第五章频率特性

第五章频域分析法5.1频率特性5.2典型环节的频率特性与开环频率特性曲线的绘制5.3频域稳定性判据5.4稳定裕度5.5闭环系统的频域性能指标5-1频率特性⑴频率特性:研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律⑵由开环频率特性研究闭环稳定性及性能⑶图解分析法⑷有一定的近似性(5)可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。频域分析法的特点:频域分析法的定义:应用频率特性研究线性系统的经典方法.频率特性定义：谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比为幅频特性A(w)，相位之差φ(ω)为相频特性。RC电路如图所示，ui(t)=Asinwt,求uo(t)=?稳态输出：稳态输出：幅频特性：相频特性：频率特性等于传递函数令s=jωui(t)=Asinwt输入：

频率特性等于传递函数令s=jω这一结论可推广到所有稳定的线性定常系统？设系统的传递函数为

频率特性设系统稳定，则正弦输入时输出为：C(s)=G(s)R(s)=s2+ω2Aω∏(s-si)∏(s-zj)kΦ*1nm1s-siai∑1n=++s+jωB1s-jωB2Cs(s)=ct(t)=∑aies

tict(∞)=0∵系统稳定，∴G(jω)A2j(s-jω)+=AG(-jω)-2j(s+jω)G(jω)ejωt

G(-jω)e-jωtA2jcs(t)=G(s)(s+jω)(s-jω)Aωs+jωB1+s-jωB2Φ(jω)=a(ω)+jb(ω)c(ω)+jd(ω)Φ(-jω)=c(ω)-jd(ω)a(ω)-j

b(ω)Φ(-jω)Φ(jω)∠Φ(-jω)∠Φ(jω)A

G(jω)ej∠G(jω)ejωte-j∠G(jω)e-jωt2jAG(jω)sin(ωt+∠G(jω))频率特性幅频特性相频特性定义一：定义二：上例中RC电路的频率特性：频率特性定义频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。AB相角问题①稳态输出迟后于输入的角度为：②该角度与ω有BA360oφ=AB③该角度与初始关系∴为φ(ω),角度无关∴,…系统模型间的关系频率特性的表示方法幅相频率特性曲线（Nyquist图，极坐标图）对数频率特性曲线（Bode图）对数幅相曲线（Nichols图）

一般只绘制ω从0→∞变化时的幅相曲线，箭头表示ω增加的方向。1)幅相频率特性曲线(Nyquist图)

当频率ω从0→∞变化时，以ImG(jω)为纵坐标；以ReG(jω)为横坐标。ω从-∞→0变化时的乃氏图与ω从0→∞变化时乃氏图关于实轴对称。例如，－阶系统的传递函数

当频率ω从0→∞变化时，可得到许多矢量，把矢量的端点连接起来，可得到G(jω)的轨迹，两种表示方法之间关系：也可以将频率特性表示为复指数形式：G(jω)轨迹上的任意一点到坐标原点的连线长度即为系统的幅频特性；连线与正实轴的夹角即为相频特性。2)对数频率特性曲线（Bode图）

分别求出系统的幅频特性和相频特性，并对幅频特性取对数：对数幅频特性分贝（dB）以logω为横坐标，以L(ω)为纵坐标绘制对数幅频曲线；以logω为横坐标，以

为纵坐标绘制对数相频曲线。对数坐标系对数坐标系请注意对数刻度和线性刻度的区别

123…更详细的刻度如下图所示ω１2345678910lgω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000对数频率特性采用ω的对数实现了横坐标的非线性压缩,便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况。系统由这两个环节串联组成，系统频率特性为例:设两个环节的频率特性为：系统的对数频率特性为：

即已知环节的对数幅频、相频特性曲线时，只需将其叠加，就可以得到系统的对数幅频、相频特性曲线。对数幅频特性采用20lgA(ω),则将幅值的乘除运算化为加减运算。3)对数幅值曲线将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上。5.2典型环节的频率特性

开环频率特性往往是典型环节频率系统的乘积，先求出环节的频率特性，再求开环频率特性就容易了。典型环节

比例环节：K惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0

一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0

积分环节：1/s微分环节：s振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];式中ωn>0，0≤ζ<1二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;式中ωn>0，0≤ζ<1最小相位环节

