalforces)定义和符号规定内力是分布力系。但是可以将复杂的分布力系简化为形心上的主矢和主矩。这种主矢和主矩对于该横截面引起何种变形效应？1.内力的定义6xyzFxxyzxyzFxxyzxyzFyxyzFyxyzxyzFzxyzFzxyzxyzMxxyzMxxyzxyzMyxyzMyxyzxyzMzMzxyzxyzxyz主矢主矩Fx

轴力

FN

(axialforce)Fy

剪力

FSy

(shearingforce)Fz

剪力

FSzMx

扭矩

T(torque)

My

弯矩

My

(bendingmoment)Mz

弯矩

Mz6.1内力

(internalforces)定义和符号规定1.内力的定义73.内力的符号规定内力符号规定的原则在一个横截面上，同一种内力只能有唯一的符号。内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的。在一个横截面的两侧，轴力的“方向”是相反的。应该用什么方式来确定轴力和其它内力的符号？9轴力的正号使微元区段有伸长趋势的轴力为正。轴力的负号10扭矩的正号扭矩的负号使微元区段表面纵线有变为右手螺旋线趋势的扭矩为正。11弯矩的正号弯矩的负号使微元区段有变凹趋势的弯矩为正。136.2内力方程及内力图依据

杆件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡。在杆件的任意局部区段中，所有外力与内力构成平衡力系。用截面法求内力方程14方法和步骤1)在必要和可能的条件下，先求出约束反力。

3)留下部分的所有内力、外力（包括约束反力）按照理论力学的符号规定建立力或力矩的平衡方程式。4)求解方程即可得内力。若所得内力为负值，表明实际内力方向与设想方向相反。2)在指定的位置，想象用一个截面将杆件切开。留下一部分作为研究对象，舍去另一部分。舍去部分对留下部分的作用就是内力。一般可将这种内力作用的方向假设为正内力方向（即

设正法）。

15hHP

gxx

gxPx

gxPx

gxPFN1hHP

gxxP

gxxP

gxxFN2P

gxhH例

如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重

P，塔外径为

D，内径为

d，求横截面上的轴力。17xFN2P

gxhH例

如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重

P，塔外径为

D，内径为

d，求横截面上的轴力。18xFN2P

gxhHhHhHP

gx轴力图例

如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重

P，塔外径为

D，内径为

d，求横截面上的轴力。xFNxFNxFNxFNxFNFNxHh192015040mtABC例

使用丝锥时每手用力10N，假定各锥齿上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。作用在丝锥顶部的力偶矩作用在齿部的平均力偶矩计算模型如图分析

锥齿段外力偶矩可简化为均布力偶矩。人加荷载简化为集中力偶矩。212015040在AB区段取截面，易得扭矩为常数m。mtABCC截面处扭矩为零。在BC区段内，扭矩线性地减小。xT30004060扭矩图22qLLqL

/

2qL

/

2qxxyLqL

/

2qL

/

2qqxxyqL

/

2LqxxyFSMLqL

/

2例

求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力图和弯矩图。结论直梁某个横截面上的剪力，其数值等于该截面左端（或右端）全部横向力（包括支反力）的代数和。先求支反力。建立坐标系并取截面。23结论

直梁某个横截面上的弯矩，其数值等于该截面左端（或右端）全部力偶矩以及全部作用力（包括支反力）对该截面矩的代数和。例

求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力图和弯矩图。qxxyFSMLqL

/

225结论

直梁某个横截面上的弯矩，其数值等于该截面左端（或右端）全部力偶矩以及全部作用力（包括支反力）对该截面矩的代数和。qxxyFSMLqL

/

2例

求承受均布荷载的简支梁的内力方程，并画出相应的剪力图和弯矩图。26qa2a2Pa2a2动脑又动笔下列各截面上的弯矩为多少？PLqL29分析和讨论如何分析下列结构中主梁的剪力和弯矩？2kN1m1m2kNm1m2kN1m1m2kNm1m2kNm0.5m2kN1m1m1m1m1m1m1

kNm306.3梁的平衡微分方程及其应用如何画出如图结构的剪力图和弯矩图？需要分段写出剪力方程和弯矩方程。qaqaaaqa2/

231qaqaaaqa2/

2控制面分布荷载的起始点和结束点构成控制面。集中力或集中力偶矩作用处的左侧面和右侧面构成控制面。两个控制面之间的荷载：直线曲线跃变qaqaxFSxMqa2/

2qa2两个控制面之间的图形：分布荷载（包括荷载为零）集中力集中力偶矩32qFm两个控制面之间的典型荷载分布荷载（包括荷载为零）集中力集中力偶矩xy建立如图的坐标系33qMM+dMdxFSFS+dFS重要公式xFqddS=xMFddS=二阶小量6.3.1梁承受分布荷载的情况

