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比较绝对优势和比较优势比较绝对优势和比较优势说到比较优势，不能不提和它相对应的一个概念，绝对优势（Absoluteadvantage）。后者很好理解。你比我会理财，你在理财方面对我有绝对优势。中国的彩电制造技术比越南强，中国在彩电制造上对越南有绝对优势。思考：绝对优势和劣势是不是决定了

人与人之间

的分工关系或者国与国之间的贸易关系呢？乍一看这似乎是顺理成章的。你比我会理财，在我们这两个人团队中当然是你来理财。中国比越南会生产彩电，当然是中国向越南出口彩电。但仔细一想，这个推理不能成立。你比我会理财，但你比我更会推销产品。在我俩这个团队中谁来理财，谁来营销？答案是：为了团队的总体利益，你只能忍痛割爱，将帐本留给我。我是不如你会理财，但我在推销产品上能力更差。将帐本给我能够为你腾出时间去搞营销。在我们这个团队中，你的比较优势是营销，而我的比较优势是理财。我们的分工合作关系是建立在比较优势之上，而不是绝对优势之上。为什么会这样？因为你的时间精力是有限的。尽管你什么都比我行，但你不能什么都自己做。当然你可以选择什么都自己做，但那样你得到的收益会少于和我合作你所得的份额。同样道理，尽管中国在彩电生产上对越南有绝对优势，但在电脑生产上的绝对优势更大。因而中越贸易中会是中国向越南出口电脑，越南向中国出口彩电①。注意：两国的贸易关系是建立在比较优势而不是绝对优势的基础上。比较优势这个概念告诉我们，对一个各方面都强大的国家或个人，聪明的做法不是仰仗强势，四面出击，处处逞能或事必躬亲，而是将有限的时间、精力和资源用在自己最擅长的地方。反之，一个各方面都处于弱势的国家或个人也不必自怨自艾，抱怨自己的先天不足。要知道，“强者”的资源也是有限的。为了它自身的利益，“强者”必定留出地盘给“弱者”。

