第四章平面任意力系

第四章平面任意力系平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系的简化结果平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面平行力系物体系统的平衡、静定和静不定问题平面静定桁架的内力计算习题课4.1平面任意力系向作用面内一点简化一、力线平移定理

定理：作用于刚体上的力可以从其作用点平行移至刚体内任一指定点，欲不改变该力对刚体的作用，则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶（称为附加力偶），其力偶矩等于原力对指定点的矩。mB=Fd

用力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。dF工程实际意义:1)乒乓球旋转原理2)水瓶平衡原理FCMFMMMGTT二力平衡,力偶平衡其它:攻丝锥,开关水阀门等.4.1平面任意力系向作用面内一点简化二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩

设平面任意力系如图（a），在平面内任取一点O，称为简化中心，由力线平移定理，将各力平移至O点。于是可得平面汇交力系和附加力偶系如图（b）。其中：4.1平面任意力系向作用面内一点简化二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩

对于汇交力系，由平面汇交力系的合成理论：

平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。所以力等于原力系的主矢。显然，主矢与简化中心的位置无关。建立坐标：因此，的大小和方向为：4.1平面任意力系向作用面内一点简化二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩

对于平面力偶系，由平面力偶系的合成理论：

原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。所以，等于原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。平面任意力系→平面汇交力系+平面力偶系4.1平面任意力系向作用面内一点简化二、平面任意力系向一点简化、主矢与主矩

综上所述可得如下结论：平面任意力系向作用面内任一点简化得到一个力和一个力偶，如图（c)所示。该力作用在简化中心，其大小和方向等于原力系的主矢，该力偶之矩等于原力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。4.1平面任意力系向作用面内一点简化三、平面固定端约束

物体的一部分固嵌在另一物体中所构成的约束称为平面固定端约束。4.2平面任意力系的简化结果一、简化结果分析1、主矢和主矩都等于零此时平面力系平衡。2、主矢等于零，主矩不等于零3、主矢不等于零，主矩等于零

此时平面力系简化为一力偶。其力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩，即且此时主矩与简化中心的位置无关。

此时平面力系简化为一合力，作用在简化中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即4.2平面任意力系的简化结果一、简化结果分析4、主矢和主矩均不等于零

此时还可进一步简化为一合力。于是由主矩的定义知：所以：结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。即为平面任意力系的合力矩定理。力系简化的最后结果:主矢R’≠0主矩MO≠0主矩MO=0一合力(原为汇交力系)主矢R’=0主矩MO≠0一合力偶(原为力偶系)主矩MO=0平衡例:平面力系F1----F4有图示关系,则力系简化的结果为

F1F2F3F4xyA∑x=?

∑y=?∑mo=?或用平行四边形法则4.2平面任意力系的简化结果二、平行分布线荷载的简化

分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。结论：1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。4.2平面任意力系的简化结果二、平行分布线荷载的简化1、均布荷载2、三角形荷载3、梯形荷载4.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程一、平衡条件和平衡方程

1、平衡条件：平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即2、平衡方程：由于，因此平衡条件的解析方程为：即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。例：图示悬臂起重机，不计AC自重，求：机构平衡时B铰及AC杆受力？α=30解：取ABD，受力见原图ABCPPaa1.5aαxByBsACΣχ=0χB－SACcosα=0（1）Σy=0yB+sACsinα-2p=0（2）∑mB=0sACsinα1.5a-pa-p2a=0（3）得：sAC=4PχB=2√3pyB=00∑mA=0yB1.5a-p0.5a+p0.5a=0（4）∑mC=0xB1.5atanα-pa-p2a=0（5）（4）,（5）代替了（2）,（1）,只能列三个独立平衡方程4.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程例1求图示刚架的约束反力。解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。解之得：4.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程例2求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。解之得：4.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程例3求图示平面刚架的约束反力。解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。解之得：4.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程例4梁ABC用三链杆支承，并受荷载和的作用，如图所示，试求每根链杆所受的力。解1：以梁为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解之得：4.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程例4

解2：以梁为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解之可得同上的结果。同样，亦可由或和前两个投影方程联立求解。4.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程二、平衡方程的其它形式1、二矩式其中A、B两点的连线AB不能垂直于x轴。2、三矩式其中A、B、C三点不能在同一条直线上。ABxF4.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程例5

均质杆AB长l,重为G，置于光滑半圆槽内，圆槽半径为r，力铅垂向下作用于D点，如图，求平衡时杆与水平线的夹角。

解：以杆AB为研究对象，受力如图。解之得：4.4平面平行力系一、平面平行力系的平衡方程

力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：

平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：其中AB连线不能与各力的作用线平行。4.5物体系统的平衡一、概念

由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。4.5物体系统的平衡一、静定和静不定的概念

在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数。4.5物体系统的平衡4.5物体系统的平衡一、静定和静不定的概念4.5物体系统的平衡例6

组合结构的荷载和尺寸如图所示，求支座反力和各链杆的内力。

解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解之得：4.5物体系统的平衡例6

再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。由于，代入解之得：当然，亦可以以AB为研究对象，求和。4.5物体系统的平衡例7