典型环节

比例环节：K(K<0)惯性环节：1/(-Ts+1)，式中T>0

一阶微分环节：(-Ts+1)，式中T>0

振荡环节：1/[(s/ωn)2-2ζs/ωn+1];式中ωn>0，0<ζ<1二阶微分环节：(s/ωn)2-2ζs/ωn+1;式中ωn>0，0<ζ<1非最小相位环节最小相位系统（本书主要研究对象）：系统的开环传递函数在右半s平面没有极点和零点。非最小相位系统：系统的开环传递函数在右半s平面有一个（或多个）极点和零点。1.比例环节比例环节的频率特性为G(jω)=K

相应的幅频特性和相频特性为j0K乃氏图Bode图对数幅频特性和相频特性为2.积分环节积分环节的频率特性为其幅频特性和相频特性为幅频特性与角频率ω成反比,而相频特性恒为-90°。对数幅频特性和相频特性为积分环节的乃氏图j积分环节L(ω)①G(s)=1s②G(s)=10s1③G(s)=5s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-20][-20]

3.微分环节微分环节的频率特性为其幅频特性和相频特性为微分环节的幅频特性等于角频率ω,而相频特性恒为90°。对数幅频特性和相频特性为微分环节的奈氏图j①G(s)=s②G(s)=2s③G(s)=0.1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20][+20][+20]微分环节L(ω)4.惯性环节惯性环节的频率特性为它的幅频特性和相频特性为写成实部和虚部形式,即则有所以,惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5,0),半径为0.5的半圆。对数幅频特性和相频特性为惯性环节G(jω)G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76-840.45 0.37 0.24 0.05惯性环节的对数频率特性一般采用近似的思想绘制低频部分是零分贝，高频段部分是斜率为-20dB/dec的直线。当ωT=1时,ω=1/T称为交接频率,或叫转折频率、转角频率。当时，，有：当时，，有：近似过程如下：幅值特性：惯性环节的对数幅频特性渐近特性dB10-10-20渐近线和精确曲线在交接频率附近的误差列于表中。在交接频率处误差达到最大值:一般来说,这些误差并不影响系统的分析与设计。误差最大惯性环节的对数频率特性在低频段,ω很小,ωT<<1,φ(ω)=0°;在高频段,ω很大,ωT>>1,φ(ω)=-90°。所以,φ(ω)=0°和φ(ω)=-90°是曲线φ(ω)的两条渐近线,在交接频率处1/T有：相频特性：惯性环节对数相频特性曲线角度值惯性环节对数相频特性曲线是一条中心点对称的曲线证明:取两个关于ω=1/T对称的频率ω1=α/T和ω2=1/(αT),则因此有这表明φ(ω)是关于ω=1/T,φ(ω)=-45°这一点中心对称的。①G(s)=10.5s+1100②G(s)=s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100惯性环节L(ω)[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90o5.一阶微分环节一阶微分环节的频率特性为幅频特性和相频特性为对数幅频特性和相频特性为一阶微分环节的奈氏图j低频部分是零分贝，高频段部分是斜率位20dB/dec的直线。当ωT=1时,ω=1/T称为交接频率,或叫转折频率、转角频率。近似过程如下：当时，，有：当时，，有：低频段高频段一阶微分环节的对数幅频特性图一阶微分的对数频率特性曲线图5-10一阶微分环节的Bode图①G(s)=0.5s+10.3②G(s)=(0.25s+0.1)L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-2020100一阶微分L(ω)0o+30o+45o+60o+90o[+20][+20]6.二阶振荡环节二阶振荡环节的频率特性为它的幅频特性和相频特性为(ω≤ωn)(ω＞ωn)(0<ξ<0.707)谐振峰值Mr=相频曲线从0o单调减至-180o当时谐振频率ωrωr,Mr

均为ω的减函数振荡环节G(jω)曲线（Nyquist曲线）0j1二阶振荡环节的奈氏图ξ>0.707时，A(ω)单调下降对数幅频特性和相频特性为(ω≤ωn)(ω＞ωn)二阶振荡环节的伯德图近似过程分析如下：低频段,ω<<ωn,L(ω)=0dB；高频段,ω>>ωn,L(ω)=－20lg(ω/ωn)2=－40lg(ω/ωn)dB。

