层次分析法课件

医药信息分析与决策第六章层次分析法

例某人拟从相同配置的金长城电脑、联想电脑和托普电脑中购买一台，你会如何决策？

假定有n个物体,它们的重量分别为W1、W2、……，Wn，并且假定它们的重量和为1个单位，即。两两比较它们之间的重量很容易得出判断矩阵：从上式不难看出，以ｎ个物体重量为分量的向量Ｗ是判断矩阵的特征向量。根据矩阵理论，ｎ为上述矩阵A的唯一非零的，同时也是最大的特征值，而W是该特征值所对应的特征向量。上面的例子显示，如果有一组物体需要估算它们的相对重量，而又没有称重仪器，那么可以通过两两比较这组物体相对重量的方法，得出每对物体的重量比值，从而形成判断矩阵，通过求解判断矩阵的最大特征值和所对应的特征向量，就可以计算出这组物体的相对重量。同样，对于复杂的社会的、经济的以及管理科学等领域的问题，通过建立层次分析模型,构造两两因素判断矩阵，就可应用求解最大特征值和特征向量的方法，来确定出相应的各种方案、措施、政策等相对于总目标的重要性排序权值，以供决策使用。应用这种分析法保持判断思维的一致性是非常重要的，所谓判断一致性，即判断矩阵A有如下关系：

aij＝aik/ajk;i,j,k=1,2,…,n判断矩阵在满足上述完全一致性的条件下，具有唯一非零的、

同时也是最大的特征值λmax＝n(n为判断矩阵的阶数)。

但是，

在一般决策问题中，

决策者不可能给出精确的Wi/Wj度量,

只能对它们进行判断估计。这样,

实际给出的aij判断与理想的Wi/Wj

有偏差，不能保证判断矩阵具有完全的一致性。因此,

为了保证应用该分析法得到的结论基本合理，还需要对构造的判断矩阵进行一致性检验。

层次结构示意图方法特点

在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间的联系，并把它划分为若干层次，如措施层、准则层（含子准则）、目的层等。把定性方法与定量方法有机地结合起来，使复杂的系统分解，把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题，通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后，最后进行简单的数学运算。

二、层次分析法的基本原理

复杂的决策问题往往设计到许多因素，如社会、政治、经济、科技乃至自然环境等，因此要认识一个复杂系统就比较困难。层次分析法正是处理此类问题的有效方法。层次分析法的基本原理可归纳为层次的数学原理—特征向量方法、递阶层次结构原理、两两比较标度与判断原理、层次排序原理。

2、递阶层次结构原理

一个复杂的无结构问题可分解为它的若干组成部分或因素。例如，目标、约束、准则、子准则、方案等,按照属性的不同把这些因素分组形成互不相交的层次，上一层次的因素对相邻的下一层次的全部或某些因素起着支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系,具有这种性质的层次称为递阶层次。

例某人拟从相同配置的金长城电脑、联想电脑和托普电脑中购买一台，其决策的层次结构模型如下：

3、两两比较的标度与判断原理

判断矩阵的构成是，先给出递阶层次中的某一层因素，比如第i层，以及相邻上一层(i-1层)

次中的一个因素Ak,两两比较第i层的所有因素对Ak因素的影响程度，将比较的结果以数字的形式写入一个矩阵表，即构成判断矩阵。

标度 含义

1 表示两个因素相比，具有同样重要性。

3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要。

5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要。

7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素显得很重要。9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素显得极其重要。2，4，6，8上述两相邻判断的中值倒数因素i与j比较得判断bij，则因素j与i比较的判断bji=1/bij。

4、层次排序原理

层次排序原理包括层次单排序、层次总排序和一致性检验理论。

（1）层次单排序原理

确定各层次中因素对相邻上一层次的各因素的优先次序称为层次单排序。层次单排序可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵B，计算满足的特征根与特征向量，式中为B的最大特征根，W为对应于的正规化特征向量，W的分量,即相应因素单排序的权值。其最常见的计算方法有和积法和方根法

（2）一致性检验原理

按照各因素重要程度、优先次序对比的内在规律，判断矩阵应该满足以下三个条件（称为“完全一致性条件”）。

①对角线元素为1②右上三角和左下三角对应元素互为倒数

③因素优先次序的传递关系

由于客观事物的复杂性，人们在分析问题时，认识具有片面性，要达到完全一致性是非常困难的。一致性检验是根据矩阵理论来进行的，根据矩阵理论有公式

当判断矩阵具有完全一致性时，

为判断矩阵阶数。

何为满意一致性呢？为此，将CI与平均随机一致性指标RI进行比较，各阶RI值分别为

当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率，记为CR。当判断矩阵具有满意的一致性，即否则就需要对判断矩阵进行调整。

