初中数学北师大版九年级上册第一章　特殊平行四边形（市一等奖）

．菱形的性质与判定第2课时菱形的判定课后作业:方案（B）一、教材题目：P7T1-T31．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F.求证：四边形AFCE是菱形．(第1题)2．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是菱形．(第2题)数学理解3．如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论．(第3题)二、补充题目：部分题目来源于《点拨》6．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.(1)求证：BE＝DG.(2)若∠B＝60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．(第6题)(第7题)7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN.求证：四边形ABCD是菱形．(第12题)12．如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝eq\r(5).对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.(1)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．(2)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形．(3)在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．13．〈湖南娄底〉某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与直角三角板AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转∠α(0°<∠α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN.(2)当∠α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？说明理由．(第13题)答案教材1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.∵EF垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°.∴△AEO≌△CFO.∴AE＝CF.∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．2．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA.∵点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，∴EF＝eq\f(1,2)AB，FG＝eq\f(1,2)BC，GH＝eq\f(1,2)CD，HE＝eq\f(1,2)DA.∴EF＝FG＝GH＝HE.∴四边形EFGH是菱形．3．解：四边形CDC′E是菱形，证明如下：∵AD∥BC，∴∠C′DE＝∠CED.由折叠的性质可知∠C＝∠DC′E，DC＝DC′，EC＝EC′.在△CDE和△C′ED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠DC′E，,∠CED＝∠C′DE，,DE＝ED，))∴△CDE≌△C′ED.∴EC＝DC′.∴EC′＝EC＝DC′＝DC.∴四边形CDC′E是菱形．点拨6．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD.∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成的．∴AE＝CG，CG⊥AD，∴∠AEB＝∠CGD＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△CDG，∴BE＝DG.(2)解：当BC＝eq\f(3,2)AB时，四边形ABFG是菱形．证明如下：∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形．在Rt△ABE中，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝eq\f(1,2)AB(直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半)．∵BE＝CF，BC＝eq\f(3,2)AB，∴BF＝BC－FC＝eq\f(3,2)AB－eq\f(1,2)AB＝AB，∴四边形ABFG是菱形．7．证法一：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD＋∠B＝180°.∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形．证法二：连接BD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵∠BAD＝∠BCD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.∴AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．证法三：连接AC.∵AM＝AN，AC＝AC，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ACM≌Rt△ACN.∴∠ACB＝∠ACD.∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴DC＝AD.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠ACD，∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴平行四边形ABCD是菱形．12．(1)解：在▱ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，∴∠FAO＝∠ECO.在△AOF和△COE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FAO＝∠ECO，,OA＝OC，,∠AOF＝∠COE，))∴△AOF≌△COE，∴AF＝CE.(2)证明：由题意，知∠AOF＝90°(如图①)．∵AB⊥AC，∴∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠AOF，∴AB∥EF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形．(第12题)(3)解：当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形(如图②)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵AF＝CE，∴DF∥BE，DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形．又∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．∵AB⊥AC，∴在△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2.∵AB＝1，BC＝eq\r(5)，∴AC＝eq\r(BC2－AB2)＝2.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2＝1.∵在△AOB中，AB＝AO＝1，∠BAO＝90°，∴∠AOB＝45°.∵EF⊥BD，∴∠BOF＝90°，∴∠AOF＝∠BOF－∠AOB＝90°－45°＝45°，即此时AC绕点O顺时针旋转的度数为45°.技巧点拨：技巧1：巧用旋转到特殊位置猜想(3)的结论；技巧2：巧用证特殊直角三角形求角度．13．(1)证明：∵∠α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴∠α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN，∴AM＝AN.(2)解：四边形ABPF是菱形．理由如下：∵∠α＝30°，∠EAF＝90