高频渐近线低频渐近线振荡环节对数幅频特性渐近线幅频特性与关系二阶振荡环节的对数幅频特性曲线

ω/ωn幅频特性与关系二阶振荡环节的对数幅频特性曲线

ω/ωn幅频特性与关系二阶振荡环节的对数幅频特性曲线

ω/ωn幅频特性与关系二阶振荡环节的对数幅频特性曲线

ω/ωn幅频特性与关系二阶振荡环节的对数幅频特性曲线

ω/ωn二阶振荡环节的对数幅频特性曲线

幅频特性与关系ω/ωn当0<ζ＜0.707时,在对数幅频特性上出现峰值。二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差(dB)交接频率ω=ωn，在交接频率附近,对数幅频特性与渐近线误差最大,且阻尼比ζ越小,误差越大。ω/ωn振荡环节的相频特性渐近线ωn相频特性与关系二阶振荡的对数相频特性曲线

ω/ωn相频特性与关系二阶振荡的对数相频特性曲线

ω/ωn相频特性与关系二阶振荡的对数相频特性曲线

ω/ωn相频特性与关系二阶振荡的对数相频特性曲线

ω/ωn相频特性与关系二阶振荡的对数相频特性曲线

ω/ωn二阶振荡的对数相频特性曲线

相频特性与关系ω/ωn振荡环节L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]振荡环节再分析0dBL(ω)dBω20lgkωnωr(0＜ξ＜0.707)[-40]0＜ξ＜0.5ξ=0.50.5＜ξ＜1友情提醒:φ(ωn)=-90o?2nn22nS2Sk(s)Gw+xw+w=ω=

r7.二阶微分环节频率特性

幅频特性为二阶微分环节频率特性图相频特性为二阶微分环节的对数频率特性图对数幅频特性为二阶微分环节渐近线的转折频率为近似思想同前j01幅相曲线对数幅频渐近曲线0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ξ<0.707时有峰值(min)：二阶微分环节的对数相频特性图二阶微分环节相角单调上升，从00至+1800。8.迟后环节迟后环节的频率特性为幅频特性和相频特性为奈氏图是一个以坐标原点为中心,半径为1的圆。迟后环节的奈氏图对数幅频特性和相频特性为

迟后环节的Bode图5.3控制系统开环频率特性曲线的绘制1开环频率特性奈氏图的绘制只需绘出奈氏图的大致形状和几个关键点的准确位置。先分解成典型环节，典型环节幅相特性曲线是概略绘制开环幅相特性曲线的基础。(4)如果有必要,可求奈氏图与虚轴的交点。可利用G(jω)的实部Re［G(jω)］=0的关系式求出；也可利用∠G(jω)=n·90°(其中n为正整数)求出。(1)开环幅相曲线的起点(ω=0+)和终点(ω=∞)。(2)求奈氏图与实轴的交点。可利用G(jω)的虚部Im［G(jω)］=0的关系式求出也可利用∠G(jω)=n·180°(其中n为整数)求出;(3)变化范围。象限，单调性。三个关键因素：0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]例题1：绘制

的幅相曲线。解：求交点：

第二，三象限开环幅相曲线的绘制令.064,056,0)]j(GRe[222=+w=w+w-=w无实数解，与虚轴无交点2开环频率特性伯德图的绘制控制系统一般总是由若干环节组成的,设其开环传递函数为G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)系统的开环频率特性为或则系统的开环对数频率特性为系统的开环传递函数做典型环节分解可先作典型环节的对数频率特性曲线采用叠加方法即可方便地绘制系统开环对数频率特性曲线。其中,Li(ω)=20lgAi(ω),(i=1,2,…,n)。典型环节分三部分：比例、积分、微分环节：记ωmin为最小交接频率，称ω<ωmin为低频段。一阶环节：惯性和一阶微分环节，交接频率为1/T1/(Ts+1)和Ts+1二阶环节：振荡环节和二阶微分环节,交接频率为ωn1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]和(s/ωn)2+2ζs/ωn+1(2)（1

，20lgK）在ω＝1处的对数幅值为20lgK(若ωmin<1，则（1，20lgK）在低频段延长线)

。低频段的斜率为－20νdB/dec。ν为开环系统中所包含的串联积分环节的数目。系统开环对数幅频特性有如下特点:确定低频段上一点(三种方法)：(1)（ωo

，20lgK-20νlgωo）在ω<ωmin范围内，任取一点ω0，计算La(ωo)=20lgK-20νlgωo(3)(K1/ν,0)取La(ωo)=0，则有若ωo<ωmin，则该点在低频段延长线2.ω>ωmin频段处在典型环节的交接频率处，对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化，变化的情况取决于对应的典型环节的类型。遇到一阶惯性环节1/(Ts+1),交接频率处斜率改变+20dB/dec;遇二阶振荡环节1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1],在交接频率处斜率改变+40dB/dec。遇到一阶微分环节Ts+1,交接频率处斜率改变-20dB/dec;遇二阶微分环节(s/ωn)2+2ζs/ωn+1,在交接频率处斜率改变—40dB/dec。绘制对数幅频特性的步骤:(1)将开环频率特性分解,写成典型环节相乘的形式;

