备战2020年浙江省高考数学卷分类解析立体几何与空间向量(解析版)

第九章立体几何与空间向量从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是:(1)相关线面地点关系的组合判断,试题平时以选择题的形式出现,主假如考察空间线线、线面、面面地点关系的判断与性质;(2)相关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考察学生的空间想象能力及推理论证能力;(3)线线角、线面角和二面角是高考的热门,五年五考,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的地点相对牢固，主要考察空间想象能力、逻辑思想能力和转变与化归的应用能力.前几年浙江卷较为着重几何法的考察，对空间向量方法考题较少，近三年则偏向于空间向量方法，且大题中考察线面角的计算好多.（4）三视图问题，五年五考，经常与几何体的面积或体积相联合.一．选择题1．【浙江省台州市2019届高三4月调研】一个几何体的三视图以下列图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为放倒的三棱柱，且底面为侧视图中等腰直角三角形，所以体积＝应选：B.2．【浙江省宁波市2019届高三上期末】某几何体的三视图以下列图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：，故组合体的体积，应选D．3．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知平面，直线，若，，，则“”是“中最少有一条与垂直”的（）A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件【答案】C【解析】先判断充分性，当时，假定都不与垂直.在平面内作的垂线，由可得，则.由，不垂直于可得与订交.由，可得.所以，矛盾.所以当时，能够推出中最少有一条与垂直，即充分性成立.再判断必需性，当中最少有一条与垂直时，不如设，由可得，所以，即必需性成立.综上所述，“”是“中最少有一条与垂直”的充要条件.应选C.4．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知正三棱锥（底面是正三角形，极点在底面的射影是正三角形的中心），直线平面，分别是棱上一点（除端点），将正三棱锥绕直线旋转一周，则能与平面所成的角取遍区间全部值的直线可能是（）A．B．C．D．中的随意一条【答案】B【解析】假定知足题意，当与平面所成的角为时，，由可得.在正三棱锥中，可得，当时可得，显然这是不行能成立的，所以不知足题意.同理，与不行能垂直，则与平面所成的角不行能为.综上所述，能够除去A,C,D，应选B.5．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】在正四周体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M是EF的中点，则能使点M的轨迹是圆的条件是（）A．PE＋QF＝2B．PE?QF＝2C．PE＝2QF22＝2D．PE＋QF【答案】D【解析】如图：取BC、BD、AC、AD的中点为G、H、K、L，因为P、Q是定点，所以PQ的中点O为定点，由对称性可知，PQ、EF的中点在中截面GHLK上运动，∵+=+,∴，又在正四周体中，对棱垂直，∴PEQF，∴，∴4=若点只有

M的轨迹是以O为圆心的圆，则D符合题意，应选D.

为定值，6．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】已知一个几何体的三视图以下列图，则该几何体的体积为（）A．32B．16C．8D．43333【答案】C【解析】由题设中三视图供给的图形信息与数据信息可知该几何体是一个三棱柱与一个等高三棱锥的组合体，此中三棱柱与三棱锥的底面都是直角边长为2的等腰直角三角形，所以其体积112128222V22，应选答案C.3237．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】如图，二面角的大小为，，，且，，，则与所成角的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵为等边三角形，又，，由余弦定理得故为等腰直角三角形，取BC中点E,连结DE，AE,则AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠DEA为二面角的平面角，BC⊥面ADE,DE=中由余弦定理得AD=1,过A作AO⊥DE,BC⊥AO，故AO⊥，故∠ADE为与所成角，ADE=故答案为8．【浙江省湖州三校2019年一般高等学校招生全国一致考试】已知三棱锥中，为正三角形，，且在底面内的射影在的内部（不包含界限），二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设在底面内的射影为O，过O分别作AB,BC,CA垂线，垂足分别为D,E,F,则，，，进而，，，因为，所以,,即,即，选C.9．【浙江省金华十校2019届高三上期末】以下列图，在底面为正三角形的棱台中，记锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】棱台的侧棱延伸交于点P过点P在平面ABC上的射影为H，设Ｈ到ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的距离分别为，∵

，∴

，则故Ｈ所在地区以下列图比较即比较ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，即比较ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ由图可知：ＨＣ＞ＨＡ＞HB∴应选：B．10．【浙江省金华十校