比较优势理论

的精髓就是我们中国人所说的“天生我材必有用”。

常见蔬菜露天种植时间表94965常见蔬菜露天种植时间表94965

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常见蔬菜露天种植时间表94965常见蔬菜露天种植时间表一月：菠菜、生菜、葱、香菜。二月：菠菜、生菜、芹菜、土豆、香菜。三月：菠菜、白菜、茄子、辣椒、番茄、黄瓜、丝瓜、西葫芦、南瓜、冬瓜、苦瓜、西瓜、空心菜、生菜、茼蒿、芹菜、土豆、大豆、四季豆、豇豆、萝卜、苋菜、菜、芋头、韭菜。四月：菠菜、白菜、茄子、辣椒、番茄、黄瓜、丝瓜、西葫芦、南瓜、冬瓜、苦瓜、西瓜、甘薯、空心菜、生菜、茼蒿、芹菜、大豆、四季豆、豇豆、萝卜、苋菜、香菜、芋头、韭菜。五月：菠菜、白菜、茄子、辣椒、番茄、黄瓜、丝瓜、西葫芦、南瓜、冬瓜、苦瓜、西瓜、甘薯、空心菜、生菜、茼蒿、四季豆、豇豆、萝卜、苋菜。六月：菠菜、白菜、茄子、辣椒、番茄、黄瓜、丝瓜、西葫芦、南瓜、冬瓜、苦瓜、西瓜、甘薯、空心菜、生菜、茼蒿、青花菜、苋菜。七月：菠菜、白菜、茄子、辣椒、番茄、黄瓜、丝瓜、西葫芦、南瓜、冬瓜、苦瓜、西瓜、甘薯、空心菜、生菜、茼蒿、胡萝卜、青花菜、苋菜、茴香。八月：菠菜、白菜、蒜、茄子、辣椒、番茄、黄瓜、丝瓜、西葫芦、南瓜、冬瓜、苦瓜、西瓜、空心菜、生菜、茼蒿、胡萝卜、青花菜、萝卜、苋菜、香菜、茴香。九月：菠菜、白菜、蒜、空心菜、生菜、茼蒿、芹菜、油菜、萝卜、苋菜、香菜。十月：菠菜、蚕豆、蒜、芹菜、油菜、芜菁、萝卜、香菜、十一月：菠菜、芜菁、香菜。十二：早春黄瓜、早春西葫芦、早春瓠瓜、早春西瓜、早春甜瓜、早春番茄、早春架豆、早春南瓜、早春冬瓜、早春丝瓜、早春苦瓜各种蔬菜种植时间番茄：可常年种植，但最好1—2月份不要播种（特别是有限生长型，高圆形果的品种），易出畸形果。番茄是多年生植物，但生长上一般种植4—5个月。黄瓜：可常年种植，但夏季高温期易出现苦味瓜。生产上一般是4个月。大白菜：一般播种时期4—10月，生育期50—120天。小白菜、芥菜：一般播种期3—11月，生育期20—30天左右。萝卜：播种期3—10月份，生育期50—100天。辣（甜）椒：跟番茄一般，生育期90—120天。南瓜：播种期2—10月份，生育期80—120天。下面列出1-12月蔬菜种植的时间，南方可以适当提前点，北方的可适当延后半个月至一个月。一月播种蔬菜：油菜、四月曼、菠菜、芥蓝、生菜、马铃薯、葱、茄子、番茄（西红柿）、辣椒、芋头、芫荽。二月播种蔬菜：四月慢、菠菜、芥蓝、生菜、马铃薯、葱、芫荽、黄瓜、四季豆、茄子、番茄、青花菜、辣椒、芋头、白菜、萝卜、甘蓝。三月播种蔬菜：四月慢、菠菜、芥蓝、白菜、萝卜、黄瓜、四季豆、茄子、番茄、丝瓜、冬瓜、南瓜、苦瓜、辣椒、芋头、葱、芫荽、豇豆、毛豆、空心菜、苋菜、甘蓝。四月播种蔬菜：白菜、萝卜、黄瓜、四季豆、茄子、番茄、丝瓜、冬瓜、南瓜、苦瓜、辣椒、葱、芫荽、豇豆、毛豆、空心菜、甘蓝、油菜、苋菜、韭菜、芹菜。五月播种蔬菜：白菜、萝卜、黄瓜、四季豆、茄子、番茄、丝瓜、冬瓜、南瓜、苦瓜、葱、芫荽、豇豆、毛豆、空心菜、油菜、苋菜、甘蓝、芹菜、韭菜。六月播种蔬菜：空心菜、甘蓝、油菜、苋菜、韭菜、白菜、黄瓜、豇豆、毛豆、苦瓜、葱、萝卜、芹菜、花椰菜。七月播种蔬菜：空心菜、甘蓝、油菜、苋菜、韭菜、白菜、黄瓜、豇豆、毛豆、苦瓜、葱、萝卜、花椰菜、四季豆、茄子、番茄、芹菜。八月播种蔬菜：空心菜、甘蓝、油菜、苋菜、韭菜、白菜、黄瓜、豇豆、毛豆、苦瓜、葱、萝卜、花椰菜、四季豆、芹菜、青花菜、豌豆、胡萝卜、大蒜。九月播种蔬菜：空心菜、甘蓝、油菜、苋菜、韭菜、白菜、菠菜、生菜、葱、芫荽、青菜、青花菜、豌豆、胡萝卜、大蒜、萝卜、花椰菜、茼蒿。十月播种蔬菜：甘蓝、油菜、韭菜、白菜、菠菜、芥蓝、生菜、葱、芫荽、芹菜、青花菜、豌豆、胡萝卜、大蒜、萝卜、花椰菜、茼蒿。十一月播种蔬菜：甘蓝、油菜、韭菜、白菜、菠菜、芥蓝、生菜、葱、芫荽、芹菜、青花菜、豌豆、胡萝卜、大蒜、萝卜、花椰菜、茼蒿。十二月播种蔬菜：甘蓝、油菜、韭菜、白菜、菠菜、芥蓝、生菜、葱、芫荽、芹菜、青花菜、豌豆、胡萝卜、大蒜、萝卜、花椰菜、茼蒿、茄子、番茄、辣椒。每种蔬菜对温度都有不同的要求，有的喜热，有的喜寒；它们的生长期也有长有短，这些因素决定了它们的栽种时间。