第四章控制系统的频率特性

第四章控制系统的频率特性分析

4-0引言4-1频率特性的基本概念

4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）

4-3Nyquist图的一般形状4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制第四章控制系统的频率特性分析

时间响应分析是根据系统的微分方程，以拉氏变换为数学工具，直接解出系统的时间响应，然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的性能。较为直观。

时域分析法的缺点：（1）高阶系统的分析难以进行；（2）当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。（3）物理意义欠缺。4-0引言

频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点：

（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。4-0引言

（2）系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。（4）用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声的系统。

4-0引言

一．频率响应和频率特性1．定义：频率响应是指控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦响应。即系统稳定状态时输出量的振幅和相位随输入正弦信号的频率变化的规律。4-1频率特性的基本概念

基本概念（物理意义）2．正弦输入信号时，输出信号的变化规律：4-1频率特性的基本概念输入输出数学本质式中：Xo(ω)为输出正弦信号的幅值，Φ(ω)为输出正弦信号的相位。可见：

1)

输出的稳态信号是同频率的正弦信号；2)输出稳态正弦信号的幅值和相对于输入信号的相位变化是输入信号频率ω的函数；当

为幅值比,定义为A(ω)，为ω的非线性函数。

为相位差，也是ω的非线性函数，规定φ(ω)逆时针为正，物理系统一般为滞后的，所以，φ(ω)一般为负值。4-1频率特性的基本概念

3.线性系统的频率特性：当系统输入各个不同频率的正弦信号时，其稳态输出与输入的复数比称为系统的频率特性函数，简称系统的频率特性，记为G(j)

。

设输入系统的正弦函数为

用复数表示

对于稳定的线性系统，各频率下其输出的稳态值为：用复数表示为：4-1频率特性的基本概念由定义：对于线性系统可写为：

4-1频率特性的基本概念相频特性幅频特性可见，系统的频率特性是一个复数，是频率的函数。显然，分别称为幅频特性和相频特性，的值分别称为幅值和相角。可见系统的频率响应为：4-1频率特性的基本概念

二．频率特性的求法一般可有三种求法①根据已知系统的运动微分方程，把输入量以正弦函数代入，求其稳态解，取输出量的稳态分量与输入正弦信号的复数比，即得。（例题）②根据系统的传递函数求取。③通过实验测得。（说明）对②

，若描述线性系统的微分方程的形式为：4-1频率特性的基本概念n>=m

输入信号：则稳态输出

将xi(t)和xo(t)的各阶导数代入:

4-1频率特性的基本概念

右边是将G(S)中的S以jω取代后的结果，并记为G(jω)。所以，4-1频率特性的基本概念G(jω)是系统的频率特性频率响应频率特性的求法

4-1频率特性的基本概念【例】某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sint时系统的稳态输出解首先求出系统的闭环传递函数(s)，令s=j得则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o)

如=2,则(j2)=0.35-45o4-1频率特性的基本概念

三．频率特性的性质：1)

幅频特性和相频特性是系统的固有特性，与外界因素无关；2)

一般系统的频率特性具有低通滤波的作用;3)

频率特性随频率变化，是因为系统中含有储能元件，他们在进行能量交换时，对不同的信号使系统有不同的特性。4-1频率特性的基本概念频率特性分析法的特点和缺点说明四、频率特性表示法（一）解析表示

系统开环频率特性可用以下解析式表示

幅频-相频形式：

指数形式(极坐标)：三角函数形式：

实频-虚频形式：

（二）频率特性常用的图解形式1.极坐标图—奈奎斯特图（Nyqusit）—幅相特性曲线系统频率特性为幅频-相频形式

当在0～变化时,向量G(j)H(j)的幅值和相角随而变化,与此对应的向量G(j)H(j)的端点在复平面G(j)H(j)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或

Nyqusit曲线。画有Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。4-1频率特性的基本概念

对数相频特性记为单位为分贝(dB)

对数幅频特性记为单位为弧度(rad)

如将系统频率特性G(j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度:lgw）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度lgw），合称为伯德图(Bode图)。

2.伯德图(Bode图)4-1频率特性的基本概念4-1频率特性的基本概念横坐标采用对数分度，但标注只标频率值，如横坐标两点满足的关系，则它们之间的长度为一个“十倍频程”，以dec表示。

3.对数幅相图(Nichols图)将Bode图的两张图合二为一。4-1频率特性的基本概念对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）

是ω的复变函数,故可在的复平面上表示它.ω由0→∞时,的端点轨迹即为频率特性的极坐标图.