2019届高考模拟】如图，

AB是平面

的斜线段，

A为斜足，点

C知足sin

CAB

sin

CBA(

0)，且在平面

内运动，则（

）A．当1时，点C的轨迹是抛物线B．当1时，点C的轨迹是一条直线C．当2时，点C的轨迹是椭圆D．当2时，点C的轨迹是双曲线抛物线【答案】B【解析】在ABC中，∵sinCABsinCBA(0)，由正弦定理可得：BC，AC当1时，BCAC，过AB的中点作线段AB的垂面，则点C在与的交线上，即点C的轨迹是一条直线，当2时，BC2AC，设B在平面内的射影为D，连结BD，CD，设BDh，AD2a，则BCCD2h2，在平面内，以AD所在直线为x轴，以AD的中点为y轴成立平面直角坐标系，设C(x,y)，则CA(xa)2y2，CD(xa)2y2，CB(xa)2y2h2，5216a2h2∴(xa)2y2h22(xa)2y2，化简可得xay2.393C的轨迹是圆．应选：B．二.填空题11．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】某几何体的三视图（单位：cm）以下列图，则该几何体的最长的棱长为________，体积为________.【答案】7(cm)2(cm3)2【解析】由经过三视图能够知道该几何是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，底面是直角梯形，以下列图：四棱锥ABCDE，AC2,DC2BE2,AC底面BCDE，在直角梯形BCDE中，可求出BC2，在RtABC中，ABAC2BC2(2)2(2)22，同理可求出：AD(2)2226，AEAC2CE2AC2CD2DE2(2)222127，设四棱锥的底面BCDE的面积为S，所以S1113，所以四棱锥的体积1122V1SAC1322，所以该几何体的最长侧棱长为7(cm)，体积为2(cm3).3322212．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】某几何体的三视图以下列图（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）等于_____，表面积（单位：cm2）等于____．【答案】3【解析】依据几何体的三视图，得该几何体为以等腰梯形

ABCD与等腰梯形

为底面，高为

1的直四棱柱，如图：由柱体体积公式得：V．又等腰梯形ABCD与等腰梯形全等，面积和为6，矩形DC的面积为21=2，矩形的面积为41=4，矩形与矩形DA的面积相等，又由正视图可得BC=，所以矩形与矩形DA的面积和为2=2，所以表面积为6+2+4+2=12+2，故答案为3，.13．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】若某几何体的三视图（单位：）以下列图，则该几何体最长的棱长是__________，体积等于__________．【答案】20【解析】由三视图可得该几何体是截长方体获得的四棱锥

,此中，最长的棱长是，体积

.14．【浙江省湖州三校2019年一般高等学校招生全国一致考试】某几何体的三视图以下列图（单位：），则该几何体的体积（单位：）等于_______，表面积（单位：）等于__________．【答案】【解析】几何体一个边长为2的正方体挖去一个正四棱锥（极点在正方体下底面中心，底面为正方体上底面），所以几何体的体积为，表面积为15．【浙江省金华十校2019届高三上期末】一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直，其三视图如下图，则这个棱柱的体积为______，此棱柱的外接球的表面积为______．【答案】【解析】由题意可知，该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为6的正方形，底面积为，该三棱柱的高，所以，该三棱柱的体积为．由正弦定理可知，该正三棱柱底面的外接圆直径为，则其外接球的直径为，则，所以，此棱柱的外接球的表面积为．故答案为：；．16．【浙江省金华十校2019届放学期高考模拟】某几何体的三视图以下列图，正视图为腰长为

