第二讲地下水建模方法和步骤xiugai

地下水建模方法和步骤地下水建模方法和步骤(1)求解地下水运动方程的数值方法(2)地下水数值模型建模步骤(3)建模所需要的基本资料绝大部分数学模型是无法用解析法求解的，数值化就是将数学模型转化为可解的数值模型。(1)数值方法有限差分法有限单元法积分有限差分法半解析半数值法边界元法有限差分法原理导数的有限差分近似建立有限差分方程求解有限差分方程收敛性和稳定性概念截断误差无压含水层水流问题二类边界处理抽水井计算水位与实际水位差别及影响因素分析有限差分法有限差分法的基本原理方法一．以地下水流基本微分方程及其定解条件为基础，在渗流区剖分基础上，用差商代替微商，将地下水流微分方程的求解转化为差分方程（代数方程）求解。

方法二．在渗流区剖分的基础上，直接由达西定律和水均衡原理，建立各个均衡区的水均衡方程，即差分方程。

导数的有限差商近似导数的定义

当非常小的时候，有

上式右端项即为f(x)在x0处的差商。这样定义的差商很容易理解，但不知道用差商代替微商所产生的误差。下面利用泰勒公式导出差商及其误差。已知泰勒公式①由A得：

AB②由B得：

称为f(x)在x0处的一阶前向差商，为截断误差。称为f(x)在x0处的一阶后向差商，为截断误差。

③由A-B可以得：

④由A+B可以得：AB称为f(x)在x0处的一阶中心差商，为截断误差。称为f(x)在x0处的二阶中心差商，为截断误差。对于偏导数（偏微商），类似可以得到相应的差商，例如在地下水流微分方程中，常见的偏微商导数的有限差商近似差分格式显式差分格式隐式差分格式显式有限差格式例：河间地块承压水流模型

设两条河流平行、完全切割含水层，含水层等厚、均质各向同性。步骤：（1）基础资料的分析（2）概念模型（3）数学模型（4）数值方法及计算机程序（5）参数（6）结果分析建立数学模型（1）模型概化由所述水文地质条件，可以概化为一维承压水流问题。（2）建立坐标系（如图），将地下水流动系统空间结构放在坐标系内，从而量化各变量的取值范围。本例，取x-轴原点位于左端河，右侧为正向，设两河流间距为L.（3）数学模型差分方程及其解法—显式格式①将（0—L）分成N等份，1)网格剖分：②取时间步长，记（n=0、1、2、3、4……）记，(i=0,1,2,3，4……N)2）建立差分方程：在网格系统中任意取一点设是问题的解，则在处有记为（i，n）用差商代替微商：

将上述两式舍去余项，代入方程并记为显然该式具有截断误差得到显式格式（续1）引入无量纲变量：将该式子代入得到：

（i=1，2，3，.....N-1），（n=1，2，3，.....）

显式格式（续2）3）显示差分方程的求解计算各结点初始时刻水头值利用差分方程计算各结点t1时刻水头值利用边界条件计算边界结点水头值重复2、3步，直到计算出拟计算的各个时刻的水头值显式格式（续3）算例（续4）在上述模型中，设L=1000米取空间步长为200米，时间步长为0.25天，分别计算各节点各时刻的水头值。Time/dayx=0mx=200mx=400mx=600mx=800mx=1000m02010101010100.252012.5101010100.502013.7510.6251010100.752014.53111.25010.15610101.002015.07811.79710.39110.039101.252015.48812.26610.65410.11710算例（续5）Time/dayx=0mx=200mx=400mx=600mx=800mx=1000m02010101010100.252020101010100.502010201010100.75203002010101.0020-10101.252010算例（续6）如果⊿t=1,则差分方程及其解法—隐式格式①将（0—L）分成N等份，1)网格剖分：②取时间步长，记(n=0、1、2、……)记，(i=0,1,2……N)2）建立差分方程：在网格系统中任意取一点设是问题的解，则在处有记为（i，n），用差商代替微商：