（3）层次总排序及其一致性检验

计算同一层次上不同因素对总目标的优先次序称为层次总排序

层次分析法的优缺点分析1.系统性的分析方法2.简洁实用的决策方法3.所需定量数据信息较少优点层次分析法的优缺点分析1.不能为决策提供新方案2.定量数据较少，定性成分多，不易令人信服3.指标过多时数据统计量大，且权重难以确定4.特征值和特征向量的精确求法比较复杂缺点判断矩阵中

特征值与特征向量的近似算法：1.和法2.根法3.幂法1.和法简要步骤：1.列归一2.行求和3.列归一4.求出特征值例：A=列向量归一化行求和列向量归一化2.根法根法与和法计算步骤基本相同，只是第二步中和法是“按行求和”，而在根法中是

“按行求积并开n次方”公式变为2.根法简要步骤：1.列归一2.按行求积并开n次方3.列归一4.求出特征值例：A=列向量归一化列向量归一化3.幂法步骤：（1）任取一个与判断矩阵同阶正规化的初值向量，例如取3.幂法（2）计算（k=1，2，…，n）（3）归一化，即令（k=1，2，…，n）3.幂法（4）对于预先给定的精确度ε，如果则为所求特征向量，转入（5）；否则，返回（2）。3.幂法（5）计算最大特征值3.幂法例：A=现假设初始向量为预先给定的精确度ε=0.053.幂法（2）（3）列向量归一化（4）0.566–0.333>0.05，需返回第二步作进一步计算。3.幂法（22）（32）列向量归一化（42）各项差别均小于0.05，可进入第五步计算特征值。3.幂法(5)WTλ精确(0.588,0.322,0.090)3.010和法(0.587,0.324,0.089)3.009根法(0.587,0.324,0.089)3.009幂法(0.588,0.323,0.089)3.034各种方法结果比较：层次分析法的Excel计算方法操作步骤：1.作基本框架2.输入数据3.输入计算公式4.得到并分析结果层次分析法的Excel计算方法例：购置一台新设备的层次分析考虑购置新设备功能价格维护设备P1设备P2设备P3目标层准则层方案层Excel算法公式举例（1）列和计算公式

B10=SUM（B7:B9）（2）归一化矩阵计算公式

H7=B7/B$10（3）层次单排序权重向量计算公式L7=AVERAGE（H7:J7）Excel算法公式举例（4）加权向量计算公式N7=B7*$L$7+C7*$L$8+D7*$L$9（5）一致性计算公式O7=N7/L7（6）CR计算公式O10=((AVERAGE(O7:O9)-3)/2)/0.58Excel算法公式举例（7）层次总排序公式B39=L7，C39=L8，D39=L9B40=L15，C40=L16，D40=L17（8）层次总排序权重计算公式H40=SUMPRODUCT(B39:D39,B40:D40)MATLAB求解eig(A) 求特征值及特征向量inv(A)求方阵的逆矩阵rref(X) 求矩阵X阶梯形的行最简形式应用案例

案例一：某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积极性、提高职工技术文化水平、改善职工物质文化生活三方面，请对各种方法做出评价。（1）层次结构图准则层C方案层D目标层A合理使用企业留利××万元调动职工劳动积极性提高企业技术水平改善职工物质文化生活状况发奖金扩建集体福利设施办技校建图书馆购买新设施AC1C2C3d1d2d3d4d5（2）计算单一准则下元素的相对重要性i.第二层相对于第一层的判断矩阵通过计算得判断矩阵的特征向量和特征值分别为：W=(0.105,0.637,0.258)λmax=3.039对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I.和C.R.C.I.=0.019C.R.=0.033<0.1说明判断矩阵的一致性可以接受。A-CC1C2C3C111/51/3C2513C331/31C1C2C3w1=0.105W2=0.637W3=0.258Aii.第三层元素相对于第二层元素判断矩阵W=(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)126.5max=lC.I=0.032C.R.=0.028<0.1C1-Dd1d2d3d4d5d112347d21/21325d31/31/311/21d41/41/2213d51/71/511/31w11W12W13C1C2C3d1d2d3d4d5w14w15w21W22W23C1C2C3d1d2d3d4d5w24w25w31W32W33C1C2C3d1d2d3d4d5w34w35（3）计算各元素的总权重（4）结论发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新设备W=(0.157,0.164,0.393,0.113,0.172)C.I.=0.028R.I.=0.923CR=0.03<0.10计算结果表明，对于合理使用企业留成利润来说，办技校是首选的方案。案例二：运用AHP方法选择世界杯上场队员案例，本案例运用AHP方法，对中国男子足球队在世界杯比赛中应该首发出场的中后卫人选进行决策目标A ——在世界杯比赛中取得好成绩；准则C有四个 ——技术、心理、经验、伤病；方案D（可供选择的球员） ——范志毅、杜威、李伟峰、张恩华和徐云龙五位可踢中后卫的球员。据此建立模型的递阶层次结构如下图模型D1范志毅A：比赛中取得好成绩C1：技术C2：心理C3：经验C4：伤病D2杜威D3李伟峰D4张恩华D5徐云龙构造第二层相对第一层的判断矩阵：W=(0.398,0.236,0.167,0.199)λmax=4.060C.I.=0.020C.R.=0.022<0.1判断矩阵的一致性可以接受

