第五章相对论

第２篇机械振动机械波机械振动机械波第5章机械振动§5.1简谐运动的动力学特征§

5.2简谐运动的旋转矢量表示法§

5.3单摆§5.4简谐运动的能量§5.5简谐运动的合成§5.6阻尼振动受迫振动共振教学基本要求一掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系二掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析.

三掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义.四理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点.五了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律.机械振动、电磁振荡机械波、电磁波德布罗意波——几率波振动学是波动学的基础波动——振动的传播

振动——波动的成因振动和波动的关系第5章机械振动振动：任一物理量在某一定值附近往复变化机械振动

物体围绕一固定位置往复运动可分为直线、平面和空间振动.简谐运动

最简单、最基本的振动.简谐运动复杂振动合成分解§5.1简谐运动的动力学特征弹簧振子——理想模型5.1.1简谐运动的特征及其运动方程积分常数，根据初始条件确定动力学分析受力分析令可得（动力学方程）解方程得简谐运动的动力学微分方程微分方程的解：——振动表达式(简谐运动位移)

任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足简谐运动的微分方程，或遵从余弦(或正弦)规律，则广义地说，这一物理量在作简谐运动。简谐运动的运动学方程谐振动方程1、运动方程2、速度方程3、加速度方程图图图取5.1.2简谐运动方程中的三个基本物理量1.角频率:2秒内往复振动的次数；单位：弧度/秒（rad/s)

T:周期：往复振动一次的时间ν：频率：位时间内往复振动的次数；单位：赫兹（Hz）（1/s）仅依赖于系统本身的性质，与初始条件无关。e.g.弹簧振子：单摆：２.振幅A:描述物体振动强弱的物理量离开平衡位置的最大位移；国际单位：mA与振动的能量有关。e.g.弹簧振子：３.初相位、相位和相位差存在一一对应的关系;例：当时：当时：1

）相位（描述振动状态的物理量）2）相位在内变化，质点无相同的运动状态；相差为整数

质点运动状态全同.（周期性）3）初相位

描述质点初始时刻的运动状态.由初始条件决定(取或)振幅：初相位：４.振幅和初相位的求法设t=0时不是唯一的与坐标正向有关，需要具体分析。（为什么不取π

？)例1:一轻弹簧，一端固定，另一端连接一定质量的物体。整个系统位于水平面内，系统的角频率为6.0s-1。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，试求：(1)简谐运动表达式；(2)物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。解：(1)(2)由(1)中结果依题意，v＜0旋转矢量的模即为简谐运动的振幅。旋转矢量

的角速度即为振动的角频率。旋转矢量

与x轴的夹角(t+)为简谐运动的相位。t=0时，与x轴的夹角即为简谐振动的初相位。§

5.2简谐运动的旋转矢量表示法5.2.1旋转矢量表示法周期：旋转矢量

旋转一周，P点完成一次全振动。结论：投影点的运动为简谐运动。绕O点以角速度逆时针旋转的矢量,在x轴上的投影正好描述了一个简谐振动。2.旋转矢量图OX旋转矢量长度＝振幅A角速度＝角频率初始角＝初相φ5.2.2旋转矢量图的应用１.求初相位向x轴负向运动。向x轴正向运动。２.用旋转矢量图比较各振动之间的相位关系(1)相位差当二个振动的频率相同时，相位差为xA3.用旋转矢量图画简谐运动的图(1)振动表达式；(2)t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。例2一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,位移为6cm，且向x轴正方向运动。求:解：A=12cm，T=2s，x0=6cm且v0＞0(1)xt=0时，x0=0.06m,6cmv0>0(2)(3)模振幅A角速度角频率旋转周期振动周期T=2/上的投影在oxAr上的投影端点速度在oxAr上的投影端点加速度在oxAr位移速度加速度x=Acos(t+0)v=-

Asin(t+0)a=-

2Acos(t+0)旋转矢量简谐振动符号或表达式初相

0t=0时，与ox夹角相位t+

0t时刻，与ox夹角旋转矢量

与谐振动的对应关系旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量便于解题,特别是确定初相位便于振动合成由x、v

的符号确定

所在的象限：

例3如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.

（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.

