初中数学浙教版八年级上册第4章图形与坐标（全国一等奖）

《第4章图形与坐标》一、选择题1．点P（﹣1，2）关于y轴对称点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）2．如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（0，1）3．点P（m﹣1，2m+1）在第二象限，则m的取值范围是（）A． B． C．m＜1 D．4．点P在第四象限且到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则P点的坐标是（）A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）5．如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）A．（6，1） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（6，﹣3）6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（0，b），如果将线段AB绕点B顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是（）A．（﹣b，b+a） B．（﹣b，b﹣a） C．（﹣a，b﹣a） D．（b，b﹣a）7．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（）A．（﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D．（6，2）8．丽丽家的坐标为（﹣2，﹣1），红红家的坐标为（1，2），则红红家在丽丽家的（）A．东南方向 B．东北方向 C．西南方向 D．西北方向9．在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），规定运算：①A⊕B=（x1+x2，y1+y2）；②A⊗B=x1x2+y1y2；③当x1=x2且y1=y2时，A=B，有下列四个命题：（1）若A（1，2），B（2，﹣1），则A⊕B=（3，1），A⊗B=0；（2）若A⊕B=B⊕C，则A=C；（3）若A⊗B=B⊗C，则A=C；（4）对任意点A、B、C，均有（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）成立，其中正确命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（）A．（2023，1） B．（2023，2） C．（2023，1） D．（2023，2）二、填空题11．如果电影院里的二排六号用（2，6）表示，则（1，5）的含义是．12．若B地在A地的南偏东50°方向，5km处，则A地在B地的°方向km处．13．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则ab的值为．14．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是．15．如图，如果所在位置的坐标为（﹣1，﹣2），所在位置的坐标为（2，﹣2），那么，所在位置的坐标为．16．如图，已知A（0，1），B（2，0），把线段AB平移后得到线段CD，其中C（1，a），D（b，1），则a+b=．17．在直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO是正三角形，若点B的坐标是（﹣2，0），则点A的坐标是．18．已知点P（2m﹣1，m）可能在某个象限的角平分线上，则P点坐标为．19．已知点A（4，y），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x=，y=．20．如图，等边三角形OAB的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，OA=2，将等边三角形OAB绕原点顺时针旋转105°至OA′B′的位置，则点B′的坐标为．三、解答题（共50分）21．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）（1）如图，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；（2）在其他个点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置坐标（写出2个即可）．22．已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（6，8），D（8，0）（1）请建立适当的平面直角坐标系，并描出点A、点B、点C、点D．（2）求四边形ABCD的面积．23．如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC．（1）AC的长等于，△ABC的面积等于．（2）先将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是．（3）再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是24．已知边长为4的正方形OABC在直角坐标系中，（如图）OA与y轴的夹角为30°，求点A、点C、点B的坐标．25．已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．26．在某河流的北岸有A、B两个村子，A村距河北岸的距离为1千米，B村距河北岸的距离为4千米，且两村相距5千米，B在A的右边，现以河北岸为x轴，A村在y轴正半轴上（单位：千米）．（1）请建立平面直角坐标系，并描出A、B两村的位置，写出其坐标．（2）近几年，由于乱砍滥伐，生态环境受到破坏，A、B两村面临缺水的危险．两村商议，共同在河北岸修一个水泵站，分别向两村各铺一条水管，要使所用水管最短，水泵站应修在什么位置在图中标出水泵站的位置，并求出所用水管的长度．