梁的平衡微分方程

(differentialequationsofequilibrium)34重要结论

直梁

B截面上的剪力，等于

A截面上的剪力与

AB区间内荷载图面积的代数和。重要结论

直梁

B截面上的弯矩，等于

A截面上的弯矩与

AB区间内剪力图面积的代数和。ABFSMSABFSMABSSFSMABFSABFS注意

此处的“面积”位于横轴下方则为负数。ABq(x)ABq(x)控制面AB之间只有分布荷载作用35剪力弯矩图的规律均布荷载ABFSABFS剪力图线穿过横轴：ABqaqaABMSSSABMABMS直线二次抛物线出现极值36FF

xFF6.3.2梁承受集中荷载的情况

小量集中力

F的作用使剪力在其作用处产生一个增量，增量的幅度就是

F。集中力作用处弯矩值是连续的。集中力qFmxy376.3.2梁承受集中荷载的情况

AFSF剪力弯矩图规律剪力图产生跃变弯矩图产生尖角AM集中力作用处弯矩图是光滑的吗？qFmxyF集中力38m

xmmqFmxy6.3.2梁承受集中荷载的情况

集中力偶矩集中力偶矩作用处剪力值是连续的。集中力偶矩

m的作用使弯矩在其作用处产生一个增量，增量的幅度就是

m。小量39AM剪力弯矩图规律剪力图不受影响弯矩图产生跃变AFSm集中力偶矩作用处剪力图是光滑的吗？qFmxy6.3.2梁承受集中荷载的情况

m集中力偶矩40如何利用荷载、剪力和弯矩之间的关系不经建立剪力弯矩方程而直接画出剪力弯矩图？6.3.3根据外荷载画剪力弯矩图荷载形式、剪力图和弯矩图之间的关系41均布力

qq0FS

0MCFS

>0FS

<

0剪力图弯矩图q>0q<042集中力P集中力偶矩m不受影响向上跃变P向下跃变P向上跃变m向下跃变m弯矩图顺时针逆时针剪力图不受影响43L

/

2L

/

2PLPxMxFSPPL/

2PL

/

2P例

画出梁的剪力弯矩图。先求支反力。xy44a

/

2a

/

2qABCxFS3qa

/

8qa

/

83a

/

89qa2/

1283qa

/

8qa

/

8例

画出梁的剪力弯矩图。先求支反力。xyxM45FSxq2aa

qa2

3a

/

23qa

/

2qa

/

2

qa2

9qa2/

8qa

/

23qa

/

2例

画出梁的剪力弯矩图。先求支反力。xM46根据外荷载直接画剪力图弯矩图的要点：1)首先求出支反力及支反力偶矩。求出之后，支反力及力偶矩便与外荷载同等看待。2)一般应从左到右地依次画出连续的图线。应根据荷载、剪力、弯矩之间的微分关系明确图线的走向。3)图形最右端的结束点应该在横轴上。4)注意标出图形峰点、局部极值点的数值。47PaaaPxFSxFSPPaaMx动脑又动笔PPPaPPaPaPPPPaMx48q2qaaaq2qaaaqaqaqa2

/

2例

画出梁的剪力弯矩图。结构对称荷载对称剪力图反对称弯矩图对称xFSMx49xFSaaqqqa2/

8qa

/

2qa

/

2qa

/

2qa2/

8qa

/

2qa

/

2例

画出梁的剪力弯矩图。结构对称荷载反对称剪力图对称弯矩图反对称Mx50◆

在铰连接处，如果没有集中力偶矩作用，其弯矩应为零。◆

在自由端处，如果没有集中力作用，其剪力应为零；如果没有集中力偶矩作用，其弯矩应为零。加快画图速度的若干技巧◆

对称结构承受对称荷载，其剪力图反对称，弯矩图对称。◆

对称结构承受反对称荷载，其剪力图对称，弯矩图反对称。51qaaqaaqaaqa

/

2qa

/2qaaqa

/2qa

/

2qa

/2qaaqa

/2qa

/

2qa

/2qaaqa

/2qa

/

2qa

/2qa

/

2qa2/2qaaqa

/2qa

/

2qa

/

2qa2/2qa

/2xMFSx例

画出带中间铰的梁的剪力弯矩图。先考虑右半部的平衡。再考虑左半部的平衡。qa

/

2qa

/

2qa2/

2qa2/

852PPa

/

2Pa

/

2P

/

2P

/

2例

画出带中间铰的梁的剪力弯矩图。aaaP

/

2P

/

2P

/

2Pa

/

2P

/

253aaaaaaPPPaPPa分析和讨论荷载作用在中间铰处，在左端铰处引起支反力吗？在左半部引起内力吗？在左半部引起变形吗？在左半部引起位移吗？例

画出带中间铰的梁的剪力弯矩图。54mmm

/

2am

/

2amm

/

2am

/

2am

/

2amm

/

2am

/

2am

/

2am

/

2am

/

2mmmm

/

2a3m

/

2mmmmm

/

2am

/

2am

/

2am

/

2a3m

/

2m例

画出带中间铰的梁的剪力弯矩图。aaa55aa2aqqa2FSxqa

/

47qa

/

4例改正剪力弯矩图的错误。MxMxqa2/4Mxqa2/45qa2/4Mxqa2/45qa2/43qa2/2Mxqa2/45qa2/43qa2/2Mxqa2/45qa2/4qa/4xFSqa/4xFSqa/47qa/4xFSqa/47qa/4xFS56分析和讨论如果已知剪力图，可以完全确定弯矩图吗？在把约束视为外荷载的前提下，已知剪力图，可以完全确定荷载图吗？如果已知弯矩图，可以完全确定剪力图吗？在把约束视为外荷载的前提下，已知弯矩图，可以完全确定荷载图吗？57例根据剪力图画荷载图和弯矩图（无集中力偶矩作用）。6kNm4kNm4.5kNm3kN4kN2kN3kN1kN/m2m2mFS3kN1kN3kN1kNx4mxM分析

