线性系统课件2

吴亚丽1线性系统的时间域理论线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法。吴亚丽2提纲：第二章：线性系统的状态空间描述第三章：线性系统的运动分析第四章：线性系统的能控性和能观测性第五章：系统运动的稳定性第六章：线性反馈系统的时间域综合吴亚丽3提纲：第二章：线性系统的状态空间描述第三章：线性系统的运动分析第四章：线性系统的能控性和能观测性第五章：系统运动的稳定性第六章：线性反馈系统的时间域综合本章提纲状态和状态空间线性系统的状态空间描述系统输入输出模型导出状态空间描述线性时不变系统的特征结构状态方程的约当规范型状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统在坐标变换下的特性组合系统的传递函数矩阵吴亚丽4本章提纲状态和状态空间线性系统的状态空间描述系统输入输出模型导出状态空间描述线性时不变系统的特征结构状态方程的约当规范型状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统在坐标变换下的特性组合系统的传递函数矩阵吴亚丽5

状态和状态空间

系统动态过程的数学描述吴亚丽6(1).系统的外部描述外部描述常被称作为输出—输入描述例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:复频率域描述即传递函数描述(2)系统的内部描述状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征——状态方程和输出方程.(3)外部描述和内部描述的比较

外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.

内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.2/4,2/50基本概念(1)状态：系统过去、现在和将来的状况(2)状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：表示系统时刻的状态当时的输入给定，且上述时的行为。状态确定时，状态变量能完全确定系统初始在(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系的方程（组）作为分量的向量，即(3)状态向量：以系统的n

个独立状态变量为(4)状态空间:以状态变量维空间。标轴构成的坐输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式(6)状态变量的特点：(1)独立性：状态变量之间线性独立.

(2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实 际上存在无穷多种方案.

(3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异

变换.(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量.(5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义.本章提纲状态和状态空间线性系统的状态空间描述系统输入输出模型导出状态空间描述线性时不变系统的特征结构状态方程的约当规范型状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统在坐标变换下的特性组合系统的传递函数矩阵吴亚丽11描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程）.包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）吴亚丽12

线性系统的状态空间描述以上方程可表为形如1/7,5/50

连续系统典型例子：电路系统2/7,6/50

连续系统典型例子：机电系统以上方程可表为形如连续时间线性系统的状态空间描述动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述线性时不变系统线性时变系统3/7,7/50连续时间线性系统的方块图4/7,8/50直观、简明、形象地描述各个变量之间的关系。假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%.设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数5/7,9/50

离散系统典型例子：人口分布问题写成矩阵形式5/7,9/50

离散系统典型例子：人口分布问题离散时间线性系统的状态空间描述离散时间线性时不变系统离散时间线性时变系统6/7,10/50离散系统状态空间描述的特点：一是:状态方程形式上的差分型属性（即：状态方程为差分方程。）二是:描述方程的线性属性。（状态方程和输出方程的右端，对状态x和输入u都

呈现为线性关系。）三是:变量取值时间的离散属性（所有变量只能在离散时刻k取值）。离散时间线性系统的方块图7/7,11/50连续变量动态系统的分类线性系统和非线性系统设系统的状态空间描述为向量函数若f,g的全部或至少一个组成元素为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统。若f,g的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统

对于线性系统非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统。1/2,12/50时变系统和时不变系统若向量f,g不显含时间变量t,该系统称为时不变系统

若向量f,g显含时间变量t,该系统称为时变系统

连续时间系统和离散时间系统

当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统确定性系统和不确定性系统

称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.2/2,13/50本章提纲状态和状态空间线性系统的状态空间描述系统输入输出模型导出状态空间描述线性时不变系统的特征结构状态方程的约当规范型状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统在坐标变换下的特性组合系统的传递函数矩阵吴亚丽23由系统输入输出描述导出状态空间描述

对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述其传递函数描述可以导出其状态空间描述为如何获得？结论1给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=n,即系统为真情形(2)m<n,即系统为严真情形结论2给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=0情形此时输入输出描述为:选取n个状态变量其对应的状态空间描述为:其对应的方框图描述为:(2)m≠0情形此时输入输出描述为:a:令其对应的状态空间描述为:其中b:改写为令

将：则：结论3给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：其极点即分母方程的根为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：(1)m<n，即系统为严真情形对应的状态空间描述为(2)m=n，即系统为真情形令对应的状态空间描述为：由方块图描述导出状态空间描述例1

