等比数列的前n项和

大家先来看一个小故事

国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放4颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的麦粒以实现上述的要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。假定千粒麦子的质量为40g，据查目前世界年度小麦产量约为6亿t，根据以上数据，请你判断一下国王是否能实现他的诺言。分析：我们可以先求出麦粒总数，再乘以麦子的千重，就能够计算出所需麦子的质量了，也就知道国王是否能实现他的诺言了。如果把各个格子里所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到首项为1，公比为2的一个等比数列，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒总数也就是求这个等比数列的前项和。那么该怎样来求呢？等比数列的前n项和课标三维目标１、理解并掌握等比数列的前n项和公式及其推导过程。２、能运用等比数列的前n项和公式解决等比数列的求和问题，会用错位相减法求数列的前n项和。３、进一步提高解方程（组）的能力，以及整体代换思想的能力。［特别关注］1.对等比数列前n项和公式的考查是本课时的热点．2.本课时常与函数、不等式、方程结合命题．3.多以选择题、填空题的形式考查，有时也在解答题中考查.1．如何用数学语言表述等比数列的定义？

，则称数列{an}为

．2．等比数列的通项公式是怎样的？

．3．等差数列的前n项和公式是怎样的？用的是什么方法推导出来的？若{an}是等差数列，则Sn＝ .等比数列an＝a1·qn－1(n∈N*)倒序相加的方法等比数列的前n项和公式的推导(2)式两边同乘以公比q可得：(1)(2)(3)由(2)-(3)可得：你有什么发现呢？？我们把这种数列求和的方法叫做错位相减法［几点说明］（１）应注意体会“错位相减法”的操作过程，并且会运用“错位相减法”求某些数列的前n项和。（２）在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q是否为１，若q不确定时，必须进行分类讨论。（３）由等比数列的通项公式及前n项和公式不难看出，已知、、、、中任意三个，可通过方程思想求出另外两个，即知三可求余二。在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．

１．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为()A．4 B．－4C．2 D．－2答案：

A自主练习

２．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．自主练习自主练习３．设数列{an}是等比数列，其前n项和Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．典例导航题型一：等比数列前n项和公式的基本应用思路点拨在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；（解答过程）（解答过程）题型二：等比数列前n项和公式性质的应用已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.[题后感悟]等比数列前n项和的常用性质：

(1)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．你能证明这个结论吗？(3)当项数为2n时，S偶∶S奇＝q.题型三：错位相减求数列的前n项和求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和(a≠0)．由题目可获取以下主要信息：①数列的通项公式an＝(2n－1)·an－1.②每一项可分成两个因式，由前一个因式可构成等差数列，后一因式可构成等比数列．解答本题可选用错位相减法求数列的和．思路点拨求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和(a≠0)．［题后感悟］

在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列{bn}的公比，所以q≠0，但求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1时，就应分x＝0、x＝1和x≠0且x≠1三种情况讨论．(2)注意相消的规律．(3)注意相消后式子(1－q)Sn的构成，以及其中成等比数列的那一部分的项数．(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件．如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查．1．在运用等比数列前n项和公式进行运算时应注意以下几点：(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．(２)在公比为字母参数的等