根据剪力图在截面上的跃变情况可确定该截面的集中力，根据剪力图在两截面之间的变化情况可确定分布力。

由于无集中力偶矩作用，根据剪力图和荷载图即可确定弯矩。58例根据弯矩图画剪力图荷载图。M1m3m1m1

kNm1

kNm2

kNmxFSx1kN1kN1kN2kN1kN3kNm1kNm596.3.4梁中弯矩的峰值qa2/4qa2/32qa2/2Mx1kNmM3kNm2kNmx峰值峰值峰值峰值峰值峰值梁的强度将取决于弯矩的峰值。弯矩的峰值出现在：剪力为零处——分布荷载作用的区段内剪力跃变处——集中力作用处（包括梁支座处）弯矩跃变处——集中力偶矩作用处60L=2mBAq=3kN/mm1=3kNmm2=1kNmFSx2kN1.33mxM4kN3kNm0.33kNm1kNm先求支反力。例画出图示梁的剪力弯矩图，求绝对值最大的弯矩。绝对值最大的弯矩在左端处，值为3kNm。注意

在考虑弯矩的极值时，应注意梁的端点或支承处的弯矩的绝对值也可能构成全梁中的最大值。4kN2kN61例

如图挡水板每间隔两米由一立桩加固。立桩下端与地基固结。水的重度，求立桩中弯矩

M

沿水深的变化规律，并求弯矩极值。剪力：荷载：弯矩：1m1m2m2m2mB

2m2mz

一

根立桩的挡水宽度B

为2m。立桩可视为下端固定的悬臂梁。自水面向下取坐标系。

一

根立桩的挡水宽度B

为2m。立桩可视为下端固定的悬臂梁。自水面向下取坐标系。

一

根立桩的挡水宽度B

为2m。立桩可视为下端固定的悬臂梁。自水面向下取坐标系。62

一

根立桩的挡水宽度B

为2m。立桩可视为下端固定的悬臂梁。自水面向下取坐标系。例

如图挡水板每间隔两米由一立桩加固。立桩下端与地基固结。水的重度，求立桩中弯矩

M

沿水深的变化规律，并求弯矩极值。剪力：荷载：弯矩：2mz63弯矩极值：2mz弯矩极值的直接求法：2mzqmax剪力：弯矩：荷载：注意

在弯矩在所考虑的区域中是单调递增（或递减）的情况下，峰值必然出现在区域的端点处。2mzFH

/

36465qLBAqLAB例承受均布荷载的梁中，两支座可以在水平方向上移动。两支座移动到什么位置上才能使梁中绝对值最大的弯矩为最小？分析

两支座必须对称移动，才能使梁中的弯矩绝对值为最小。考虑当a增大时梁中的弯矩变化情况，判定弯矩的峰值出现在何处。弯矩的峰值出现在C、D截面。qLBAaaCDqACDBqACDBqACDBMCMDqACDBqACDBqACDB分别列出C、D截面的弯矩与a的函数关系，考虑其变化规律，从而确定a的大小。qLBAaaCD66MCMDC、D截面弯矩MaMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMDMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMDMDMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMDMD只有C、D

截面弯矩的绝对值相等时，才能使最大绝对值弯矩为最小。qLBAaaCD67WF68例

起重机自重

W

50kN，起吊最大重物

F10kN，求横梁中的最大弯矩。WF1m1m10kN4mL

10mCDW

+

FFCD

Fa起重机对横梁的作用应该如何简化？F

2mP1P2L

10mCABD起重机对横梁的作用是否可以简化为一个力和一个集中力偶矩？69例

起重机自重

W

50kN，起吊最大重物

F10kN，求横梁中的最大弯矩。先考虑起重机对横梁的作用。

以小车为研究对象。求C处支反力。设小车左轮到左端铰的距离为

。F

2mP1P2L

10mCABDWF1m1m10kN4mP2CDP1WF1m1m10kN4mAP2CDWF1m1m10kN4mBP1L

10mCDF

2mP1P2L

10mCABDP1P2L

10mCABDRDRC

2m70例

起重机自重

W

50kN，起吊最大重物

F10kN，求横梁中的最大弯矩。先考虑起重机对横梁的作用。

以小车为研究对象。求C处支反力。设小车左轮到左端铰的距离为

。P1P2L

10mCABDRDRC

2m71P1P2L

10mCABDRDRC

2m弯矩极大值出现在A截面或B截面。梁中弯矩图呈如图形状，MBMAA