例如，大白菜是喜寒的蔬菜，它可以在初春播种，也可以在初秋播种。但每种蔬菜对温度都有不同的要求，有的喜热，有的喜寒；它们的生长期也有长有短，这些因素决定了它们的栽种时间。例如，大白菜是喜寒的蔬菜，它可以在初春播种，也可以在初秋播种。但大白菜需要三个月的时间才能成熟，成熟后，低温的天气还能够增进它的风味。而在南方，春季气温上升比较快，播种后，天气很快变热，使大白菜提前开花结籽。所以在南方，春季种的大白菜不好吃。因此，我们要了解蔬菜对温度的要求，成熟需要的时间，还要了解当地的气候特征，才能知道什么时候种什么菜最好。根据经验，我们可以将蔬菜分成：（1）喜热型不经霜打如：西红柿、茄子、青椒、甘薯、花生、四季豆、毛豆、各种菜豆、西瓜、南瓜、黄瓜、葫芦、苦瓜、丝瓜、甜瓜、苋菜、空心菜、玉米、芋头、芝麻、向日葵、空心菜等。（2）喜寒型不耐热，幼苗时需要凉爽的天气，成熟时霜寒可以增进风味。如：大白菜、白萝卜、芥菜、甘蓝、卷心菜、花菜、花椰菜、芜箐、土豆、生菜、莴苣、胡萝卜、芹菜、甜菜、菠菜、芹菜、香菜、小白菜、上海青、洋葱、葱、韭菜等。（3）耐寒型可以在地里过冬如：蚕豆、豌豆、油菜、芦笋、荠菜大致的来说，喜热型蔬菜，要在春季解霜，天气转暖，气温稳定后栽种。长得比较慢的喜热型蔬菜，要早一些栽种，有的可能要不等解霜先在温室里育苗，以保证能有足够长的时间成熟。至于长得快的喜热型蔬菜，如空心菜、苋菜等，则可以从春季一直种到夏末初秋。喜寒型的蔬菜，在没有霜的地区，秋季和冬季都可以种；有霜的地区，要在夏末初秋种，以保证在降霜前成熟。在寒冷的地区，春季也可以栽种，不过需要先在温室里育苗，再移栽到户外。成熟得快的喜寒型蔬菜，如樱桃小萝卜、小白菜、上海青、生菜，不管是南方北方，春季都可以栽种。耐寒型的蔬菜，幼苗期间非常耐寒，但需要温暖的天气才能长大成熟。所以一般在初霜前一些时候栽种，使其长出幼苗来过冬。在寒冷的冬天，幼苗并不会冻死，但几乎停止生长，等来年开春天气转暖后，继续生长。一月份1、早春黄瓜2、早春西葫芦3、早春瓠瓜4、早春丝瓜5、早春苦瓜6、早春南瓜7、早春冬瓜8、早春甜瓜9、早春西瓜?10、中晚熟番茄11、春芹菜12、春青花菜?13、春花菜14、春甘蓝15、紫甘蓝16、结球生菜17、小白菜18、春菠菜?19、春莴笋20、晚土豆21、荠菜22、芫荽23、茴香二月份1、早春黄瓜2、早春瓠瓜3、早春西葫芦4、早春节瓜5、有棱丝瓜6、早春四季豆7、早春豇豆8、矮菜豆9、早春扁豆10、尖干椒11、早春甜玉米12、早春毛豆13、早春樱桃萝卜14、早春萝卜15、早春竹叶菜16、生菜17、小白菜18、大白菜19、菠菜20、苋菜、21、早春落葵22、荆芥23、早春莲藕24、马齿苋25、菜心、26、茼蒿27、牛皮菜28、香椿29、蕺菜30、灰灰菜31、苦荬菜32、野葛33、马兰34、薇菜35、蕨菜、36、蒲公英37、无籽西瓜38、芦荟39、防风40、金丝瓜、41、菜瓜42、蛇瓜43、食用仙人掌44、藿香45、樱桃萝卜三月份1、黄瓜2、甜瓜3、西瓜4、中晚熟苦瓜5、中晚熟丝瓜、6、中晚熟冬瓜7、中晚熟南瓜8、中晚熟葫芦9、佛手瓜10、春四季豆、11、春豇豆12、扁豆13、早毛豆14、刀豆15、茄子、16、高山辣椒17、菜玉米18、春萝卜19、春大白菜20、小白菜、21、春胡萝卜22、芹菜23、四棱豆24、春水芹25、早莲藕26、慈菇27、芋头28、山药29、洋姜30、豆薯、31、竹叶菜32、苋菜33、韭菜34、大葱35、分葱、36、小茴香(莳萝)37、金针菜38、紫苏39、荠菜四月份1、晚黄瓜2、高山地黄瓜3、菜瓜4、晚豇豆5、矮豇豆6、晚毛豆7、高山番茄8、高山甘蓝9、高山西芹10、夏芹菜11、晚连藕12、茭白13、魔芋14、高山土豆15、小白菜16、豆瓣菜17、芥菜18、生姜19、黄秋葵20、石刁柏21、冬草莓22、春草莓23、笋瓜五月份1、夏黄瓜2、夏秋冬瓜3、夏豇豆4、夏毛豆5、夏茄子6、夏辣椒7、高山甘蓝8、花菜9、芹菜10、莴笋11、高山萝卜12、高山胡萝卜13、高山热白菜14、早熟菜心15、竹叶菜16、苋菜17、小葱18、白花菜19、小白菜20、生菜21、夏花菜22、樱桃萝卜23、荠菜六月份1、夏黄瓜2、黄瓜3、瓠瓜?4、四季