1C4:伤病11C3:经验121C2:心理2221C1:技术C4:伤病C3:经验C2:心理C1:技术A——CAC1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病第三层各因素对于第二层元素的判断矩阵：

W=(0.217,0.151,0.395,0.160,0.077)λmax=5.015C.I.=0.017C.R.=0.015<0.1

一致性检验通过C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐1D5:徐云龙21D4:张恩华531D3:李伟峰211/21D2:杜威311/221D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:1杜威D1:范志毅C1:技术

W=(0.370,0.069,0.169,0.326,0.066)λmax=5.018C.I.=0.012C.R.=0.011<0.1

一致性检验通过1D5:徐云龙51D4:张恩华31/21D3:李伟峰11/41/31D2:杜威51351D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C2:心理C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐第三层各因素对于第二层元素的判断矩阵：

W=(0.439,0.044,0.161,0.271,0.085)λmax=5.186C.I.=0.047C.R.=0.042<0.1

一致性检验通过1D5:徐云龙1/21D4:张恩华31/31D3:李伟峰1/31/51/41D2:杜威62471D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C3:经验C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐第三层各因素对于第二层元素的判断矩阵：

W=(0.082,0.260,0.138,0.260,0.260)λmax=5.010C.I.=0.002C.R.=0.002<0.1

一致性检验通过1D5:徐云龙11D4:张恩华1/21/21D3:李伟峰1121D2:杜威1/31/31/21/31D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C4:伤病C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐第三层各因素对于第二层元素的判断矩阵：最后计算出层次总排序的权重向量为：

W=(0.263,0.136,0.251,0.238,0.112)C.I.=0.049R.I.=1.120C.R.=0.044<0.1层次总排序一致性检验通过计算结果表明，中国国家足球队在世界杯比赛中，首发的中后卫应该是范志毅和李伟峰，替补的顺序应该依次为张恩华、杜威和徐云龙。步骤小结（1）明确问题（2）建立层次结构（3）构造判断矩阵（4）层次单排序及其一致性检验（5）层次总排序及一致性检验（6）作出相应决策AHP的计算主要通过软件实现，简单方便，使AHP法在现实中已得到了广泛应用。案例三：

AHP在风险投资项目决策中的应用

风险投资：风险投资是指通过一定的机构和方式向各类机构或个人筹集风险资本，然后将其投入具有高度不确定性的企业或项目，并以一定的方式参与所投资风险企业或项目的管理，期望通过实现项目的高成长率并最终通过出售股权等方式获得高额中长期收益的一种投资体系。其一般多以投资基金方式运作，运作的程序包括项目估价、项目决策、谈判和签订协议、辅导管理及退出四个阶段，其中以项目的评估与决策最为关键，因为它是整个风险投资程序的至关重要的第一阶段，也是提高风险资金利用效率和决定风险投资项目成功与否的关键。风险投资项目的不确定性主要表现在以下几个方面：如项目的技术是否具有超前意识？是否可以实现？投资产品是否具有广阔的市场前景？市场占有率会有多大？产品的市场竞争能力如何等。风险投资公司在对项目进行评估时，需要从创业者素质、市场潜力、产品技术、公司管理、财务、国家政策环境等方面对投资项目进行综合评价，即项目目标的选择是一个多目标、多层次、结构复杂、因素众多的大系统，需要一种可将决策者的经验予以量化，将定性和定量相结合，并对决策对象进行优劣排序、筛选的多目标决策分析方法。用AHP法解决这一问题。根据对风险投资因素的分析，各个备选项目的评价主要包括以下几个方面：（1）技术[Ｆ1]：指的是技术开发方面的各种不确定因素，如技术难度、技术适用性、技术成熟性、技术配套性、技术生命周期等。（2）市场潜力[Ｆ2]：指难以确定的市场需求、产品竞争力、上市时机、市场扩展速度、潜在竞争者影响、产品替代性等。（3）管理[Ｆ3]：即人员素质与经验、领导判断与决策的科学化、企业组织合理性、项目管理机制等。（4）领导者素质[Ｆ4]：指创业者的专业知识水平、领导水平、能力、性格等。确定了这些影响项目选择的评价准则，也就构造出如图2-2所示的层次结构分析模型：风险投资层次结构图建立判断矩阵及其一致性检验

表2-12准则层判断矩阵风险项目综合评价F1F2F3F4重要性排序值技术F11

1/53

1/90.0774市场潜力F2516

1/40.2518管理F3

1/3

1/61

1/80.0439创业者素质F494810.6269建立判断矩阵及其一致性检验表2-13技术（