空气动力学基础第五章边界层理论及其近似

第5章边界层理论及其近似5.1、边界层近似及其特征5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程5.3、平板层流边界层的相似解5.4、边界层动量积分方程5.5、边界层的分离现象5.1、边界层近似及其特征1、边界层概念的提出

业已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:

惯性力：

粘性力：惯性力/粘性力：

因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。5.1、边界层近似及其特征

这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而且确实较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一个典型的例子。（D’Alembert，法国力学家，1717-1783）那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决绕流物体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力学大师德国学者L.Prandtl通过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundarylayer）。5.1、边界层近似及其特征

Prandtl的边界层概念，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是：（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论处理。（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。2、边界层的特征（1）边界层定义严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度。5.1、边界层近似及其特征（2）边界层的有涡性粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为对于不可压缩流体，二维流动的涡量输运方程为上式表明，由于粘性的影响，物面上的涡量一方面沿垂直流线方向扩散，另一方面，涡量沿主流方向迁移，并随之而逐渐衰减。涡量的扩散速度与粘性有关，涡量的迁移速度取决于流动速度。5.1、边界层近似及其特征（3）边界层厚度的量级估计根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界层厚度为。惯性力：

粘性力：

由惯性力与粘性力同量级得到

5.1、边界层近似及其特征由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。

（4）边界层各种厚度定义（a）边界层排移厚度在边界层内，理想流体的质量流量为其中，ue为边界层外缘速度。由于粘性的存在，实际流体通过的质量流量为

上述两项之差表示粘性存在而损失的流量，这部分流量被排挤到主流场中，相当于主流区增加了一层流体。5.1、边界层近似及其特征主流区所增加的厚度为这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的。因此，称其为排移厚度。（b）边界层动量损失厚度在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想流体通过的动量为

由于粘性的存在，实际流体通过的动量为5.1、边界层近似及其特征上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失用外流流速ue（理想流体）折算的动量损失厚度为（c）边界层能量损失厚度在边界层内，在质量流量不变的条件下，以外流速度（理想流体）通过的动能为由于粘性的存在，实际流体通过的动能为5.1、边界层近似及其特征

上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失用主流流速ue（理想流体）折算的动能损失厚度为:

上述各种厚度的计算公式，对于不可压缩流体而言，变为:5.1、边界层近似及其特征（5）几点说明（a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被流体所通过的，允许流体穿过边界线流动。在边界层内流线是向外偏的。

（b）边界层各种厚度的定义式，即适用于层流，也适用于湍流。（c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关。但各厚度的大小依次是:

边界层厚度>边界层排移厚度>边界层动量损失厚度LudwigPrandtl介绍普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。”普朗特指导过81名博士生，著名学者Blasius、VonKarman是其学生之一。我国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女，1911–1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程1、平壁面上边界层方程根据Prandtl边界层概念，通过量级比较，可对N-S方程组进行简化，得到边界层近似方程。对于二维不可压缩流动，N-S方程为

选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定：5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。（2）法向速度远远小于纵向速度。（3）边界层内的压强与外流速度的平方成正比。将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程N-S方程组与各项量级比较:5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程在高Re数情况下，忽略小量得到忽略质量力，由第三个方程得到这说明，在高Re数情况下，在边界层内压力沿法向是不变的。5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程

边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等。也就是，p与y无关，仅是x和t的函数。即忽略质量力，Prandtl边界层方程变为

边界条件：5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程在边界层外边界线上，可按照理想流体势流方程确定压强。即

在定常流动情况下，有5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程综上所述，边界层基本特性可归纳为2、曲壁面上的边界层方程在实际流动中所遇到的物面常是弯曲的，因此推导曲壁面上的边界层方程具有重要意义。在推导中，使用曲壁面上的边界层坐标系。其中，x轴贴着壁面，y轴垂直于壁面。在边界层内任取一点M，其坐标

x=ONy=NMM’为M的邻点，MM’的弧长为ds5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程在x处，设曲壁的曲率半径为R(x)，有则

仍以u和v分别表示边界层坐标系中的x和y方向的速度分量，则由正交曲线坐标系方程，得到连续方程5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程运动方程为:5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程

假定物面的曲率半径R(x)与x向的特征长度L同量级，y的量级与边界层厚度同量级，故有

量级比较，简化的边界层方程为5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程这就是曲壁面上的边界层方程，与平壁面的方程相比，只是y方向的方程有所不同。为了和流动弯曲所产生的离心力相平衡，必须有y方向的压力梯度。以下估计这个压力梯度的量级大小。初步假定边界层内速度分布为线性分布。从y=0到y=s积分，有在R>>s的情况下，此压差是个小量，可忽略不计。由此仍得出在曲壁面的边界层内，法向压力不变是个常数。这说明，在曲率半径不太小且变化不太大的情况下，曲壁面上的边界层方程与平壁面上的边界层方程完全相同。5.3、平板层流边界层的相似解