1的等腰直角三角形，侧视图、俯视图均为边长为

1的正方形，则该几何体的表面积是

_____，体积是

_____．【答案】2331223【解析】由三视图复原原几何体以下列图，该几何体为四棱锥PABCD，该几何体的表面积SSPABSPADSPCDSPBCS四边形ABCD31111262233；22222体积V1212132.3故答案为：233，1．22317．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知正方体中，为的中点，在平面内，直线，设二面角的平面角为，当取最大值时，______.【答案】【解析】设直线交于，因为直线，为的是中点，所以为的中点，过作∥交于，则∥，连结交于H，则为的中点，过作∥交于点，则为中点，因为⊥平面，所以⊥平面，所以⊥，⊥，所以为二面角的平面角，即，问题转变为在上找一点，使最大，设正方体的边长为，，则，，当，即为中点时，最小，最大此时，，18．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，BAD90，PAABBC1AD1，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角QPDA的平2面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分红面积为S1,S2(S1S2)的两部分，则S1:S2________.4【答案】3544【解析】以A为坐标原点成立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴DP=（﹣2，0，1），DQ=（﹣2，b，0）.AD=（2，0，0）．设平面APD的法向量为n1=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为n2=（x2，y2，z2）则n1DP0,n2DP0,n1AD0n2DQ02x1z102x2z20即0,by2，2x12x20令y1=0得n1=（0，1，0），令z2=2得n2=（1，2，2）．b∴n1n22,n11,n254．bb2∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，4n1n2222∴cos＜n1n2b2＞=n2.即4,解得b=5．n12255b2∴S△ADQ=1ADAQ122525．2255S梯形ABCD﹣S△ADQ=1(12)125325．2525∵S1＜S2，∴S1=3252=2．∴S1：S2=（35﹣4）：4．255故答案为（35﹣4）：4．三.解答题19．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且,（Ⅰ）求证：直线（Ⅱ）求二面角

平面

；的正弦值

.【答案】（Ⅰ）看法析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）连结，因为，所以.由已知得，，所以，所以，又，所以平面（Ⅱ）过点作，垂足是，因为是棱的中点，，所以点是的中点.连结，所以.所以就是二面角的平面角.由（Ⅰ）知平面，所以.因为，，所以所以,即二面角的正弦值为.20．【浙江省台州市2019届高三4月调研】如图棱锥的底面是菱形，，，侧面垂直于底面，且是正三角形.（Ｉ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ｉ）看法析；（Ⅱ）.【解析】（Ｉ）如图，取中点，连结、因为是正三角形，所以又因为是菱形，，所以是正三角形，所以又，平面所以平面因为平面所以（Ⅱ）因为侧面垂直于底面，面面，所以面如图，以点为坐标原点成立空间直角坐标系，则,，，则，，设平面的法向量则，取，得，所以，记直线与平面所成角为所以所以直线与平面所成角的正弦值为.21．【浙江省宁波市2019届高三上期末】以下列图，四周体中，是正三角形，是直角三角形，是的中点，且.（1）求证：平面；（2）过的平面交于点，若平面把四周体分红体积相等的两部分，求二面角的余弦值.【答案】（1）目睹明；（2）【解析】（1）以下列图，因为为等边三角形，所以，由，得，所以，即为等腰直角三角形，进而为直角，又为底边中点，所以.令，则，易得，所以，进而，又为平面内两订交直线，所以平面.（2）由题意可知，即到平面的距离相等，所以点为的中点，以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，成立空间直角坐标系.设，则，易得.设平面的法向量为，平面的法向量为，则，取；，取，设二面角的大小为，易知为锐角，则，所以二面角的余弦值为.22．【浙江省

2019届高三高考全真模拟（二

)】已知

P

ABC为正三棱锥，底面边长为

2，设

D为PB的中点，且

AD

PC，以下列图

.（Ⅰ）求证：PC平面PAB；（Ⅱ）求二面角DACB的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）看法析；（Ⅱ）22.3【解析】（Ⅰ）以AB中点O为空间直角坐标系的原点，OC为x轴，OA为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，成立空间直角坐标系，以下列图所示：A(0,1,0),B(0,1,0),C(3,0,0)，因为点P在平面ABC的射影为三角形ABC的中心，设P3,0,h，3所以PC23,0,h,AB(0,2,0)，3PCAB2300(2)(h)00，PCAB而ADPC，ABADA，AB,AD平3面PAB，所以PC平面PAB；（Ⅱ）由中点坐标公式可知：D3,1,h，由ADPC=0可知:622ADPC11h20，解得h2，设平面ACD的法向量为a(x,y,z)，323因为AD3,3,6,AC(ADa3x3y6z03,1,0)，所以626，626ACa3xy0取x2，解得a(2,6,8)，平面ABC的法向量为b(0,0,1)，所求二面角的平面角为，则cosab822，二面角DACB的平面角的余弦值为22.|a|b|723323．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】在三棱锥DABC中，ADDC，ACCB，AB＝2AD＝2DC＝2，且平面ABD平面BCD，E为AC的中点．I）证明：ADBC；II）求直线DE与平面ABD所成的角的正弦值．【答案】（I）目睹明；（II）【解析】（I）过作，（此中与都不重合，不然，若与重合，则与矛盾，若与重合，则，与矛盾）面面面，又面（II）法一：作，则，由（1）知：面即与面所成角，且法二：由（I）知

