复变函数5-习题课课件

2/6/20231课件一、重点与难点重点：难点：留数的计算与留数定理留数定理在定积分计算上的应用2/6/20232课件二、内容提要留数计算方法可去奇点孤立奇点极点本性奇点函数的零点与极点的关系对数留数留数定理留数在定积分上的应用辐角原理路西原理2/6/20233课件定义

如果洛朗级数中不含

的负幂项,那末孤立奇点

称为

的可去奇点.i)

可去奇点2/6/20235课件ii)极点

定义

如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函数的或写成2/6/20236课件极点的判定方法在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.(a)由定义判别(b)由定义的等价形式判别(c)利用极限判断.2/6/20237课件i)零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那末称为的

m级零点.3)函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系如果是的m级极点,那末就是的

m级零点.反过来也成立.2/6/20239课件2.留数记作定义

如果的一个孤立奇点,则沿内包含的任意一条简单闭曲线

C的积分的值除后所得的数称为以2/6/202310课件1)留数定理

设函数在区域

D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末立奇点留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.2/6/202311课件c)设及在如果那末为一级极点,且有都解析，如果为的级极点,那末b)2/6/202313课件也可定义为记作1.定义设函数在圆环域内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分值为在的留数.的值与C无关,则称此定3)无穷远点的留数2/6/202314课件如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点(包括

点)的留数的总和必等于零.

定理2/6/202315课件2/6/202317课件2）无穷积分2/6/202318课件3）混合型无穷积分2/6/202319课件

4.对数留数定义具有下列形式的积分:内零点的总个数,P为

f(z)在C内极点的总个数.其中,N为

f(z)在C且C取正向.2/6/202321课件如果

f(z)在简单闭曲线C上与C内解析,且在C上不等于零,那么

f(z)在C内零点的个数等于乘以当z沿C的正向绕行一周f(z)的辐角的改变量.辐角原理路西定理2/6/202322课件三、典型例题解2/6/202323课件2/6/202325课件例2求函数的奇点，并确定类型.解是奇点.是二级极点;是三级极点.2/6/202326课件解2/6/202329课件解为奇点,当时为一级极点，2/6/202330课件2/6/202331课件解的一级极点为2/6/202332课件例5计算积分为一级极点，为七级极点.解2/6/202333课件由留数定理得2/6/202334课件例6

解在内,2/6/202335课件2/6/202336课件解例7计算2/6/202337课件2/6/202338课件例8

计算解令2/6/202339课件极点为：2/6/202340课件例9计算积分解极点为其中由留数定