1908年，Prandtl学生Blasius利用边界层速度分布的相似性求解了平板层流边界层方程。对于零压梯度、定常、不可压缩流体平板层流绕流，边界层方程为相应的边界条件为

Blasius假设，在平板上边界层内的速度分布具有相似性特征。即

5.3、平板层流边界层的相似解根据量级比较，边界层厚度的量级为:

引入流函数，可消掉一个连续方程。

5.3、平板层流边界层的相似解由此得到代入方程中，得到5.3、平板层流边界层的相似解化简后变为边界条件为Blasius用无穷级数进行了求解。假设：其中，为待定系数。5.3、平板层流边界层的相似解

由边界条件，可得（1）边界层厚度

（2）边界层位移厚度

（3）边界层动量损失厚度

5.3、平板层流边界层的相似解（4）壁面切应力（5）壁面摩擦阻力系数

（6）平均壁面摩擦总阻力系数

郭永怀（1953年）对平板前缘点的修正，得到适用范围：

5.4、边界层动量积分方程边界层动量积分关系式是由Karman1921导出的，对近似求解边界层特性具有重要作用。适应于层流边界层和湍流边界层。今在边界层内任取一控制体，控制体长度为dx，控制面为Aab、Abc、Acd、Ada。现对控制体应用动量定律，可得由Aab面流入控制体的质量为

由Acd面流出控制体的质量为5.4、边界层动量积分方程根据质量守恒定律，通过Abc流入控制体的质量为由Aab面流入控制体的动量为由Acd面流出控制体的动量为通过Abc流入控制体的动量在x方向的分量为

5.4、边界层动量积分方程在Aab面上的作用力为在Acd面上的作用力为在Abc面上的力为在Aad面上的切应力为

5.4、边界层动量积分方程现对控制体建立x方向的动量方程为整理后，得由于5.4、边界层动量积分方程由Bernoulli方程，可得这就是边界层动量积分方程。是一个一阶常微分方程，适应于层流和湍流边界层。

5.4、边界层动量积分方程如果写成无量纲形式，有对于零压梯度的平板边界层流动，有动量积分方程也可通过直接积分边界层微分方程获得。对于二维不可压缩流体边界层方程为5.4、边界层动量积分方程用ue乘以连续方程，并把动量方程改写。两式相减，得到积分上式，有5.4、边界层动量积分方程整理后，得到这与Karman方程完全一样。动量积分方程含有三个未知数，排移厚度、动量损失厚度、壁面切应力。因此，必须寻求补充关系，积分求解。由于三个未知量都取决与边界层的速度分布，因此只要给定速度分布，就可以求解。显然，该方法的精度取决于边界层内速度分布的合理性。通常假定，边界层内速度分布为

确定系数的条件为例题：解的形式一次型：3.464二次型：5.477三次型：

4.641四次型：5.835正弦函数：

4.795精确解：Blasius数值解5.00平板边界层，有5.4、边界层动量积分方程对于壁面切应力，有代入动量积分方程中，得到5.4、边界层动量积分方程5.5、边界层的分离现象1、边界层分离现象边界层中的流体质点受惯性力、粘性力和压力的作用。其中，粘性力的作用始终是阻滞流体质点运动，使流体质点减速，失去动能；压力的作用取决于绕流物体的形状和流道形状，顺压梯度有助于流体加速前进，而逆压梯度阻碍流体运动。以圆柱绕流为例说明边界层的分离现象。对于理想流体，流体微团绕过圆柱时，在OM段为加速减压区，压能转化为动能。在MF段为减速增压区，动能减小压能增加5.5、边界层的分离现象对于粘性流体，在上述能量的转化过程中，由于粘性的作用，边界层内的流体质点将要克服粘性力作功而消耗机械能。因此微团在逆压区，不可能到达F点，而是在MF段中的某点处微团速度降为零，以后来的质点将改道进入主流中，使来流边界层与壁面分离。在分离点下游的区域，受逆压梯度的作用而发生倒流。分离点定义为紧邻壁面顺流区与倒流区的分界点。在分离点附近和分离区，由于边界层厚度大大增加，边界层假设不在成立。边界层分离的必要条件是：逆压梯度和物面粘性的阻滞作用结果。

仅有粘性的阻滞作用而无逆压梯度，不会发生边界层的分离，因为无反推力使边界层流体进入到外流区。这说明，顺压梯度的流动不可能发生边界层分离。只有逆压梯度而无粘性的阻滞作用，同样也不会发生分离现象，因为无阻滞作用，运动流体不可能消耗动能而滞止下来。5.5、边界层的分离现象气流绕翼型的流动与边界层分离现象。

需要指出的是：逆压梯度和壁面粘性阻滞作用是边界层分离的必要条件，但不是充分的，也就是说只有在一定的逆压梯度下，才有可能发生分离。5.5、边界层的分离现象2、在不同压力梯度区