初中数学北师大版八年级下册第五章分式与分式方程4．分式方程“黄冈赛”一等奖

课题：分式方程课型：新授课年级：八年级教学目标：1．经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．2.经历“实际问题－分式方程方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识.教学重点与难点：重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义.难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程.教学过程：一、创设情景，自然引入在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题：面对目前严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务．那么原计划每月固沙造林多少公顷呢？当时，我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月.根据题意，可得方程.中，，是不同于整式的代数式，我们称之为分式.像这样的方程我们称之为分式方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型.今天我们共同走进它，研究它．【教师板书课题：分式方程（1）】设计意图：通过前面学过的题目，做好知识的衔接，通过实际问题引入，也说明数学来源于生活实际，实际问题需要进一步学习数学，同时激发学生的求知欲，引入新课.．二、交流讨论探索新知活动1：路程问题同学们认识这两种车吗？（出示图片）它们的区别同学们知道吗？第一种是特快列车，第二种是高铁列车．一般来讲高铁速度最快（平均时速300km/h左右），特快最慢（平均时速100km/h左右），高铁也属于动车的一种，与普通动车的区别主要是使用专用路线，所用车底也不一样．特快与平时最常见的列车没有太大区别，停站少，总体运行速度稍快而已．设计意图：课外知识的扩充，充分地调动了学生学习的热情和积极性，为下一步解疑创造良好的氛围．师：现在就一道有关这两种列车的数学问题考考同学们，接受挑战吧！（多媒体出示）甲、乙两地相距1400甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的倍．问题：(1)你能找出这一问题中有哪些等量关系？（两两交流）(2)如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？(3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？处理方式:小组讨论交流，教师巡视指导.由小组代表讲一讲想法.(1)等量关系:乘高铁列车所用的时间+9h=乘特快列车所用的时间．高铁列车速度=特快列车速度×．乘高铁列车所用的时间==．乘特快列车所用的时间=．(2)如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足方程：．(3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足方程：．设计意图：利用学生好奇的心理创设问题，在学生感到新奇的过程中激发学生强烈的求知欲，无疑对本节课的学习创设了良好的氛围；通过设置问题串，使学生拾阶而上，降低了学习的难度，增强了自信心，赢得了成就感．活动2：捐款问题我国是世界上自然灾害种类最多的国家，自然灾害也给一些地区造成重创（播放图片），每当这时全国人民都会纷纷伸出友谊之手，捐出自己的一份爱．设计意图：通过生活中的情境，激发学生的学习兴趣，为下面问题的提出做铺垫.（多媒体出示）为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等，如果设七年级捐款人数为为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等，如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？温馨提示：可借助表格分析题目．

捐款总额捐款人数人均捐款额第一次

第二次

处理方式：学生独立思考，然后组织讨论，交流，教师巡视，给予必要的指导.教学建议：要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，此时，每位同学都有了一定的找等量关系的感觉，先让他们自己完成，再小组讨论．如果设七年级捐款人数为x人，根据题意，可得方程：.（师黑板板书）设计意图：让学生熟练掌握“找等量关系——列分式方程”，并将此所得方程和前两个方程，作为下面归纳分式方程定义的依据.活动三：感悟升华（多媒体出示），，，．上面所得到的方程有什么共同特点？这样的方程怎么称呼?特点：分母中都含有未知数，这些方程都有分式.强调方式方程的定义：分母中含有未知数方程是分式方程.温馨提示：温馨提示：判断分式方程的条件：①方程；②分母中含有未知数。【跟踪练习】找找看！下列方程哪些是整式方程，哪些是分式方程?（1）；（2）；（3）；（4）.思考：整式方程与分式方程有什么区别？整式方程的分母中不含有未知数，分式方程的分母中含有未知数.设计意图：通过让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念三、课堂练习，巩固提高1.据联合国《2023年全球投资报告》指出,中国2023年吸收外国投资额达530亿美元,居全球第二位,比上一年增加了13%.设2023年我吸国收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程.你能写出几个？其中哪一个是分式方程？参考答案：2.［小麦实验田问题］有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量.提出问题：1.在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积.其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积.第一块试验田的面积=第二块试验田的面积;（a）第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量.（b）问题2.如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少kg呢？法1：根据等量关系（b），可知第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg.根据题意，利用等量关系（a），可得方程：=. 法2：根据等量关系（a），我们可以设两块试验田的面积都为x公顷，那么表示第一块试验田每公顷的产量，表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b）可列出方程：+3000= （3）处理方式：学生独立思考后举手口答.（多媒体展示）3.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半.求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.思考：这一问题中有哪些等量关系？如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为h，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________h.根据题意，可得方程______________________.处理方式：学生分组探讨、交流，列出方程.设计意图：通过设置较低的起点，让学生更容易理解，通过不断的交流——总结，让学生掌握并巩固知识，不但可以提高学生的课堂学习效率，也有助于发展学生的创新能力.四、课堂小结，反思提高通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了哪些方法？处理方式：学生口答:什么是分式方程？注意掌握列分式方程的基本步骤：一审：审清题意，弄清已知量与未知量之间的数量关系和相等关系.二设：设未知数.三列：列代数式，列方程.设计意图：让学生通过总结反思，了解自己本节课知识掌握的程度，进一步升华对本节重点知识的理解.四、达标检测，反馈矫正1、下列各式中，是分式方程的是()+y=5 B.C. D.=02.“退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程．某地规划退耕面积共69000，退耕还林与退耕还草的面积比为5∶3，设退耕还林的面积为x，那么x满足怎样的分式方程？3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？处理方式：讨论后，各小组可选代表回答上面的问题.参考答案：3题设未知数的方法采用下面方法：法1：设原定是x人，那么每人平均分摊元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊元，根据题意，利用等量关系（d），得方程：－4= . 法2：设原定每人平摊y元，那么原定人数为人；实际参加活动的每个同学平摊（y－4）元，那么实