初中数学北师大版九年级上册第一章　特殊平行四边形“衡水杯”一等奖

．正方形的性质与判定第1课时正方形的性质课后作业:方案（B）一、教材题目：P22，T1-T41．对角线长为2cm2．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB的度数．(第2题)数学理解3．如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD＝QC.证明两条直路BP＝AQ且BP⊥AQ.(第3题)问题解决※4.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分(不考虑道路的宽度)．你有几种方法？(至少说出三种)二、补充题目：部分题目来源于《点拨》2．〈台湾〉如图，四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，其中E在BC上，且B，E两点不重合，连接BG.根据图中标示的角判断下列∠1，∠2，∠3，∠4的大小关系何者正确？()A．∠1<∠2B．∠1>∠2C．∠3<∠4D．∠3>∠4(第2题)(第3题)3．〈四川雅安〉如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC，交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有()A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为________．(第5题)答案教材(第1题)1．解：如图，AC＝2cm，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝2AB2，∴AB＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(2),2)×2＝eq\r(2)(cm)．∴正方形的边长是eq\r(2)cm.2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.∵△CBE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，BE＝BC.∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝90°－60°＝30°，AB＝BE.∴∠AEB＝∠BAE＝eq\f(180°－∠ABE,2)＝eq\f(180°－30°,2)＝75°.点拨：判定△ABE为等腰三角形是解题的关键．3．证明：设BP与AQ交点为O，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAP＝∠D＝90°.∵PD＝QC，AD＝CD，∴AP＝DQ.在△ABP和△DAQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAP＝∠D，,AP＝DQ，))∴△ABP≌△DAQ.∴BP＝AQ，∠APB＝∠DQA.∴∠PAO＋∠APO＝∠DAQ＋∠DQA＝90°.∴∠AOP＝90°.∴BP⊥AQ.点拨：要证明BP⊥AQ，即证∠AOP＝90°，通过三角形全等得到角之间的等量关系，进一步转化后可得∠PAO＋∠APO＝90°，即可推出∠AOP＝90°.※4.解：如图，虚线为所修小路．(第4题)点拨2．D点拨：∵四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°.∵∠BAD＝∠1＋∠DAE，∠EAG＝∠2＋∠DAE，∴∠1＝∠2.在Rt△ABE中，AE＞AB，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，∴AG＞AB，易知∠3＞∠4.故选D.3．C点拨：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°.∵△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°.∴∠BAE＋∠DAF＝30°.在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE＋∠DAF＝30°，∴∠DAF＝15°.∵BC＝CD，∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF.∴①②③正确．设EC＝x.由勾股定理，得EF＝eq\r(2)x，∴AG＝eq\f(\r(6),2)x.∵CE＝CF，CG⊥EF，∴CG＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(2),2)x，∴AC＝eq\f(\r(6)x＋\r(2)x,2)，∴AB＝eq\f(\r(3)x＋x,2)，∴BE＝eq\f(\r(3)x＋x,2)－x＝eq\f(\r(3)x－x,2)，∴BE＋DF＝eq\r(3)x－x≠EF.∵S△CEF＝eq\f(x2,2)，S△ABE＝eq\f(\f(\r(3)x－x,