典型环节

比例环节：K

惯性环节：1/(Ts+1)

，式中T>0一阶微分环节：(Ts+1)

，式中T>0

积分环节：1/s

微分环节：s

振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];

式中ωn>0，0<ζ<1

二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;

式中ωn>0，0<ζ<14-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）频率特性奈氏图：奈氏图上的幅相特性曲线是实轴上的一个点，

k

j0

比例环节K的幅相曲线·

比例环节4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）频率特性惯性环节4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）奈氏图：由于所以幅相特性曲线为一圆心在（1/2，j0）半径为1/2的园。V<0，为半圆。-1/T

j

p0(a)

θ

jω+1/T

惯性环节

极点—零点图(a)幅相曲线(b)ω=0

j0ω=∞-45oω=1/T

(b)K4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）奈氏图：积分环节的幅相特性曲线是一与虚轴负段相重合的直线。频率特性：

积分环节0

ω

积分环节的幅相曲线

j

4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）频率特性：奈氏图：微分环节的幅相特性曲线是一与虚轴正轴相重合的直线。微分环节jω

ω=0

0

微分环节幅相曲线4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）频率特性：奈氏图：当时，，时，，一阶微分环节的幅相特性曲线是通过（1，j0）点且平行于虚轴上半部的直线。一阶微分环节4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）

j

ω-1/T

0

(a)

jω+1/T

ω=0

j

0ω

1(b)

一阶微分环节的极点—零点图(a)和幅相曲线(b)

4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）式中：频率特性：

振荡环节4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）谐振峰值Ｍｒ和谐振频率ωｒ：当ω＝ωｒ时系统将产生谐振，4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）得：，显然时才有意义，即时才会出现谐振。谐振峰值Ｍｒ：当

时，4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）

奈氏图：当ω＝ωn时

4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）式中：频率特性：

二阶微分环节4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）

奈氏图：

4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）频率特性：

奈氏图：为一直径为‘1’的园延时环节4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）

4-3Nyquist图的一般形状一、系统开环传函幅频特性系统开环传函的一般形式为：系统开环传函由多个典型环节相串联：4-3Nyquist图的一般形状那麽，系统幅相特性为：即开环系统的幅频特性与相频特性为：开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积；开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。4-3Nyquist图的一般形状

（1）如果系统开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统，如

（2）系统的开环传递函数在右半S平面上有一个(或多个)零点或极点,则该系统称为非最小相位系统。开环传递函数含有延迟环节的系统也称非最小相位系统。二、最小相位系统和非最小相位系统4-3Nyquist图的一般形状

（3）具有相同幅值的两个系统,由0时,最小相位系统的相角迟后最小,而非最小相位系统的相角迟后则较大。4-3Nyquist图的一般形状三、系统开环频率特性曲线的绘制（4）非最小相位一般由两种情况产生:系统内包含有非最小相位元件(如延迟因子);内环不稳定。（5）最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系(Bode定理)

4-3Nyquist图的一般形状1、系统(标准型)简单吗？2、比较复杂2、比较简单则写出G(jw)＝Re+jIm3、分别求出w=0+、+∞时的G(jw)4、必要时画出幅相曲线中间几点

5、勾画出w=0+→+∞时G(jw)的大致曲线（当然，越精确越好）.

4-3Nyquist图的一般形状注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。4-3Nyquist图的一般形状,增益系统称为0型，Ι型，Ⅱ型…系统。1、ω=0时（起点）

幅值v为积分环节个数绘制步骤4-3Nyquist图的一般形状2、ω=∞

时（终点）幅值3、与负实轴交点：令虚部为0，得相交频率和实部。(或与虚轴交点)4、G(S)包含导前环节时，若由于相位非单调下降，曲线有弯曲。（一阶微分环节）4-3Nyquist图的一般形状例1某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。例2某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。4-3Nyquist图的一般形状例3某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。例4某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。4-3Nyquist图的一般形状例5某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。例6某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。4-3Nyquist图的一般形状例7某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。例8某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。4-3Nyquist图的一般形状

对数相频特性记为单位为分贝(dB)

对数幅频特性记为单位为弧度(rad)

如将系统频率特性G(j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度，不标lgω，只标频率值，“十倍频程”的概念）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度），合称为伯德图(Bode图)。4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)采用伯德图的优点：1、将串联环节的幅值的乘除化为幅值德加减关系，简化了作图过程。2、可用近似方法作图，作出渐进线，再用修正曲线修正，可得精确的对数幅频特性图。4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)L(w)(dB)0.010.1110wlgw2040－40－20......0(w)0.010.1110wlgw45o90o－90o－45o......0o

对数幅频特性

对数相频特性

伯德图：对数幅频特性和对数相频特性都是一条水平线。对数幅频特性对数相频特性比例环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)

K<0比例环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)(G(s)=1/s)

可见积分的对数幅频特性是一在ω=1时通过0dB，斜率为-20dB/dec的直线，积分的对数幅频特性与微分环节是关于横轴对称。对数相频特性为的一条水平线。积分环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)积分环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)(G(s)=s)可见微分的对数幅频特性是一在ω=1时通过0dB，斜率为+20dB/dec的直线，对数相频特性为的一条水平线。微分环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)微分环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)(G(s)=1/(Ts+1))对数幅频特性：