《第4章图形与坐标》参考答案与试题解析一、选择题1．点P（﹣1，2）关于y轴对称点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】计算题．【分析】根据关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．【解答】解：点P（﹣1，2）关于y轴对称点的坐标为（1，2）．故选A．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，注：关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变；关于原点对称，横纵坐标都互为相反数．2．如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（0，1）【考点】点的坐标．【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可．【解答】解：∵P（m+3，2m+4）在y轴上，∴m+3=0，解得m=﹣3，2m+4=﹣2，∴点P的坐标是（0，﹣2）．故选B．【点评】解决本题的关键是记住y轴上点的特点：横坐标为0．3．点P（m﹣1，2m+1）在第二象限，则m的取值范围是（）A． B． C．m＜1 D．【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．【专题】证明题．【分析】让点P的横坐标小于0，纵坐标大于0列不等式求值即可．【解答】解：∵点P（m﹣1，2m+1）在第二象限，∴m﹣1＜0，2m+1＞0，解得：﹣＜m＜1．故选：B．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．点P在第四象限且到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则P点的坐标是（）A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）【考点】点的坐标．【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．【解答】解：∵点P在第四象限且到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，∴点P的横坐标为5，纵坐标为﹣4，∴P点的坐标是（5，﹣4）．故选D．【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．5．如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）A．（6，1） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（6，﹣3）【考点】坐标与图形变化-平移．【专题】推理填空题．【分析】四边形ABCD与点A平移相同，据此即可得到点A′的坐标．【解答】解：四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，因此点A也先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，由图可知，A′坐标为（0，1）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，本题本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（0，b），如果将线段AB绕点B顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是（）A．（﹣b，b+a） B．（﹣b，b﹣a） C．（﹣a，b﹣a） D．（b，b﹣a）【考点】坐标与图形变化-旋转；旋转的性质．【专题】计算题．【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，根据旋转的性质可以证明∠CBD=∠BAO，然后证明△ABO与△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD、CD的长度，然后求出OD的长度，最后根据点C在第二象限写出坐标即可．【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBD=∠BAO，在△ABO与△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴CD=OB，BD=AO，∵点A（a，0），B（0，b），∴CD=b，BD=a，∴OD=OB﹣BD=b﹣a，又∵点C在第二象限，∴点C的坐标是（﹣b，b﹣a）．故选B．【点评】本题主要考查了旋转的性质，坐标与图形的关系，作出辅助线利用全等三角形求出BD、CD的长度是解题的关键．7．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（）A．（﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D．（6，2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF关于y轴对称，A（﹣4，6），∴D（4，6）．故选：B．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，准确记忆横纵坐标的关系是解题关键．8．丽丽家的坐标为（﹣2，﹣1），红红家的坐标为（1，2），则红红家在丽丽家的（）A．东南方向 B．东北方向 C．西南方向 D．西北方向【考点】坐标确定位置．【分析】根据已知点坐标得出所在直线解析式，进而根据图象与坐标轴交点坐标得出两家的位置关系．【解答】解：∵丽丽家的坐标为（﹣2，﹣1），红红家的坐标为（1，2），∴设过这两点的直线解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴直线解析式为：y=x+1，∴图象过（0，1），（﹣1，0）点，则红红家在丽丽家的东北方向．故选：B．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，根据已知得出两点与坐标轴交点坐标是解题关键．9．在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），规定运算：①A⊕B=（x1+x2，y1+y2）；②A⊗B=x1x2+y1y2；③当x1=x2且y1=y2时，A=B，有下列四个命题：（1）若A（1，2），B（2，﹣1），则A⊕B=（3，1），A⊗B=0；（2）若A⊕B=B⊕C，则A=C；（3）若A⊗B=B⊗C，则A=C；（4）对任意点A、B、C，均有（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）成立，其中正确命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题与定理；点的坐标．【专题】压轴题．【分析】（1）根据新定义可计算出A⊕B=（3，1），A⊗B=0；（2）设C（x3，y3），根据新定义得A⊕B=（x1+x2，y1+y2），B⊕C=（x2+x3，y2+y3），则x1+x2=x2+x3，y1+y2=y2+y3，于是得到x1=x3，y1=y3，然后根据新定义即可得到A=C；（3）由于A⊗B=x1x2+y1y2，B⊗C=x2x3+y2y3，则x1x2+y1y2=x2x3+y2y3，不能得到x1=x3，y1=y3，所以A≠C；（4）根据新定义可得（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）=（x1+x2+x3，y1+y2+y3）．