豆5、夏豇豆6、秋茄子7、秋芹菜8、早熟花菜9、中熟花菜10、夏甘蓝11、球茎甘蓝12、热小萝卜13、热白菜14、热小白菜15、竹叶菜16、荸荠17、苋菜18、西瓜19、甜瓜20、秋番茄21、秋辣椒22、芫荽23、荆芥七月份1、秋黄瓜2、延秋瓠瓜3、延秋西瓜4、延秋甜瓜5、秋豇豆、6、秋四季豆7、延秋辣椒8、延秋茄子9、延秋番茄10、延秋西芹、11、秋莴笋12、晚花菜13、秋甘蓝14、紫甘蓝15、孢子甘蓝、16、秋青花菜17、芫菁甘蓝18、早熟红菜苔19、早秋萝卜20、秋胡萝卜21、早大白菜22、菜心23、早蒜苗24、秋大葱25、藜蒿八月份1、延秋黄瓜2、延秋西葫芦3、延秋四季豆?4、越冬辣椒?5、越冬甜椒6、越冬茄子?7、越冬番茄?8、越冬樱桃番茄?9、延秋莴笋?10、秋土豆11、冬芹菜?12、水芹菜?13、延秋青花菜?14、早芥蓝?15、冬甘蓝16、越冬花菜?17、红菜苔?18、雪里蕻?19、秋腊菜?20、榨菜21、大头菜?22、秋萝卜?23、樱桃萝卜?24、晚熟萝卜25、根用忝菜26、中熟大白菜?27、晚熟大白菜?28、豆瓣菜?29、油墨菜?30、秋菠菜31、蒜?苔?32、蒜?头?33、韭?菜?34、荞头葱?35、早藜蒿36、晚藜蒿?37、苦荬菜?38、荠?菜?39、枸?杞?40、马?兰41、辣?根?42、防?风?43、奶白菜?44、苋?菜?45、球茎茴香九月份1、越冬黄瓜?2、越冬西葫芦?3、越冬丝瓜?4、越冬苦瓜?5、越冬芸豆6、荷兰豌豆?7、青豌豆?8、蚕?豆?9、冬莴笋?10、结球生菜11、深冬青花菜?12、晚熟红菜苔?13、雪里蕻?14、小白菜?15、牛皮菜16、菠?菜?17、茼?蒿?18、分?葱?19、洋?葱?20、芫?荽21、金针菜?22、乌塌菜十月份1、早春辣椒?2、早春茄子?3、早春甜椒?4、越冬甘蓝?5、紫甘蓝6、越冬莴笋?7、晚芥蓝?8、越冬萝卜?9、小白菜?10、散叶生菜11、雪里蕻?12、腊?菜?13、菠?菜?14、茼?蒿?15、藜?蒿16、芫?荽十一月份1、早春丝瓜?2、早春苦瓜?3、早春南瓜?4、早春冬瓜?5、早春番茄6、早春扁豆?7、春茄子?8、春辣椒?9、春花菜?10、春萝卜11、小白菜?12、菠?菜?13、水芹菜?14、蕨菜(干)?15、薇菜(干)16、黑油菜?17、襄?荷?18、早春花菜?19、早春甘蓝十二月份早春黄瓜?2、早春西葫芦?3、早春瓠瓜?4、早春西瓜?5、早春甜瓜6、早春番茄?7、晚辣椒?8、晚茄子?9、早土豆?10、香瓜茄?11、蛇?瓜12、早春架豆?13、早春南瓜?14、早春冬瓜?15、早春丝瓜16、早春苦瓜有机蔬菜栽培技术由于有机蔬菜地栽培过程中不允许使用人工合成的农药、肥料、除草剂、生长调节剂等，因此，在栽培中不可避免地对病虫草害和施肥技术提出了不同于常规蔬菜的要求。(一)生产基地要求1、基地的完整性基地的土地应是完整的地块，其间不能夹有进行常规生产的地块，但允许存在有机转换地块；有机蔬菜生产基地与常规地块交界处必须有明显标记，如河流、山丘、人为设置的隔离带等。2、必须有转换期由常规生产系统向有机生产转换通常需要2年时间，其后播种的蔬菜收获后，才可作为有机产品；多年生蔬菜在收获之前需要经过3年转换时间才能成为有机作物。转换期的开始时间从向认证机构申请认证之日起计算，生产者在转换期间必须完全按有机生产要求操作。经1年有机转换后的田块中生长的蔬菜，可以作为有机转换作物销售。3、建立缓冲带如果有机蔬菜生产基地中有的地块有可能受到邻近常规地块污染的影响，则必须在有机和常规地块之间设置缓冲带或物理障碍物，保证有机地块不受污染。不同认证机构对隔离带长度的要求不同，如我国OFDC认证机构要求8米，德国BCS认证机构要求10米。(二)栽培管理1、品种选择应使用有机蔬菜种子和种苗，在得不到已获认证的有机蔬菜种子和种苗的情况下(如在有机种植的初始阶段)，可使用未经禁用物质处理的常规种子。应选择适应当地的土壤和气候特点，且对病虫害有抗性的蔬菜种类及品种，在品种的选择中要充分考虑保护作物遗传多样性。禁止使用任何转基因种子。2、轮作换茬和清洁田园有机基地应采用包括豆科作物或绿肥在内的至少3种作物进行轮作；在1年只能生长1茬蔬菜的地区，允许采用包括豆科作物在内的两种作物轮作。