(2)求出各典型环节的交接频率,将其从小到大排列为ω1,ω2,ω3,…并标注在ω轴上;(3)绘制低频渐近线(ω<ωmin),这是一条斜率为-20νdB/dec的直线,它或它的延长线应通过(1,20lgK)点;(4)绘制ω≥ωmin频段渐近线，随着ω的增加,每遇到一个典型环节的交接频率,就按上述方法改变一次斜率;积分1/s和微分s的对数坐标图ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec(o)90-9000.1110ω0020lgK

(dB)(o)ωω111010比例环节k的对数频率特性曲线ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T惯性环节1/(1+Ts)和一阶微分环节1+Ts的对数坐标图

(o)90-9000.1110ω10110振荡环节和二阶微分环节的对数坐标图ω/ωn

0.1(dB)1040-2040dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω/ωn

20绘制L(ω)例题100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]绘制的L(ω)曲线低频段：时为38db时为52db转折频率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得,也可以利用相频特性函数φ(ω)直接计算。绘制对数相频特性的步骤:5.4频域稳定性判据奈奎斯特稳定判据（奈氏判据）对数频率稳定判据利用系统的开环奈氏曲线判断闭环系统稳定性，称为奈氏判据。不仅能判断闭环系统的绝对稳定性而且能够指出闭环系统的相对稳定性还能确定系统有多少个不稳定的根。5.4.1幅角原理设有一复变函数为s为复变量,以s＝σ+jω表示。F(s)为复变函数,记F(s)＝U+jV。奈氏判据的推导幅角原理设s平面上的封闭曲线包围了复变函数F(s)的P个极点和Z个零点,并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点,则当复变量s沿封闭曲线顺时针方向移动时,在F(s)平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点P-Z周。s平面与F(s)平面的映射关系如果在s平面画一条封闭曲线,并使其不通过F(s)的任一零点和极点,则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。幅角原理的推导

若在s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的,则在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的,也可能是逆时针的,这取决于F(s)函数的特性。我们感兴趣的不是映射曲线的形状,而是它包围坐标原点的次数和运动方向,因为这两者与系统的稳定性密切相关。封闭曲线包围z1时的映射情况当s沿着s平面上的封闭曲线围绕z1顺时针方向移动一周时,F(s)平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周。复变函数F(s)的相角可表示为当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时,向量(s－z1)的相角变化-2π弧度（逆时针旋转为正）,而其他各相量的相角变化为零。向量F(s)的相角变化了-2π弧度，这意味着在F(s)平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周。若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点,则在F(s)平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周。

用类似分析方法可以推论,若s平面上的封闭曲线包围了F(s)的P个极点,则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋转P周。综上所述,可以证明幅角原理。5.4.2奈氏稳定性判据已知G(jω)H(jω)，如何判断系统稳定性？设系统的开环传递函数为m≤n

此系统的闭环特征方程为复变函数F(s)的零点为系统特征方程的根(闭环极点)s1、s2、…、sn,而F(s)的极点则为系统的开环极点p1、p2、…、pn。

闭环系统稳定的充分和必要条件是：特征方程的根,即F(s)的零点,都位于s平面的左半部。

为了判断闭环系统的稳定性,需要检验F(s)是否有位于s平面右半部和虚轴上的零点。1.假设F(s)有位于虚轴（包括坐标原点）上的零点

若F(s)在s平面的虚轴（包括坐标原点）上有零点，表明闭环系统有极点在s平面的虚轴（包括坐标原点）上，则闭环系统处于临界稳定，开环频率特性G(jω)H(jω)正好通过（-1，j0）点。2.假设F(s)无位于虚轴（包括坐标原点）上的零点

a.假设G(s)H(s)在坐标原点和虚轴无极点(即F(s)没有位于坐标原点和虚轴上的极点)。考察F(s)是否在s平面右半部有零点？奈氏回线：包围整个s平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线。该线不经过F(s)的零点和极点。奈氏回线若G(s)H(s)在坐标原点和虚轴无极点时，奈氏回线由两部分组成：1.沿着虚轴由下向上移动的直线段C1,s＝jω,ω由－∞变到＋∞；2.半径为无穷大的半圆C2。该封闭曲线肯定包围了F(s)的位于s平面右半部的所有零点和极点。

