第九章矩阵的特征值与特征向量数值

第九章矩阵的特征值与特征向量

/*Eigen-valuesandEigen-vectorsofmatrix*/

待求解的问题：矩阵的特征值和特征向量x

0，满足:Ax=xor(I-A)x=0Eigen-valueEigen-vector工程技术中的许多问题例如电磁振荡、桥梁振动、机械振动等，都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题----代数计算中的重要课题。②特征向量:已知A的特征值，求齐次线性方程组

的非零解x,（,所以有非零解。）为A对应于的特征向量。

如何求解?特征值：已知A=(aij)nn，求A的特征多项式的根有n个零点（实或复，计重数）：即求解代数方程从理论上讲，可利用代数方程求根求出特征值，再利用线性方程组的解法，求出特征向量。

缺点：工作量大且特征向量对矩阵的依赖很高；当矩阵阶数较高时，高次代数方程求根的计算稳定性较差。另外，实际问题中的具体要求不同，有时只要求A的绝对值最大的特征值（主特征值）及相应的特征向量；有时又要求全部的特征值及特征向量。根据这两种不同要求，求矩阵的特征值与特征向量的方法也大致分为两类：迭代法（幂法反幂法）、变换法。关于矩阵特征值及特征向量的一些结论：

Th1.（i=1,…,n）为A的特征值，则有1.2.det(A)=Th2、AB(相似)，即存在可逆阵T，使B=T-1AT,则

1.A与B有相同的特征值。

2.设x是B的关于的特征向量,则Tx是A的关于

的特征向量。Th3、（Gershgorin’s定理,圆盘定理）：A=(aij),则A的每个特征值必在下述某个园盘中：

A的每行元素确定一个圆盘，共n个。Th3表明A的任一特征值必在这n个圆盘中的某一个内。证明：设为A的任一特征值，x0为对应特征向量，则有(I-A)x=0,设|xi|=max|xj|,显然xi0,第i个方程：Th3的证明过程表明A的任一特征值必在其对应特征向量模最大的分量的指标所对应的圆盘中。

称为A对应于向量x的Rayleigh商。

Def1.Ann

—实对称阵，0xRn,Th4.Ann

—实对称阵，其特征值依次排序为,对应特征向量组成规范正交系，即，则1.0xRn,2.3.Proof.0xRn,formsanorthogonalbasisofRn,soitispossibletowritexaswherenotallcouldbezero.Thuswehave====2.From1weknow

soweonlyneedtoprovethereexistsan

x0suchthat

Takingx=x1,weget3.Proofissimilarto2.§1幂法与反幂法（按模最大与最小特征值的求法）

幂法：求模最大的特征值—主特征值及相应特征向量的迭代法。用A的乘幂构造迭代序列，因此称为幂法。

条件：ARnn具有线性初等因子

A有n个线性无关的特征向量。

优点：简单，适合稀疏矩阵。

缺点：有时收敛速度很慢。Algorithm1.supposeAhaseigen-values(Thisimpliesisasinglerealrootofthecharacteristicpolynomial;else)，andnindependenteigen-vectors.Takeaninitialvectorstarttheiterationsystem

ConvergenceanalysisofAlgorithm1....

isaneigen-vectorofA,and

isalsoaneigen-vectorcorrespondingtoofA.ThesameisEigen-vectorEigenvalue1Th5.ARnn有n个线性无关特征向量主特征值1满足则做迭代有Principaleigenvalue1summaryiterationsystemeigen-vectorcorrespondingto1收敛速度：主要由来确定，r越小，收敛越快。时收敛可能很慢。2.若有，说明10，

以及都不能作为近似特征向量，需要重新取初始向量再迭代。3.用幂法进行计算时，若

在计算机中会产生“溢出”或“机器零”的情况（超过计算机字长所能表示的精度）noteAlgorithm2(improvementofA.1).ConvergenceanalysisofA.2.Max(x)取出向量x中模最大的分量对应1的特征向量x1的规范化向量Th6.ARnn有n个线性无关特征向量主特征值1满足则做迭代有§2雅可比法的基本思想（教材中例子）设法用一系列简单的正交阵Rk,逐步地将A

化为近似对角阵(非对角元近似化为0)。即选择Rk,令A的全部特征值问题的关键：如何构造正交阵Rk？

平面旋转变换§3初等反射阵Def方阵B若满足：当i>j+1时，bij=0,则称B为上Hessenberg阵(或准上三角阵)，即i=j+1i>j+1理论基础：A是n阶实矩阵，存在正交阵P，s.t.是1阶或2阶方阵。若Aii是1阶的，则它是A的一个实特征值；若Aii是2阶的，则它的两个特征值是A的一对共轭复特征值。定理说明：用正交阵相似变换可将一般实矩阵约化为上Hessenberg阵，将实对称阵约化为对称三对角阵。正交相似变换不改变特征值和特征向量，因此求原矩阵的特征值问题就转化为求上Hessenberg阵或对称三对角阵的特征值问题。问题的关键：如何将一般实矩阵正交约化为上Hessenberg阵，将实对称阵约化为对称三对角阵？初等反射阵§