【解答】解：（1）A⊕B=（1+2，2﹣1）=（3，1），A⊗B=1×2+2×（﹣1）=0，所以（1）正确；（2）设C（x3，y3），A⊕B=（x1+x2，y1+y2），B⊕C=（x2+x3，y2+y3），而A⊕B=B⊕C，所以x1+x2=x2+x3，y1+y2=y2+y3，则x1=x3，y1=y3，所以A=C，所以（2）正确；（3）A⊗B=x1x2+y1y2，B⊗C=x2x3+y2y3，而A⊗B=B⊗C，则x1x2+y1y2=x2x3+y2y3，不能得到x1=x3，y1=y3，所以A≠C，所以（3）不正确；（4）因为（A⊕B）⊕C=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），A⊕（B⊕C）=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），所以（4）正确．故选C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了阅读理解能力．10．如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（）A．（2023，1） B．（2023，2） C．（2023，1） D．（2023，2）【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据各点的横纵坐标变化得出点的坐标规律进而得出答案即可．【解答】解：∵第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，∴按这样的运动规律，第几次横坐标即为几，纵坐标为：1，0，2，0，1，0，2，0…4个一循环，∵=503…1，∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是：（2023，1）．故选C．【点评】此题主要考查了点的坐标规律，根据已知的点的坐标得出点的变化规律是解题关键．二、填空题11．如果电影院里的二排六号用（2，6）表示，则（1，5）的含义是一排五号．【考点】坐标确定位置．【分析】根据有序数对表示位置，可得答案．【解答】解：电影院里的二排六号用（2，6）表示，则（1，5）的含义是一排五号，故答案为：一排五号．【点评】本题考查了坐标确定位置，利用有序数对表示位置是解题关键．12．若B地在A地的南偏东50°方向，5km处，则A地在B地的北偏西50°方向5k【考点】方向角．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【解答】解：从图中发现∠CAB=50°，故A地在B地的北偏西50°方向5km．【点评】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解答此类题的关键．13．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则ab的值为25．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．【解答】解：∵点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），∴，解得：，则ab的值为：（﹣5）2=25．故答案为：25．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．14．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（3，2）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】首先利用图形得出A点坐标，再利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解答】解：如图所示：A（﹣3，2），则点A关于y轴对称的对应点A′的坐标是：（3，2）．故答案为：（3，2）．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．15．如图，如果所在位置的坐标为（﹣1，﹣2），所在位置的坐标为（2，﹣2），那么，所在位置的坐标为（﹣3，1）．【考点】坐标确定位置．【专题】压轴题．【分析】根据已知两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．【解答】解：由所在位置的坐标为（﹣1，﹣2），所在位置的坐标为（2，﹣2），可以确定平面直角坐标系中x轴与y轴的位置．从而可以确定所位置点的坐标为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减，上加下减来确定坐标．16．如图，已知A（0，1），B（2，0），把线段AB平移后得到线段CD，其中C（1，a），D（b，1），则a+b=5．【考点】坐标与图形变化-平移．【分析】根据点A、C的横坐标判断出向右平移1个单位，然后求出b，再根据点B、D的纵坐标判断出向上平移1个单位，然后求出a，最后相加计算即可得解．【解答】解：∵A（0，1），C（1，a），∴向右平移1个单位，∴b=2+1=3，∵B（2，0），D（b，1），∴向上平移1个单位，∴a=1+1=2，∴a+b=2+3=5．故答案为：5．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，根据对应点的坐标的变化确定出平移方法是解题的关键．17．在直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO是正三角形，若点B的坐标是（﹣2，0），则点A的坐标是．【考点】等边三角形的性质；坐标与图形性质．【分析】首先根据题意画出图形，过点A作AC⊥OB于点C，由△ABO是正三角形，点B的坐标是（﹣2，0），即可求得OC与AC的长，继而求得答案．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是正三角形，∴OA=OB=2，OC=BC=OB=1，∴AC==，∴点A的坐标是；（﹣1，），同理：点A′的坐标是（﹣1，﹣），∴点A的坐标是（﹣1，）或（﹣1，﹣）．故答案为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）．【点评】此题考查了等边三角形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．18．已知点P（2m﹣1，m）可能在某个象限的角平分线上，则P点坐标为（﹣，）或（1，1）．【考点】点的坐标．【分析】分两种情况讨论：①根据第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数列出方程求解即可；②根据第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可．【解答】解：分两种情况讨论：①当点P（2m﹣1，m）在第二、四象限角平分线上时，2m﹣1+m=0，解得：m=，则点P的坐标为：（﹣，）；②当点P（2m﹣1，m）在第一、三象限角平分线上时，2m﹣1=m，解得：m=1，则点P的坐标为（1，1）；故答案为：（﹣，）或（1，1）．