前茬蔬菜收获后，彻底打扫清洁基地，将病残体全部运出基地外销毁或深埋，以减少病害基数。3、配套栽培技术通过培育壮苗、嫁接换根、起垄栽培、地膜覆盖、合理密植、植株调整等技术，充分利用光、热、气等条件，创造一个有利于蔬菜生长的环境，以达到高产高效的目的。（三）肥料使用有机蔬菜生产与常规蔬菜生产的根本不同在于病虫草害和肥料使用的差异，其要求比常规蔬菜生产高。1、施肥技术。只允许采用有机肥和种植绿肥。一般采用自制的腐熟有机肥或采用通过认证、允许在有机蔬菜生产上使用的一些肥料厂家生产的纯有机肥料，如以鸡粪、猪粪为原料的有机肥。在使用自己沤制或堆制的有机肥料时，必须充分腐熟。有机肥养分含量低，用量要充足，以保证有足够养分供给，否则，有机蔬菜会出现缺肥症状，生长迟缓，影响产量。针对有机肥料前期有效养分释放缓慢的缺点，可以利用允许使用的某些微生物，如具有固氮、解磷、解钾作用的根瘤菌、芽孢杆菌、光合细菌和溶磷菌等，经过这些有益菌的活动来加速养分释放养分积累，促进有机蔬菜对养分的有效利用。2、培肥技术。绿肥具有固氮作用，种植绿肥可获得较丰富的氮素来源，并可提高土壤有机质含量。一般每绿肥的产量为2000kg，按含氮0.3%0.4%，固定的氮素为68kg。常种的绿肥有：紫云英、苕子、苜蓿、蒿枝、兰花籽、箭苦豌豆、白花草木樨等50多个绿品种。3、允许使用的肥料种类有机肥料，包括动物的粪便及残体、植物沤制肥、绿肥、草木灰、饼肥等；矿物质，包括钾矿粉、磷矿粉、氯化钙等物质；另外还包括有机认证机构认证的有机专用肥和部分微生物肥料。4、肥料的无害化处理有机肥在施前2个月需进行无害化处理，将肥料泼水拌湿、堆积、覆盖塑料膜，使其充分发酵腐熟。发酵期堆内温度高达60℃以上，可有效地杀灭农家肥中带有的病虫草害，且处理后的肥料易被蔬菜吸收利用。5、肥料的使用方法(1)施肥量：有机蔬菜种植的土地在使用肥料时，应做到种菜与培肥地力同步进行。使用动物和植物肥的比例应掌握在1∶1为好。一般每亩施有机肥3000-4000公斤，追施有机专用肥100公斤。(2)施足底肥：将施肥总量80%用作底肥，结合耕地将肥料均匀地混入耕作层内，以利于根系吸收。(3)巧施追肥：对于种植密度大、根系浅的蔬菜可采用铺肥追肥方式，当蔬菜长至3-4片叶时，将经过晾干制细的肥料均匀撒到菜地内，并及时浇水。对于种植行距较大、根系较集中的蔬菜，可开沟条施追肥，开沟时不要伤断根系，用土盖好后及时浇水。对于种植株行距较大的蔬菜，可采用开穴追肥方式。(四)病虫草害防治1、农业措施：(1)选择适合的蔬菜种类和品种。在众多蔬菜中，具有特殊气味的蔬菜，害虫发生少。如韭菜、大蒜、洋葱、莴笋、芹菜、胡萝卜等；毛豆在有机蔬菜是选择较多。在蔬菜种类确定后，选抗病虫的品种十分重要。(2)合理轮作。蔬菜地连作多会产生障碍，加剧病虫害发生。有机蔬菜生产中可推行水旱轮作，这样会在生态环境上改变和打乱病虫发生小气候规律，减少病虫害的发生和危害。(3)科学管理。在地下水位高，雨水较多的地区，推行深沟高畦，利于排灌，保持适当的土壤和空气湿度。一般病害孢子萌首先取决于水分条件，在设施栽培是结合适时的通风换气，控制设施内的湿温度，营造不利于病虫害发生的湿温度环境，对防止和减轻病害具有较好的作用。此外，及时清除落蕾、落花、落果、残株及杂草，清洁田园，消除病虫害的中间寄主和侵染源等，也是重要方面。2、生物、物理防治。有机蔬菜栽培是可利用害虫天敌进行害虫捕食和防治。还可利用害虫固有的趋光、趋味性来捕杀害虫。其中较为广泛使用的有费洛蒙性引诱剂、黑光灯捕杀蛾类害虫，利用黄板诱杀蚜虫等方法，达到杀灭害虫，保护有益昆虫的作用。3、利用有机蔬菜上允许使用的某些矿物质和植物药剂进行防治。可使用硫磺、石灰、石硫合剂波尔多液等防治病虫。可用于有机蔬菜生产的植物有除虫菊、鱼腥草、大蒜、薄荷、苦楝等。如用苦楝油2000~3000倍液防治潜叶蝇，使用艾菊30g/L(鲜重)防治蚜虫和螨虫等。4、因不能使用除草剂，一般采用人工除草及时清除。还可利用黑色地膜覆盖，抑制杂草生长。在使用含有杂草的有机肥时，需要使其完全腐熟，从而杀亡杂草种子，减少带人菜田杂草种子数量。杂草控制通过采用限制杂草生长发育的栽培技术(如轮作、种绿肥、休耕等)控制杂草；提供使用秸秆覆盖除草；允许采用机械和电热除草；禁止使用基因工程产品和化学除草剂除草。