设复变函数F(s)在s平面的右半部有Z个零点和P个极点。根据幅角原理：当s沿着s平面上的奈氏回线顺时针移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线CF=1＋G(s)H(s)将按逆时针方向围绕坐标原点旋转N=P－Z周。

奈奎斯特稳定判据如果在s平面上,s沿着奈氏回线顺时针方向移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线CF围绕坐标原点按逆时针方向旋转N=P周,则系统是稳定的。

映射曲线CF和CGH之间的关系？闭环系统稳定的充要条件：F(s)在s平面右半部无零点,即Z＝0。可得以下稳定判据：

G(s)H(s)=F(s)-1jV(－1，j0)F(s)平面0CFUjVG(s)H(s)平面(－1,j0)0CGHUF(s)的映射曲线CF围绕原点运动的情况,相当于G(s)H(s)的封闭曲线CGH围绕着(－1,j0)点的运动情况。

绘制映射曲线CGH的方法是:令s＝jω代入G(s)H(s),得到开环频率特性G(jω)H(jω),按前面介绍的方法画出奈氏图（即虚轴正半轴）。再画出其对称于实轴、ω从0变到－∞的那部分曲线（即虚轴负半轴）。映射曲线上对应于半径为无穷大的半圆C2的部分（）。由于在实际物理系统中m≤n。当n＞m时，G(jω)H(jω)→0n＝m时，G(jω)H(jω)→实常数因此,C2映射在GH平面上为一个点。奈氏判据:假设F(s)没有位于坐标原点和虚轴上的零点和极点时，闭环控制系统稳定的充分和必要条件是,当ω从－∞变化到＋∞时,系统的开环频率特性G(jω)H(jω)按逆时针方向包围(－1,j0)点P周,P为位于s平面右半部的开环极点数目。

若开环系统稳定,即位于s平面右半部的开环极点数P＝0,则闭环系统稳定的充要条件是:系统的开环频率特性G(jω)H(jω)不包围(－1,j0)点。例5-1已知开环传递函数为试绘制(1)K=5,(2)K=15时的奈氏图,并判断系统的稳定性。

解(1)当K=5时,开环幅频特性和相频特性分别为ω=0+时,A(ω)=5,φ(ω)=0°;ω=+∞时,A(ω)=0,φ(ω)=-270°与实轴的交点在(－0.439,j0)点。因为s平面右半部的开环极点数P＝0,且奈氏曲线不包围(－1,j0)点,即N=0,则Z＝P－N=0,所以系统稳定。(2)当K=15时,奈氏图形状与(1)相同,只是以坐标原点为中心,向外“膨胀”而已。“膨胀”的倍数为15/5=3,故与实轴的交点的横坐标在(－1.317，j0),即交点在(－1,j0)点的左侧。因为s平面右半部的开环极点数P＝0,且奈氏曲线顺时针包围(－1,j0)点2次,即N=－2,则Z＝P－N=2,所以系统不稳定,有两个闭环极点在s平面右半部。

例5-9的奈氏图MATLAB绘制例5-9的奈氏图应用奈氏判据的步骤：绘制开环频率特性G(jω)H(jω)的奈氏图，可以先绘出对应ω从0变到+∞;计算奈氏曲线G(jω)H(jω)对(-1,j0)逆时针包围的次数N。由给定的开环传递函数G(s)H(s)确定位于s平面右半部分的开环极点数P。应用奈氏判据判别系统的稳定性。b.若G(s)H(s)虚轴(包括坐标原点)上有开环极点，即F(s)在虚轴(包括坐标原点)上有极点。考察F(s)是否在s平面右半部有零点？G(s)H(s)在虚轴上有极点的情况，通常系统中有串联积分环节,即在s平面的坐标原点有极点。