【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是分两种情况讨论．19．已知点A（4，y），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x=9或﹣1，y=﹣3．【考点】坐标与图形性质．【分析】若AB∥x轴，则A，B的纵坐标相同，因而y=﹣3；线段AB的长为5，即|x﹣4|=5，解得x=9或﹣1．【解答】解：若AB∥x轴，则A，B的纵坐标相同，因而y=﹣3；线段AB的长为5，即|x﹣4|=5，解得x=9或﹣1．故答案填：9或﹣1，﹣3．【点评】本题主要考查了与坐标轴平行的点的坐标的关系，与x轴的点的纵坐标相同，与y轴平行的线上的点的横坐标相同．20．如图，等边三角形OAB的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，OA=2，将等边三角形OAB绕原点顺时针旋转105°至OA′B′的位置，则点B′的坐标为（，﹣）．【考点】坐标与图形变化-旋转；等边三角形的性质．【分析】过B作BE⊥OA于E，则∠BEO=90°，根据等边求出OB=OA=2，∠BOA=60°，根据旋转得出∠AOA′=105°，∠A′OB′=∠AOB=60°，求出∠AOB′=45°，解直角三角形求出B′E和OE即可．【解答】解：过B作BE⊥OA于E，则∠BEO=90°，∵△OAB是等边三角形，A（2，0），∴OB=OA=2，∠BOA=60°，∵等边三角形OAB绕原点顺时针旋转105°至OA′B′的位置，旋转角为105°，∴∠AOA′=105°，∠A′OB′=∠AOB=60°，OB=OB′=2，∴∠AOB′=105°﹣60°=45°，在Rt△B′EO中，B′E=OE=OB′=，即点B′的坐标为（，﹣），故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，能构造直角三角形是解此题的关键．三、解答题（共50分）21．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）（1）如图，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；（2）在其他个点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置坐标（写出2个即可）．【考点】利用轴对称设计图案．【分析】（1）A，O，B，C四颗棋子构成等腰梯形，然后画出上下两底的中垂线即可；（2）根据轴对称图形的定义：沿着一直线折叠后，直线两旁的部分能重合是轴对称图形，然后添加一颗棋子P即可．【解答】解：（1）如图所示：直线l为对称轴；；（2）如图所示：P（2，1），（0，﹣1）．【点评】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．22．已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（6，8），D（8，0）（1）请建立适当的平面直角坐标系，并描出点A、点B、点C、点D．（2）求四边形ABCD的面积．【考点】坐标与图形性质．【专题】作图题；网格型．【分析】（1）选取适当的点作为坐标原点，经过原点的两条互相垂直的直线分别作为x轴，y轴，建立坐标系，分别描出点A、点B、点C、点D．如确定（3，6）表示的位置，先在x轴上找出表示3的点，再在y轴上找出表示6的点，过这两个点分别做x轴和y轴的垂线，垂线的交点即所要表示的位置．（2）过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，利用四边形ABCD的面积=S△ABE+S梯形BEFC+S△CFD，进行求解．【解答】解：（1）如图所示．（2）过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，则S四边形ABCD=S△ABE+S梯形BEFC+S△CFD===9+21+8=38答：四边形ABCD的面积为38．【点评】主要考查了直角坐标系的建立．在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．23．如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC．（1）AC的长等于，△ABC的面积等于．（2）先将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是（1，2）．（3）再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是（﹣3，﹣2）【考点】坐标与图形变化-旋转；三角形的面积；坐标与图形变化-平移．【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）A的坐标是（﹣1，2），向右平移2个单位长度，则A′的坐标即可写出；（3）根据旋转的性质，即可求解．【解答】解：（1）AC==，S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=，故答案为：；；（2）A点的对应点A′的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）．（3）并写出A点对应点A1的坐标是（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．【点评】本题主要考查了旋转及平移变换，解题的关键是旋转及平移变换的变化特征．24．已知边长为4的正方形OABC在直角坐标系中，（如图）OA与y轴的夹角为30°，求点A、点C、点B的坐标．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．【专题】计算题．【分析】作AD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，作BF⊥CE于F，如图，先求出∠AOD=60°，则利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD=OA=2，AD=OD=2，从而得到A点坐标；再计算出∠COE=30°，则在Rt△COE中可计算出CE=OC=2，OE=CE=2，于是得到C（﹣2，2）；然后计算出∠BCF=30°，所以BF=BC=2，CF=BF=2，于是得到B点坐标．【解答】解：作AD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，作BF⊥CE于F，如图，∵OA与y轴的夹角为30°，∴∠AOD=60°，∴OD=OA=2，AD=OD=2，∴A（2，2）；∵∠AOC=90°，∴∠COE=30°，在Rt△COE中，CE=OC=2，OE=CE=2，∴C（﹣2，2）；∵∠OCE=60°，∠BCO=90°，