全称量词命题与存在量词命题【知识精讲+备课精研+高效课堂】 高一数学 课件（苏教版2019必修第一册）

2.3.1全称量词命题与存在量词命题课标要求素养要求1.理解全称量词与存在量词的意义.2.会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假.用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.新知探究有下列几个命题：①有些集合没有子集；②所有三角形都有外接圆；③有些四边形有内切圆.问题在这些命题中有一些短语“有些，所有的”在逻辑中如何定义？提示短语“所有的，全部，任一个”等在逻辑中通常叫做全称量词.而“有些”“有一个”“有的”是存在量词.1.全称量词和全称量词命题(1)“所有”“任意”“每一个”等表示______的词在逻辑学中称为全称量词，常用符号“∀x”表示“对任意x”.(2)含有______量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：____________________.全体全称∀x∈M，p(x)2.存在量词和存在量词命题(1)“存在”“有的”“有一个”等表示____________的词在逻辑学中称为存在量词，常用符号“∃x”表示“________”.(2)含有存在量词的命题称为______________，它的一般形式可表示为：________________.部分或个体存在x存在量词命题∃x∈M，p(x)基础自测[判断题]1.存在量词命题“∃x∈R，x2＜0”是真命题.(

)2.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(

)3.“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(

)4.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(

)√√√×[基础训练]用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(3)所有的梯形都不是平行四边形；(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.解(1)∃(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.(2)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.(3)∀x∈{x|x是梯形}，x不是平行四边形.(4)∀x∈R，－x2＋2x－4<0.[思考题]1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”.2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？提示在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.题型一全称量词与存在量词命题的识别【例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.规律方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.【训练1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)有的一次函数图象经过原点；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0.(2)存在量词命题.∃一次函数，它的图象过原点.(3)全称量词命题.∀二次函数，它的图象的开口都向上.题型二命题真假的判断【例2】判断下列命题的真假.(1)所有的素数都是奇数；(2)任意矩形的对角线相等；(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.解(1)2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.(2)是真命题.(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.规律方法判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.【训练2】判断下列命题的真假：(1)有一些二次函数的图象过原点；(2)∃x∈R，2x2＋x＋1<0；(3)∀x∈R，x2>0.解(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题.∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题.(3)该命题是全称量词命题.x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.题型三由命题的真假求参数范围【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围.解

(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，(2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.规律方法根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.【训练3】

(1)已知命题“∃x∈[－3，2]，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围.解

(1)由3a＋x－2＝0得－x＝3a－2.∵x∈[－3，2]，∴－2≤－x≤3，∴－2≤3a－2≤3，一、课堂小结1.通过学习命题、全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.二、课堂检测1.下列命题中全称量词命题的个数是(

) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形；

③n边形的内角和是(n－2)×180°. A.0 B.1 C.2 D.3解析①③是全称量词命题.答案C2.下列存在量词命题是假命题的是(

)A.存在x∈Q，使4－x2＝0B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C.有的素数是偶数D.有的实数为正数答案B3.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.解析对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.答案

(－∞，3]4.给出下列四个命题：①有理数是实数；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④凡是三角形都有内切圆.其中全称量词命题是________(填序号).解析在④中含有全称量词“凡是”为全称量词命题；③为存在量词命题；①的实质为：所有的有理数都是实数；②的实质是：所有的矩形都不是梯形，故①②④为全称量词命题.答案

①②④5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：(1)∃x，x－2≤0；(2)三角形两边之和大于第三边；(