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初中数学动点问题专题讲解(简洁版)中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.例1(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.O●FPDEACB3(1)(1)求证:△ADE∽△AEP.●PDEACB3(2)OF(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP的长.（二）线动问题在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；ABCDEOlA′(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝AC，设AD的长为，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于的函数关系式，并指出的取值范围；②探索：是否存在这样的，以A为圆心，以长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．(2)①，，，∴，()②若圆A与直线l相切，则，(舍去)，∵∴不存在这样的，使圆A与直线l相切．[类题]09虹口25题．（三）面动问题如图，在中，，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形.（1）试求的面积；（2）当边与重合时，求正方形的边长；（3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；（4）当是等腰三角形时，请直接写出的长．[题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二．[区分度性小题处理手法]1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决．3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.[略解]解：（1）.（2）令此时正方形的边长为，则，解得.（3）当时，，当时，.（4）.[类题]改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.ABFDEMNC已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30o，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．（1）求证：△BDM∽△CEN；（2）设BD=，△ABC与△DEF重叠部分的面积为，求关于的函数解析式，并写出定义域．（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以M为圆心,BM为半径的圆与直线EF相切,如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．例1：已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上变化（不与A、B）重合，求∠ACB的大小.分析：点C的变化是否影响∠ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=∠AOB=300，当点C在劣弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.反思：本题通过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。变式1：已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若，求∠C的大小.本题与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB中,,则,即,从而当点C在优弧AB上变化时，∠C所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，即,当点C在劣弧AB上变化时，∠C所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=1200得，优弧AB的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200，因此或∠C=1200.变式2:如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，判断∠AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。四边形ABCD的面积的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。（2）四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的面积为，而三角形AOD与三角形BOC的面积之和为，又由梯形的中位线定理得三角形AOD与三角形BOC的面积之和，要四边形ABCD的面积最大，只需EH最大，显然EH≤OE=，当AB∥CD时，EH=OE，因此四边形ABCD的面积最大值为+=.对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD的周长的变化范围.变式3:如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为A、B，另一个顶点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市2000年考题）分析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C作CD⊥AB于点D，连结CO，由于CD≤CO，当O与D重合，CD=CO，因此，当CO与AB垂直时，即C为半圆弧的中点时，其三角形ABC的面积最大。本题也可以先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故只需另选一个位置C1（不与C重合），，证明三角形ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图显然三角形ABC1的面积=AB×C1D，而C1D<C1O=CO,则三角形ABC1的面积=AB×C1D<AB×C1O=三角形ABC的面积,因此,对于除点C外的任意点C1,都有三角形ABC1的面积小于三角形三角形ABC的面积,故点C为半圆中点时,三角形ABC面积最大.本题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB为常数，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ΔABC的面积，因此ΔABC的面积最大时，AC+BC最大，从而ΔABC的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有:特殊探路，一般推证例2：（2004年广州市中考题第11题）如图，⊙O1和⊙O2内切于A，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P为⊙O1上的任一点（与点A不重合），直线PA交⊙O2于点C，PB切⊙O2于点B，则的值为（A）（B）（C）（D）分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P满足PB⊥AB时，可以通过计算得出PB=BC×AP=BP×AB，因此BC=，在三角形BPC中，PC=，所以，=选（B）当然，本题还可以根据三角形相似得，即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立。例3：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OABC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断OEF的形状，并加以证明。判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F分别为AB、AC中点，显然有ΔEOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无限接近时，点F与点C无限接近，此时ΔEOF无限接近ΔAOC，而ΔAOC为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出ΔEOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE与OF相等吗？∠EOF为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形OFC与三角形OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC，∠OCF=∠OAE，而AE=CF，则ΔOEA≌ΔOFC，则OE=OF，且∠FOC=∠EOA，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，则∠EOF为直角，故ΔEOF为等腰直角三角形。动手实践，操作确认例4（2003年广州市中考试题）在⊙O中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与A、C不重合），则（A）AC+CB=AD+DB(B)AC+CB<AD+DB(C)AC+CB>AD+DB(D)AC+CB与AD+DB的大小关系不确定分析:本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C）例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD，延长CA和CD与大圆分别交于点B、E，则下列结论中正确的是（*）（A）（B）（C）（D）的大小不确定分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）本题也可以可以证明得出结论，连结DO、EO，则在三角形OED中，由于两边之差小于第三边，则OE—OD<DE,即OB—OA<DE,因此,即建立联系，计算说明例6：如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为.分析：能否将DN和NM进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD为正方形，因此连结BN，显然有ND=NB，则问题就转化为BN+NM的最小值问题了，一般情况下：BN+NM≥BM,只有在B、N、M三点共线时，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值为BM=本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。例7：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OABC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。（即例3的第2、第3问）分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设AE=x，则AF=，而三角形AOB的面积与三角形AOE的面积之比=，而三角形AOB的面积=，则三角形AOE的面积=，同理三角形AOF的面积=，因此四边形AEOF的面积=；即AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE与三角形COF全等，则四边形AEOF的面积与三角形AOC的面积相等，而AOC的面积为2，因此AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.第(3)问,也可以通过建立函数关系求得,AEF的面积=,又的变化范围为,由二次函数知识得AEF的面积的范围为:AEF的面积.本题也可以根据三角形AEF与三角形OEF的面积关系确定AEF的面积范围:不难证明AEF的面积≤OEF的面积，它们公用边EF，取EF的中点H，显然由于OEF为等腰直角三角形，则OH⊥EF，作AG⊥EF，显然AG≤AH=AG（=），所以AEF的面积≤OEF的面积，而它们的和为2，因此AEF的面积.本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：比如，比较线段EF与AO长度大小等（可以通过A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论）例8：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？分析：（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，建立等量关系，，即时，三角形QAP为等腰三角形；（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积—三角形QDC的面积—三角形PBC的面积==36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。（3）显然有两种情况：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，由相似关系得或，解之得或建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。作为训练同学们可以综合上述方法求解：练习1：2003年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）已知ABC为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB为直角，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上动点（与点B、C不重合）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点，求线段CP的长。当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。第1问很易得出P为AB中点，则CP=第2问：如果CPQ为直角三角形，由于PQ与AC不平行，则∠Q不可能为直角又点P不与A重合，则∠PCQ也不可能为直角，只能是∠CPQ为直角，即以CQ为直径的圆与AB有交点，设CQ=2x，CQ的中点D到AB的距离DM不大于CD，，即，所以，由，即，而，故，亦即时，CPQ可能为直角三角形。当然还有其它方法。同学们可以继续研究。练习2：（广东省2003年中考试题最后一题）在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点，（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离的大小关系。（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。该题与例3类似，同学们可以仿本大类习题的共性：1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值．专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中