求图示三铰刚架的支座反力。

解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。可解得：再以AC为研究对象，受力如图。解得：4.5物体系统的平衡例8求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。解之得：

再以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解之得：4.5物体系统的平衡例9求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研究对象，受力如图。于是得：

再以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。将代入即可求得、、。4.5物体系统的平衡例10

结构的荷载和尺寸如图，CE=ED，试求固定端A和铰支座B的约束反力。解：先以BD为研究对象，受力如图。解得：再以CDB局部为研究对象，受力如图。4.5物体系统的平衡例10解得：最后以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解之得：4.5物体系统的平衡例11

图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触。在C、D两处分别作用力和，且，各杆自重不计，求F处的约束反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。解得：4.5物体系统的平衡例11再以DF为研究对象，受力如图。解得：最后以杆BG为研究对象，受力如图。解得：2P2+2YF=04.5物体系统的平衡例12

三根等长同重均质杆（重W）如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。解1：先以AB为研究对象，受力如图。不妨设杆长为。—（1）再以整体为研究对象，受力如图。——（2）4.5物体系统的平衡例12最后以DC为研究对象，受力如图。———（3）联立求解（1）（2）（3）得：解2：先以BC为研究对象，受力如图。——（4）再以DC为研究对象，受力如图。——（5）最后以整体为研究对象，受力如图。——（6）4.5物体系统的平衡例12联立求解（4）——（6）即可的同样结果。解3：先以BCD为研究对象，受力如图。—（7）联立求解（3）（6）（7）即可得同样结果。4.5物体系统的平衡例13

三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力，求铰链E处的反力。解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解得：4.5物体系统的平衡例13下面用不同的方法求解。解1：先以DC为研究对象，受力如图。再以BDC为研究对象，受力如图，建立如图坐标。

类似地，亦可以DC为研究对象，求，再以ACD为研究对象，求解。4.5物体系统的平衡例13解2：分别以ACD和AC为研究对象，受力如图。联立求解以上两方程即得同样结果。

类似地，亦可以BDC和BD为研究对象，进行求解。4.5物体系统的平衡例13解3：分别以BD和AC为研究对象，受力如图。

用、表示的约束反力和用、表示的约束反力本质上是同一个力。4.5物体系统的平衡思考题

图示结构，在水平杆AB上作用一铅垂向下的力，试证明AC杆所受的力与的作用位置无关。取整体,求YD,取AB求YH,取BAD求SAC4.6桁架的内力计算概念

桁架是由杆件彼此在两端用铰链联接形成的几何形状不变的结构。桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为平面桁架。桁架中的铰链接头称为节点。为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个假设：（1）桁架的杆件都是直杆；（2）杆件用光滑铰链联接；（3）桁架所受的力都作用到节点上，且在桁架平面内；（4）桁架杆件重不计，或平均分配在杆件两端的节点上。这样的桁架，称为理想桁架。4.6桁架的内力计算一、节点法

桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为节点法。例14平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D处受一集中荷载P=10kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解之得：4.6桁架的内力计算一、节点法再分别以节点A、C、D为研究对象，受力如图，建立如图坐标。对A：解得：对C：解得：对D：解得：4.6桁架的内力计算二、截面法

用假想的截面将桁架截开，取至少包含两个节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被截杆件内力，这就是截面法。解：以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。例15图示平面桁架，各杆长度均为1m，在节点E上作用荷载，在节点D上作用荷载，试求杆1、2、3的内力。4.6桁架的内力计算二、截面法解之得：

为求1、2、3杆的内力，用假想截面m--n将桁架截开，取左半部分为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解之得：4.6桁架的内力计算二、截面法

思考题：求下列各桁架指定杆件的轴力。零力杆特点:(由平衡方程而得)两杆铰接,无外力,则两杆内力均为零.两杆铰接,一杆与一外力共线,则另一杆内力为零.三杆铰接,无外力,其中两杆共线,则另一杆内力为零.(a)(a)12(b)12(b)P(c)123(c)例:图示静定桁架,求:各杆内力?12345679AP1、若力F=-F1，则F与F1或是一对平衡力，或是一对作用力与反作用力，是否正确？2、如图示ABC构件，受P力作用，若A铰的约束反力方位与AB的夹角为135度，AC=BC，则当ABC静定平衡时，B点的约束如何设置，并图示之。ABCP13503、试用最简单的方法定出图中A处约束反力。（画在图上，不能用分力表示）。说明理由。4、两直角曲杆ABC、DE各处铰接，当力P从B点移动到C点的过程，A点的约束反力方位与AB的夹角从——到——度，约束反力大小从——到——ADBCEPaaaADBCEPaaa5、如图（a）、（b）、（c）示，各力顶点构成正方形顶点，则哪个图是平衡的？F1F2F3F4ABCDF4AF2BCDF3F1F1F2F3F4ABCD（a）F3ABCDF1F2F4（b）（c）6、如图所示，求F