！！！这时不能直接应用前面的奈氏回线,因为幅角原理要求此奈氏回线不经过F(s)的极点。虚轴上有极点的奈氏回线奈氏回线：经过以坐标原点为圆心,以无穷小量ε为半径的,在s平面右半部的小半圆。奈氏绕过了开环极点所在的原点，包围了F(s)位于s平面右半部所有的零点和极点。虚轴上有极点的奈氏回线该奈氏回线包括3部分：1.沿着虚轴由下向上移动的直线段C1,在此线段上s＝jω,ω由－∞变到0-和0+变到＋∞；2.半径为无穷大的半圆C23.半径为无穷小量ε的小半圆C3当s沿着上述小半圆C3移动时,有当ω从0-沿小半圆变到0+时,s按逆时针方向旋转了180°,G(s)H(s)在其平面上的映射为ν为系统中串联的积分环节数目。由以上分析可见,当s沿着小半圆从ω=0-变化到ω=0+时,θ角从－90°经0°变化到＋90°,这时在G(s)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从90ν°经过0°转到－90ν°，即从G(j0-)H(j0-)点顺时针旋转180ν°至G(j0+)H(j0+)点。判别稳定性的方法不变，当ω从－∞变化到＋∞时,系统的开环频率特性G(jω)H(jω)按逆时针方向包围(－1,j0)点P周,P为位于s平面右半部的开环极点数目。

开环系统含有等幅振荡环节时，奈氏回线如图。当s沿着上述小半圆移动时,有当ω从ωn-沿小半圆变到ωn+时,s按逆时针方向旋转了180°,G(s)H(s)在其平面上的映射为由以上分析可见,当s沿着小半圆从ω=ωn-变化到ω=ωn+时,θ角从∠G1(jωn)变化到∠G1(jωn)+180ν°,这时在G(s)H(s)平面上的映射曲线将从G(jωn-)H(jωn-)点顺时针旋转180ν°至G(jωn+)H(jωn+)点。判别稳定性的方法不变，当ω从－∞变化到＋∞时,系统的开环频率特性G(jω)H(jω)按逆时针方向包围(－1,j0)点P周,P为位于s平面右半部的开环极点数目。

例5-10绘制开环传递函数为的奈氏图,并判断系统的稳定性。解开环幅频特性和相频特性分别为ω=0+时,A(ω)=∞,φ(ω)=-90°ω=+∞时,A(ω)=0,φ(ω)=-270°由φ(ω)=－180°得即上式两边取正切,得0.5ω=1/ω,即ω=1.414,此时A(ω)=1.67。因此奈氏图与实轴的交点为(－1.67,j0)。系统开环传递函数在s平面的原点处有一极点,因此奈氏回线中半径为无穷小量ε的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为∞的圆弧:奈氏回线ω:0-→0+;θ:－90°→0°→＋90°;映射曲线相角φ(ω):＋90°→0°→－90°

s平面右半部的开环极点数P＝0,奈氏曲线顺时针包围(－1,j0)点2次,即N=－2,则Z＝P－N=2,所以系统不稳定,有两个闭环极点在s平面右半部。图例5-10的奈氏图图5-41MATLAB绘制例5-10的奈氏图例5-11绘制开环传递函数为的奈氏图,并判断系统的稳定性。

解开环幅频特性和相频特性分别为ω=0+时,A(ω)=∞,φ(ω)=-180°;ω=+∞时,A(ω)=0,φ(ω)=-360°系统开环传递函数有2个极点在s平面的原点处,因此奈氏回线中半径为无穷小量ε的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧:ω:0-→0+;θ:－90°→0°→＋90°;φ(ω):＋180°→0°→－180°s平面右半部的开环极点数P＝0,且奈氏曲线顺时针包围(－1,j0)点2次,即N=－2,则Z＝P－N=2,所以系统不稳定,有两个闭环极点在s平面右半部。图5-42例5-11的奈氏图图5-43MATLAB绘制例5-11的奈氏图一种更简便的奈氏判据通常，只画出的开环奈氏图，可研究半闭合曲线G(jω)H(jω)（）的正负穿越情况。要研究：频率特性曲线G(jω)H(jω)对(-1,j0)点的包围情况。当ω

增加时，半闭合曲线从上半s平面穿过(-1,j0)点左侧到下半s平面，称为正穿越（这时随着ω

的增加，频率特性的相角是增加的）；意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越（这时随着ω的增加，频率特性的相角是减少的），意味着顺时针包围(-1,j0)点。当半闭合曲线起始于（或终止于）(-1,j0)点左侧的负实轴，则记为半次穿越，半次穿越次数记为1/2。N+：正穿越和正半次穿越之和N-：负穿越和负半次穿越之和正穿越负穿越系统的开环频率特性G(jω)H(jω)（ω：－∞→＋∞）按逆时针方向包围(－1,j0)点次数：不包围(-1,j0)点0型系统包围(-1,j0)点，Ⅰ型系统和Ⅱ型系统对数频率稳定判据——利用Bode图判断闭环稳定性奈氏判据的另一种形式系统开环频率特性的奈氏图和伯德图之间有如下对应关系:对数幅频特性的0分贝线奈氏图伯德图相频特性(2k+1)π(k为整数)线以原点为圆心的单位圆负实轴