（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；0.05解（1）由旋转矢量图可知解

由旋转矢量图可知（负号表示速度沿轴负方向）

（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；解（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.因为，由旋转矢量图可知

例4一质量为的物体作简谐运动，其振幅为，周期为，起始时刻物体在处，向轴负方向运动（如图）.试求

（1）时，物体所处的位置和所受的力；解代入代入上式得（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.解法一

设由起始位置运动到处所需要的最短时间为解法二起始时刻时刻§

5.3单摆Ol

mgT小球受力矩：根据转动定律化简得当θ很小时，结论：单摆的振动是简谐运动。θ为振动角位移，振幅为θ0单摆运动方程1、角频率周期与振动系统本身的物理性质有关2、振幅3、初相由初始条件确定复摆*转动正向（点为质心）力矩令简谐运动的描述和特征4）加速度与位移成正比而方向相反2）简谐运动的动力学描述3）简谐运动的运动学描述复摆弹簧振子单摆1）物体受线性回复力作用平衡位置§5.4简谐运动的能量以弹簧振子为例一、能量的时间函数由可得（振幅的动力学意义）线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒简谐运动能量图4T2T43T能量简谐运动能量曲线二、能量的位置函数简谐运动能量守恒，振幅不变讨论：1、振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。2、位移最大，势能最大，但动能最小。在振动曲线的峰值。位移为0，势能为0，但动能最大，在振动曲线的平衡位置。

例5质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？解（1）（2）（3）（4）时，由§5.5简谐运动的合成5.5.1两个同方向同频率简谐运动的合成设：某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其运动表达式分别表示为令：则，显然，两个同方向同频率的谐振动的合成仍为谐振动。其中，合振幅：合振动的初位相：旋转矢量法推导：x由几何关系：注意：φ的具体象限要根据φ1、φ2确定。讨论：合振动的加强和减弱讨论：合振动的加强和减弱1、位相差△j=j1

-j2

=2kπk=0，±1，±2，±3，……合振幅加强：2、位相差△j=j1-j2=(2k+1)πk=0，±1，±2，±3，……合振幅减弱：3.一般情况例6:两个同方向的简谐运动曲线(如图所示)

(1)求合振动的振幅。(2)求合振动的振动方程。xTt解:(1)

t=0时，＞0＜0故，互为反相，

合振幅最小(2)t=0时的旋转矢量图：x例7:两个同方向，同频率的简谐运动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的相位差为。若第一个振动的振幅为。则(1)第二个振动的振幅为多少？(2)两简谐运动的相位差为多少？解：(1)依题意根据余弦定理(2)根据正弦定理5.5.2同方向不同频率简谐运动的合成拍旋转矢量：相对于的转动角速度为平行四边形形状变化，的大小也在变化，合运动非简谐运动。设振幅随时间变化振动项当但彼此相差很小时，振幅随时间变化振动项当但彼此相差很小时，振幅随时间缓慢变化简谐因子快速变化第一项缓慢变化，第二项快速变化“拍(beat)”——调制频率——载频O合振动出现一次最强拍的周期：拍的频率(简称拍频)：5.5.3相互垂直的简谐运动的合成1.相互垂直的同频率简谐运动的合成讨论：1、质点运动轨迹为直线2、质点运动轨迹为正椭圆结论：

两相互垂直同频率简谐运动的合成，其振动轨迹为一椭圆(又称“椭圆运动”)。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。2.相互垂直的不同频率简谐运动的合成两个互相垂直、不同频率的简谐运动的合成时，如果它们的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做李萨如(J.A.Lissajous)图。在李萨如图形中：曲线与平行于x轴的直线的切点数曲线与平行于y轴的直线的切点数=两简谐运动的频率比

其中频率为1:1的利萨如图为椭圆，在一定的相位差条件下，退化为一直线。振动系统在回复力和阻尼力共同作用下发生的减幅振动称为阻尼振动(dampedvibration)。在物体速度较小时，阻尼力的大小与速率成正比，方向与速度相反。为阻尼系数Oxx根据牛顿第二定律，

称为阻尼(damping)因子动力学方程：微分方程的特征方程为：讨论:§5.6阻尼振动受迫振动共振5.6.1阻尼振动讨论1.小阻尼情况:阻力很小方程解：周期:结论：阻尼较小时，振动为减幅振动，振幅随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。2.过阻尼(overdamping)情况：阻力很大结论：阻尼较大时，振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。结论：此时为“临界阻尼”的情况。是质点不作往复运动的一个极限。3.临界阻尼(criticaldamping)情况方程解得：5.6.2受迫振动共振1.受迫振动