(dB)，即在低频段幅值渐近线为横坐标轴。惯性环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)当时，高频渐进线，故高频渐进线与横轴交于对数相频特性：当时，Φ=-450，所以对数相位曲线是关于在（1/T，-450）弯点斜对称的反正切曲线。频率每变化10倍频程，即，则幅值下降：即高频渐进线的斜率是-20dB/dec。4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)惯性环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)(G(s)=Ts+1)

可见一阶微分的对数幅频特性与惯性环节是关于横轴对称。低频段幅值渐近线为横坐标轴。高频渐进线的斜率是20dB/dec。高频渐进线与横轴交于处。一阶微分环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)一阶微分环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)振荡环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)低频渐进线为0db的水平线。①ω<<ωn

，（即λ=0）4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)高频渐进线为始于（1，0）即λ=1，斜率为-40db/dec的直线。ωn

是转角频率。②ω>>ωn

，（即λ>>

1）对数相频特性：4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)谐振频率：4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)振荡环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)

对数幅频特性：对数相频特性：

可见二阶微分环节的对数幅频特性与振荡环节是关于横轴对称。低频段幅值渐近线为横坐标轴。高频渐进线的斜率是40dB/dec。高频渐进线与横轴交于处（转折频率）。二阶微分环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)伯德图：对数幅频特性：对数相频特性：滞后环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)滞后环节4-4典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制一、系统开环对数频特性系统开环传函由多个典型环节相串联：那麽，系统对数幅频和对数相频特性曲线为：

因此，开环对数幅频曲线及对数相频曲线分别由各串联环节对数幅频曲线和相频曲线叠加而成。典型环节的对数幅频曲线渐近线为不同斜率的直线或折线，故叠加后的开环对数幅频特性曲线渐近线仍为不同斜率的线段组成的折线。因此，系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和；相位等于各环节的相位之和。

需要首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确定线段转折频率（转角频率）以及转折后线段斜率的变化，那么，就可绘制出由低频到高频的开环对数幅频特性渐近线。4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制

(1)

将系统开环传递函数改写为各个典型环节的乘积形式；(2)令S=jω,求G(jω)；

(3)确定各环节的转折频率,并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标轴上（不妨设为：w1、w2、w3、w4……）；

(4)绘制L()的低频段渐近线；0型（无积分环节），高度为20lgK的水平线；有积分环节则为斜率为-20×v的斜线，它与零分贝线的交点为；

二、系统开环对数幅频特性曲线的绘制步骤:4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制需要确定该直线上的这一点，可以采用以下三种方法：A:在小于等于第一个转折频率w1内任选一点w0,计算其值。（若采用此法，强烈推荐取w0＝w1）L(w0)=20lgK－20lgw0B:取特定频率w0＝1，则L(w0)=20lgKC:取L(w0)为特殊值0，则

-20dB/dec1

20lgKw14-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制0型系统4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制

(5)按转折频率由低频到高频的顺序,在低频渐近线的基础上,每遇到一个转折频率,根据环节的性质改变渐近线斜率,绘制渐近线,直到绘出转折频率最高的环节为止。

(6)如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以修正。

(7)相频特性曲线由各环节的相频特性曲线相加获得。

注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制已知系统开环传递函数为试绘出开环对数渐近幅频曲线。例例:4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制例设系统开环传递函数为试绘制开环系统对数频率特性曲线。

4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制

由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。

由频率特性测试仪记录的数据,可以绘制最小相位系统的开环对数频率特性,对该频率特性进行处理，即可确定系统的对数幅频特性曲线。1、频率响应实验

信号源对象记录仪三、由Bode图确定系统的传递函数4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制2、传递函数确定（1）对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为20dB/dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线。

（2）当某处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此即为某个环节的转折频率。①当斜率变化+20dB/dec时,可知处有一个一阶微分环节Ts+1;②若斜率变化+40dB/dec时，则处有一个二阶微分环节(s2/2n+2s/n+1)或一个二重一阶微分环节(Ts+1)2③若斜率变化-20dB/dec时,则处有一个惯性环节1/(Ts+1);

④若斜率变化-40dB/dec时，则处有一个二阶振荡环节1/(s2/2n+2s/n+1)或一个二重惯性环节1/(Ts+1)2。4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制（3）系统最低频率段的斜率由开环积分环节个数决定。低频段斜率为-20dB/dec,则系统开环传递有个积分环节，系统为型系统。（4）开环增益K的确定①由=1作垂线，此线与低频段(或其延长线)的交点的分贝值=20lgK(dB),由此求处K值。②低频段斜率为-20dB/dec时,此线(或其延长线)与0dB线交点处的值等于开环增益K值。③当低频段斜率为-40dB/dec时,此线(或其延长)与0dB线交点处的值即等于K1/2。④其他几种常见情况如下表所示。4-5系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制几种常见系统Bo