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考试

题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1以双动点为载体，探求函数图象问题

例1(2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1).动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s.而当点P到达点A时，点Q正好到达点C.设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2).分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.

(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；

(2)写出图3中M，N两点的坐标；

(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.

评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感.本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用.解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.

2以双动点为载体，探求结论开放性问题

例2(2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.

(1)求∠BAO的度数.

(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.

(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.

(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.

解(1)∠BAO=60°.

(2)点P的运动速度为2个单位/秒.

评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题.试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题.解决本题的关键是从图象中获取P的速度为2，然后建立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.

3以双动点为载体，探求存在性问题

例3(2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.

(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；

(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.

评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围.第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握.4以双动点为载体，探求函数最值问题

例4(2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题：

(1)当0<X

(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；(图10为备用图)

②求y的最大值.

解(1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BO⊥AC于O，则OB=89，因为AE=x，所以S2=4x，因为HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)，当S1=S2时，4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以当x=6时，S1=S2.

(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，

当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，

所以S1=(16-x)(2x-16)，所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50.

当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，

所以当x=13时，y的最大值为82.

综上可得，y的最大值为82.

评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式.本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。例1题图图1图2分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例1(2008福建福州)如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？分析:由t＝2求出BP与BQ的长度,从而可得△BPQ的形状;作QE⊥BP于点E,将PB,QE用t表示,由=×BP×QE可得S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE,再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而t值可求.解:(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以=×BP×QE=(6-t)×t=－t2+3t；(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP=QR,又EP∥QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=t,由△APR∽△PRQ,得到,即,解得t=,所以当t=时,△APR∽△PRQ.点评:例2(2008浙江温州)如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．分析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得关于的函数关系式;由腰相等列方程可得的值;注意需分类讨论.解：（1），，，．点为中点，．，．，，∴（2），．，，，，即关于的函数关系式为：．（3）存在.按腰相等分三种情况：ABCDERPHQM21①当时，过点作于，则．，，．，，ABCDERPHQ，．②当时，，．③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，．，，．综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使为等腰三角形的的值,可假设为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论.五、以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。例1.在中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03年广州市中考）分析：不论P、Q如何运动，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又因为PQ与AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判断△CPQ是否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB边上的动点P在圆上，∠CPQ就为直角，否则∠CPQ就不可能为直角。以CQ为直径做半圆D。①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5所以设，则在中，，即