设系统方块图如下，试列写其状态空间描述解上图等效为指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：写成矩阵形式例2

设单输入单输出系统的传递函数为试列写其状态空间表达式。解可画出系统结构图如下写出变量之间的关系写成矩阵形式也可以画出结构图为e11e13e12e2e3可写出系统的动态方程为例3

设画出结构图动态方程为本章提纲状态和状态空间线性系统的状态空间描述系统输入输出模型导出状态空间描述线性时不变系统的特征结构状态方程的约当规范型状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统在坐标变换下的特性组合系统的传递函数矩阵吴亚丽对连续时间线性时不变系统(1)特征多项式均为实常数(2)特征方程式(3)凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理对系统矩阵A，有且仅有所有为线性无关，都可表示为它们的线性组合特征多项式相关概念(4)最小多项式的各个元多项式之间互质定义Φ（s）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式Φ（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理，即Φ（A）=0(5)系统矩阵的循环性如果系统矩阵A的特征多项式α(s)和最小多项式Φ（s）之间只存在常数类型的公因子k，即则称系统矩阵A是循环的。(6)特征多项式的计算预解矩阵①基于迹计算的特征多项式迭代算法②基于分解计算的特征多项式迭代算法特征值(1)特征值的代数属性系统特征值就是使特征矩阵(sI－A)降秩的所有s值(2)特征值集对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。(3)特征值的形态特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数特征值相关概念与定义(5)特征值的代数重数代数重数σi代表特征值集Λ中值为λi的特征值个数(6)特征值的几何重数(7)特征值重数和类型的关系对n维线性时不变系统，若λi∈A为单特征值，则其代数重数σi和几何重数αi之间必有(4)特征值类型

系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型吴亚丽46特征向量和广义特征向量特征向量相关概念与定义(1)特征向量的几何特性(2)特征向量的不唯一性(3)单特征值所属特征向量的属性对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值{λ1、λ2、…λn}的相应一组特征向量{v1、v2、…vn}为线性无关，当且仅当特征值{λ1、λ2、…λn}为两两互异。(4)广义特征向量对n维线性时不变系统，设λi为n×n维系统矩阵A的一个σi重特征值，则本章提纲状态和状态空间线性系统的状态空间描述系统输入输出模型导出状态空间描述线性时不变系统的特征结构状态方程的约当规范型状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统在坐标变换下的特性组合系统的传递函数矩阵吴亚丽48结论4

状态方程的约当规范形特征值为两两互异的情形对n个特征值{λ1、λ2、…λn}两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=[v1、v2、…vn]，则状态方程可通过线性非奇异变换而化为约当规范形结论5

特征值包含重值的情形对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令可将系统状态方程化为约当规范形：其中，Ji为相应于特征值λi的约当块：吴亚丽52吴亚丽53吴亚丽54吴亚丽55吴亚丽56吴亚丽57本章提纲状态和状态空间线性系统的状态空间描述系统输入输出模型导出状态空间描述线性时不变系统的特征结构状态方程的约当规范型状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统在坐标变换下的特性组合系统的传递函数矩阵吴亚丽58由状态空间描述导出传递函数矩阵传递函数矩阵

定义单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：称G(s)为系统的传递函数矩阵。其中(1)G(s)的函数属性传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的q×p有理分式矩阵。(2)G(s)的真性和严真性当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的(3)G(s)的特征多项式和最小多项式

G(s)的相关性质(5)G(s)的循环性若称G(s)是循环的(6)G(s)正则性和奇异性(4)G(s)的极点G(s)的极点定义为方程式的根G(s)基于(A,B,C,D)的表达式考虑连续时间线性时不变系统则设G(s)的首一化特征多项式为αG(s)，A的特征多项式为α(s)，若必有若系统能控能观测，则表G(s)的极点集合为ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，则ΛG⊂Λ；若系统能控能观测，则ΛG=Λ。结论7

G(s)的实用计算关系式令

则本章提纲状态和状态空间线性系统的状态空间描述系统输入输出模型导出状态空间描述线性时不变系统的特征结构状态方程的约当规范型状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统在坐标变换下的特性组合系统的传递函数矩阵吴亚丽64线性系统在坐标变换下的特性结论8实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。坐标变换的几何含义和代数表征