将上述两式舍去余项，代入方程并记为显然该式具有截断误差得到隐式格式（续）引入无量纲变量：将该式子代入得到：

（i=1，2，3，.....N-1）；n=1，2，3，.....）

写成方程组，得隐式格式（续2)………………(1)(2)(N-1)隐式格式（续3)4）一维隐式差分方程的收敛性和稳定性条件截断误差隐式格式的收敛条件和稳定条件是：3）隐式差分方程的求解计算各结点初始时刻水头值计算t1时刻水头值计算边界结点水头值重复2、3步，直到计算出拟计算的各个时刻的水头值隐式格式（续4)算例oxH在上述模型中，设L=1000米取空间步长为200米，时间步长为0.25天，用隐式差分格式计算各节点个时刻的水头值。在这个例子中，解：隐式格式一般方程为于是有根据初始条件得根据边界条件得由初始条件和边界条件由此解得t1时刻的水头值为在上述方程中取n=0,可以得到计算t1时刻水头值的方程所以上述方程变成同理，可计算t2时刻的水头值差分方程的收敛性和稳定性截断误差：用差商代替微商时，地下水流动方程产生的误差为截断误差。收敛性：当空间步长和时间步长趋于0时，有限差分方程的精确解趋于地下水流动问题微分方程定解问题的精确解。则称该差分格式是收敛的。稳定性：如果在求解差分方程过程中，某时间步引入某个误差，而在以后的各时段计算中，该误差不再扩大，则称该差分格式是稳定的。一维显示格式的收敛条件和稳定条件是：前面介绍的几种差分格式，都是以第一类边界条件为例，说明其具体计算方法的。如果是第二类边界条件，怎样使用这些格式进行计算呢？为此，我们以下面的定解问题为例来讨论这个问题。设问题数学模型为其中，分别表示左、右两边界处的单宽流量。当流量取正值时，为流入量；取负值时，为流出量。第二类边界条件的处理1）用单侧差分公式代替边界条件中的偏导数（水力坡度），即用前向差分公式代替，用后向差分公式代替。对于左边界x=0处，有用前向差分公式代替，得

对于右边界x=L处，有用后向差分公式代替，得

和，它们满足于是由边界条件（2-68）得即

为此，首先将边界扩充到如图2-14所示的虚线位置，记新扩充的边界点为2）用一阶中心差分公式代替边界条件中的偏导数

第二类边界条件的处理越流、入渗和抽水井等问题的处理如果考虑垂直渗流项（即源汇项），则二维承压流动微分方程可写成建立差分方程时，在结点处应加上这一项，它可具体表示为式中：为垂向渗流强度（包括越流、入渗或蒸发、井流等）；为相邻弱透水层垂向渗透系数；为相邻弱透水层厚度；为相邻含水层水头；为主含水层水头；为入渗强度或蒸发强度；为抽水或注水流量。源汇项的处理及井孔水头校正井水位校正对比图

