第一节拉格朗日插值

数值计算方法厦门大学嘉庚学院2015—2016学年第二学期ComputerizedNumericalMethods2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值2第五章插值法§2分段低次插值§3差商与牛顿插值多项式§1拉格朗日(Lagrange)插值

§4差分与等距节点插值公式

§6三次样条插值

§5埃尔米特(Hermite)插值2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值3

设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数P(x)，使成立，就称P(x)为f(x)的插值函数，这类问题称为插值问题。常用的插值函数有多项式，三角多项式，有理函数等。近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了广泛的应用。2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值4§1

拉格朗日插值第五章一、代数插值问题二、插值多项式的存在唯一性三、线性插值四、抛物线插值五、拉格朗日插值多项式2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值5一、代数插值问题插值多项式插值条件插值节点插值区间[a,b],代数插值的几何意义插值多项式的余项2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值6二、插值多项式的存在唯一性定理1

在n+1个互异节点xi上满足插值条件的次数不高于n次的插值多项式Pn(x)存在且唯一。证

2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值7系数行列式为范德蒙行列式例1

x=[0123];y=[230-1];求插值多项式：

p=vander(x)\y’;poly2sym(p’)2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值8三、线性插值设y=f(x),给定区间[x0,x1]及端点函数值y0=f(x0)，y1=f(x1),要求线性插值多项式L1(x)，使它满足称L1(x)为线性插值函数。由直线方程的两点式可得记2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值9则称为线性插值基函数，设f’(x)在[x0,x1]上连续，f’’(x)在[x0,x1]内存在，则插值余项（截断误差）为则截断误差限为2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值10四、抛物线插值

设已知y=f(x)在三个不同的点x0,x1,x2上的值分别为y0,y1,y2.要求做一个二次插值多项式L2(x),使它满足插值条件设f’’(x)在[x0,x1]上连续，f’’’(x)在[x0,x1]内存在，则插值余项（截断误差）为有：2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值11五、拉格朗日插值多项式

设已知y=f(x)在n+1个节点要求做一个n次插值多项式Ln(x),使它满足插值条件处的函数值为2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值12这个多项式称为n次拉格朗日插值多项式。2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值132023/2/6第三章第一节拉格朗日插值142023/2/6第三章第一节拉格朗日插值152023/2/6第三章第一节拉格朗日插值162023/2/6第三章第一节拉格朗日插值172.2023/2/6第三章第一节拉格朗日插值182023/2/6第三章第一节拉格朗日插值19例2

给定f(x)=的函数表如下：xy=f(x)144169225121315试分别用线性插值多项式和二次拉格朗日插值多项式计算

f(175)的值。答：L1(175)=13.21428572L2(175)=13.23015873

f(175)=13.228756562023/2/6第三章第一节拉格朗日插值20例3

设f(x