平面

，

，以

为原点，分别以射线

为轴，轴的正半轴，成立空间直角坐标系由题意知：∴

，∵平面设与面

的法向量为所成角为

，∴24．【浙江省湖州三校2019年一般高等学校招生全国一致考试】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，平面平面，二面角为.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）看法析（2）【解析】（Ⅰ）证明：平面平面，交线为，且，∴平面，进而，，∴即为二面角的平面角，即.又，，由余弦定理得，∴，即.又，∴平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，进而，，又，，故.由已知，点

到平面的距离等于点到平面

的距离

，设点到平面

的距离为，则点到平面

的距离也为

，由

得：

，

.∴与平面

所成角的正弦值

.25．【浙江省金华十校

2019届高三上期末】在三棱锥

中，

，H为

P点在平面

ABC的投影

，

．Ⅰ证明：

平面

PHA；Ⅱ求AC与平面

PBC所成角的正弦值．【答案】Ⅰ看法析；Ⅱ【解析】证明：Ⅰ取M为BC的中点，连结PM，AM，，，，又为P点在平面ABC的投影，，而，，又，，、A、M三点共线，进而，联合条件，平面PHA．解：Ⅱ过A作，连结CN，平面PHM，，，平面PBC，就是直线AC与平面PBC所成角，设，由，得，，由，知，，，，，，，解得，与平面

PBC所成角的正弦值

．26．【浙江省金丽衢十二校四边形ABCD为直角梯形，∠

2019届高三第一次联考】如图，在四棱锥P－ABCD中，已知ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，点M、E分别是

PA⊥平面ABCD，且PA、PD的中点求证：CE//平面BMD点Q为线段BP中点，求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值.【答案】(1)看法析；（2）.【解析】（1）连结所以四边形

ME，因为点分别是为平行四边形，所以

的中点，所以.又因为

平面

，所以，平面

,所以

平面

，.（2）如图，以

为坐标原点成立空间坐标系

，则又

，设平面

的法向量为

，列方程组求得此中一个法向量为

，设直线

与平面

所成角大小为

，于是，进而求得.27．【浙江省金华十校2019届放学期高考模拟】在四棱锥SABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCCD，SCSDCDDA1，CB2，AD//BC，SCB2，E为线段SB上的中点．31）证明：AE//平面SCD；2）求直线AE与平面SBC所成角的余弦值．【答案】（1）看法析；（2）131BC，【解析】（1）取SC的中点F，连结EF，DF．∵E，F是SB，SC的中点，∴EF//BC，EF2又AD//BC，AD1AD，BC，∴EF//AD，EF2∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE//DF，又DF平面SCD，AE平面SCD，∴AE//平面SCD．（2）取CD的中点O，连结SO，过O作BC的平行线OM，以O为原点，以OD，OM和平面ABCD过点O的垂线为坐标轴成立空间坐标系Oxyz，∵SCCDSD1，∴SO3，设二面角SCDA的大小为，2则S(0,3cos,3sin)，A(1,1,0)，B(1,2,0)，C(1,0,0)，∴E(1,13cos,3sin)，22222444∴CB(0,2,0)，CS(1,3cos,3sin)，∵SCB2，2223∴cosCB,CSCBCS3cos3cos1，CBCS2122∴cos3，sin6.∴S(0,1,2)，E(1,3,2)，3322444∴AE(3,1,2)，CS(1,1,2)，444222nCB02y0设平面SCD的法向量为n(x,y,z)，则，即1x1y2z，nCS002222可得n(2,0,1)，∴cosn,AEnAE