解得：，所以即当且点P运动到切点M的位置时，△CPQ为直角三角形。②当时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形。③当时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，此时，△CPQ不可能为直角三角形。所以，当时，△CPQ可能为直角三角形。例2.如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？分析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；若CD与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使AP⊥BP。解：如图3，以AB为直径做⊙O，设⊙O与CD切于点E因为∠B＝∠A＝90°所以AD、BC为⊙O的切线即AD＝DE，BC＝CE所以AD＋BC＝CD而条件中AD＋BC＜DC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD＋BC＜DC，点O到CD的距离OE小于⊙O的半径OE，CD与⊙O相交，和是直径AB所对的圆周角，都为90°，所以交点即为所求。因此，腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。例3.如图5，△ABC的外部有一动点P（在直线BC上方），分别连结PB、PC，试确定∠BPC与∠BAC的大小关系。（02年广州市中考）分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造△ABC的外接圆，问题就会迎刃而解。（1）当点P在△ABC外接圆外时，如图5，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC又因为∠BDC＝∠BAC，所以∠BPC＜∠BAC；（2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6，根据同弧所对的圆周角相等，∠BPC＝∠BAC；（3）当点P在△ABC外接圆内时，如图7，延长BP交△ABC外接圆于点D，连结CD，则∠BPC＞∠BDC，又∠BDC＝∠BAC，故∠BPC＞∠BAC。综上，知当点P在△ABC外接圆外时，∠BPC＜∠BAC；当点P在△ABC外接圆上时，∠BPC＝∠BAC；当点P在△ABC外接圆内时，∠BPC＞∠BAC。专题七、2010中考数学热点专题突破训练――动点问题例1（2006年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）.（1）求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值.1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.由题意知，点P为动点，所走的路线为：A→B→C速度为1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，进而求出△APE的面积.略解：由AP=2，∠A=60°得AE=1，EP=.因此.2.分析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况：（1）①当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6.

⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，0≤t≤6.AQ=t,AP=t+2,AF=t,QF=t,AG=(t+2),由三角函数PG=(t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S=·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+.②当6＜t≤8时，S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP.易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2.而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.∴S=16-t2-(10-t)2=(6＜t≤8⑵分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值.0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6时，S最大＝；由于S＝(6＜t≤8,所以t=8时，S最大=6.综上所述,当t=8时，S最大=6.例2．（2006年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∴OA=AB=BC=CO=4.如图①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=.∴A(2,)，B（6,）.2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一.直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：

①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①).②2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②).③4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).略解：①∵MN⊥OC，∴ON=t.∴MN=ONtan60°=.∴S=ON·MN=t2.②S=ON·MN=t·2=t.③方法一：设直线l与x轴交于点H.∵MN＝2-(t-4)=6-t,∴S=MN·OH=(6-t)t=-t2+3t.方法二：设直线l与x轴交于点H.∵S=S△OMH-S△ONH，∴S=t·2-t·(t-4)=-t2+3t.方法三：设直线l与x轴交于点H.∵S=,=4×2=8,=·2·(t-2)=t-2,=·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,∴S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.略解：由2知，当0≤t≤2时，=×22=2；当2＜t≤4时，=4；当4＜t≤6时，配方得S=-(t-3)2+，∴当t=3时，函数S＝-t2+3t的最大值是.但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数S＝-t2+3t的最大值不是.而当t＞3时，函数S＝-t2+3t随t的增大而减小，∴当4＜t≤6时，S＜4.综上所述，当t=4秒时，=4.1、（09包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？AQCDBP（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？解：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，点为的中点，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴． （4分）②∵，∴，又∵，，则，∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒． （7分）（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．∴点共运动了厘米．∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇． （12分）2、（09齐齐哈尔）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标；xAOQPBy（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．解（1）A（8，0）B（0，6） 1分（2）点由到的时间是（秒）点的速度是（单位/秒） 1分当在线段上运动（或0）时， 1分当在线段上运动（或）时，,如图，作于点，由，得， 1分 1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3） 1分 3分3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，∴PE=.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴，∴∴，∴，∴.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，∴k=－－8，∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．ACBPQED图16（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C?时，请直接写出t的值．解：（1）1，；ACBPQED图4（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ=CP=t，∴．由△AQF∽△ABC，，得．∴．∴，ACBPQED图5AC(E))BPQD图6GAC(E))BPQD图7G即． （3）能．①当DE∥QB时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ?∽△ABC，得，即．解得．②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ=90°．由△AQP?∽△ABC，得，即．解得． （4）或．①点P由C向A运动，DE经过点C．连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．，．由，得，解得．②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．，】ADCBMN7（09济南）如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．（1）求的长．（2）当时，求的值．（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．8（09江西）如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.（1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM（第25题）

②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.解（1）如图1，过点作于点 1分∵为的中点，∴在中，∴……………2分∴即点到的距离为……………3分（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．图1ADEBFCG∵∴∵∴，同理……………4分如图2，过点作于，∵∴图2ADEBFCPNMGH∴∴则在中，∴的周长= 6分②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．当时，如图3，作于，则类似①，∴ 7分∵是等边三角形，∴此时， 8分图3ADEBFCPNM图4ADEBFCPMN图5ADEBF（P）CMNGGRG当时，如图4，这时此时，当时，如图5，则又∴因此点与重合，为直角三角形．∴此时，综上所述，当或4或时，为等腰三角形． 10分9（09兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