奈氏图穿越(-1,j0)左侧的点等价于半对数坐标下，对数幅频L(ω)>0时，对数相频特性曲线与(2k+1)π(k为整数)线的交点。的确定开环系统无虚轴上极点时，等于φ(ω)曲线。开环系统存在ν个积分环节时，需要从对数相频特性曲线ω较小，且L(ω)>0的点向上补做ν×90o的虚直线。开环系统存在ν个等幅振荡(ωn)环节时，需要从对数相频特性曲线φ(ωn-)点向上补做ν×180o的虚直线至φ(ωn+)

。对照图如下：正穿越负穿越正穿越负穿越相角方向为正伯德图上,当L(ω)>0时，从(2k+1)π线以下增加到(2k+1)π线以上,称为正穿越;反之,称为负穿越。补作的虚直线所产生的穿越皆为负穿越。（一般为半次负穿越）

对数频率稳定判据可表述如下:闭环系统稳定的充分必要条件是,φ(ωc)≠(2k+1)π，当ω由0变到∞时,在开环对数幅频特性L(ω)>0的频段内,相频特性

穿越(2k+1)π线的次数(N+-N-)为P/2。P为s平面右半部开环极点数目。注意,奈氏判据中,s沿着奈氏回线顺时针方向移动一周,故ω由－∞变到∞,所以伯德图中ω由0变到∞时,穿越次数为P/2,而不是P。对于开环稳定的系统,此时，P=0，若在L(ω)>0的频段内，相频特性φ(ω)穿越(2k+1)π线的次数为0,则闭环系统稳定;否则闭环系统不稳定。5-5稳定裕度的定义若z=p-N中p=0,则G(jω)过(-1,j0)点时，系统临界稳定，见下图：G(jω)曲线过(-1,j0)点时，G(jω)=1同时成立！特点：∠

G(jω)

=-180o0j1-1G(jω)j01ωcωxγG(jω)G(jωx)∠G(jωc)∠G(jωc)–γ=–180oG(jωx)h=1幅值裕度h=G(jωx)1相角裕度=180o+∠G(jωc)γ稳定裕度的定义续1-10dB-180ocωxωcx∠

G(jωc)20lgγγ=180o+∠

G(jωc)相角裕度:幅值裕度:hdB=－20lg稳定裕度的定义续2注意：该方法适用于奈氏曲线与单位圆或负实轴至多有一个交点，且是最小相位系统。应该同时给出相角裕度和增益裕度，才能确定系统的相对稳定性。一般相角裕度在30o～60o，增益裕度大于6dB，可以获得满意的动态性能。5-6闭环系统的频域性能指标1.由开环频率特性估计闭环频率特性若系统其开环频率特性为G(jω)H(jω),而闭环频率特性则为通常H(s)为常数，因此,已知开环频率特性,就可以求出系统的闭环频率特性,也就可以绘出闭环频率特性曲线。设系统为单位反馈,即H(jω)=1,则一般实际系统的开环频率特性具有低通滤波的性质。所以低频时|G(jω)|>>1,则高频时|G(jω)|<<1,则闭环幅频特性例单位反馈系统开环传递函数为而闭环传递函数为用MATLAB绘制其闭环频率特性的伯德图如图所示，其程序如下：g1=tf(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));g2=tf(［1］,［1］)sys=feedback(g1,g2)margin(sys)图5-50MATLAB绘制的闭环频率特性伯德图2闭环系统频域性能指标闭环系统频域性能指标

截止频率(带宽频率)ωb是指对数幅频特性的幅值下降零频率值以下3dB时对应的频率。

带宽BW是指0~ωb的频率范围。

闭环系统对于高于截止频率的信号分量，呈现较大衰减。带宽与响应速度的关系若两个控制系统闭环传递函数：则其对数幅频特性曲线形状相同，Φ2(jω)的图形横向扩展λ倍即可得到Φ1(jω)有：当