图3-5（a）初始网格有限差分法计算井水位的校正图3-5（b）加密网格不规则边界问题当研究区的几何形状属于简单形式（如矩形渗流区）时，差分网格的划分往往将结点设在边界上。然而，对于实际问题来说，边界通常不是那么规则，边界的某些部分，甚至大部分不能与结点重合，我们称这种边界是不规则的。关于不规则边界问题，直接取最靠近边界的曲折格线为近似边界河流、水库、湖泊等问题河流、水库、湖泊等问题有限差分法（MODFLOW）有限差分法:三维差商代替微商(2)地下水数值模型建模步骤地裂缝自然地理及水文地质条件边界敏感性分析数学模型网格化概念模型介质类型、结构特征地下水补、径、排特征数值模型数值模型的建立边界条件初始条件源汇项降雨入渗地表水体入渗灌溉、渠系蒸发排泄人工开采介质参数观测孔动态拟合流场拟合水均衡对比分析观测孔动态检验流场检验水均衡对比检验拟合调参识别结果不符合要求修正概念模型2.地下水流动模型构建过程识别结果不符合要求修正概念模型模型应用水资源量评价预测开采方案研究环境地质问题地面沉降地下水污染研究大型工程对环境的影响模型识别模型检验模拟步骤建立概念模型建立数学模型数值方法及软件（编程）参数拟合模拟：模型校正与检验参数敏感性分析预测模拟软件地裂缝自然地理及水文地质条件边界敏感性分析数学模型网格化概念模型介质类型、结构特征地下水补、径、排特征数值模型数值模型的建立边界条件初始条件源汇项降雨入渗地表水体入渗灌溉、渠系蒸发排泄人工开采介质参数观测孔动态拟合流场拟合水均衡对比分析观测孔动态检验流场检验水均衡对比检验拟合调参识别结果不符合要求修正概念模型地下水流动模型构建过程识别结果不符合要求修正概念模型模型应用水资源量评价预测开采方案研究环境地质问题地面沉降地下水污染研究大型工程对环境的影响模型识别模型检验一、概念模型（模型概化）

根据详细的地形地貌、地质、水文地质、构造地质、水文地球化学、岩石矿物、水文、气象、工农业利用情况等模拟的区域:含水层类型:潜水（无压）、承压、混合、多层维数:一维、二维、三维水流状态：稳定流/非稳定流、饱和流/非饱和流介质状况:均质和非均质/各向同性和各向异性孔隙/裂隙/双重介质流体的密度差边界条件和初始条件

必要时需进行一系列的室内试验与野外试验,以获取有关参数,如渗透系数、弥散系数、分配系数、反应速率常数等。

收集研究区已有水文地质资料概念模型边界概化内部结构概化完成模型概化图地表水体水头边界流量边界断层接触边界隔水边界水头边界流量边界岩体岩层接触边界天然分水岭据含水层组类型、结构、岩性含水介质地下水运动状态水文地质参数确定层组的均质、非均质，各向同行、异性，稳定、非稳定，潜水、承压水空间分布导水、储水系数、主渗透方向目的层与相邻层关系均质、非均质，各向同、异性层、紊流，二、三维时间概化渗透、储水系数，给水度及单位涌水量，含水层分布规律，地下水流场，水化学场、温度场的空间概化平面图剖面图研究范围、主要居民点、标志性地形、地貌、地表河流、湖泊、开采井、地下水天然露头、含水层的各类钻孔地表地理要素、含水层结构、地质结构、地下水水位、各类源汇项及其性质二、数学模型

三维地下水流动问题控制方程第二类边界条件第一类边界条件初始条件绝大部分数学模型是无法用解析法求解的，数值化就是将数学模型转化为可解的数值模型。三、数值方法及软件（或编程）有限差分法有限单元法积分有限差分法半解析半数值法边界元法有限差分法:MOFLOW系列GMS中MODFLOWVisualMODFLOWProcessingMODFLOW有限单元法:FEFLOW积分有限差分法:TOUGH2，TOUGHREACT软件有限差分法（MOFLOW）GMS软件三维地下水流控制方程与数值模型差商代替微商有限差分法（MOFLOW）四、模型参数含水层参数：渗透系数，弹性释水系数（重力给水度），孔隙度等源汇项：大气降水入渗系数（分区、数值）蒸发排泄系数地表水体（河流、湖泊、水库等）水位、底面高程、底面岩性特征（厚度、渗透系数等）渠系灌溉入渗系数人工开采（点状、面状）边界条件初始条件五、模拟：模型校正（参数识别）将模拟结果与实测结果比较,进行参数调整,使模拟结果在给定的误差范围内与实测结果吻合。调参过程是一个复杂而辛苦的工作,所调整的参数必须符合模拟区的具体情况。人机交互与自动调参相结合。尽管自动调参程序(如PEST),也不能代替人的工作。五、模拟：模型检验