理论力学第四章

制作与设计山东大学工程力学系第一篇运动学返回总目录TheoreticalMechanics

第四章刚体的平面运动Planemotionofrigidbody

TheoreticalMechanics第四章刚体的平面运动返回首页§4.1刚体的平面运动概述和运动分解IntroductionandAnalysis

TheoreticalMechanics

平面运动

——刚体运动过程中，其上各点到某一固定平面的距离始终保持不变。四连杆机构4.1刚体的平面运动概述和运动分解返回首页刚体平面运动的运动特征TheoreticalMechanics

刚体平面运动的运动特征返回首页4.1刚体的平面运动概述和运动分解

TheoreticalMechanics返回首页任务：分析运动构件的运动规律、特性和计算连接传递关系刚体的运动在工程机械中广泛应用4.1刚体的平面运动概述和运动分解

TheoreticalMechanics由三种刚体运动组成的运动机械，在工程领域有广泛应用返回首页曲柄连杆机构刚体的运动在工程机械中广泛应用4.1刚体的平面运动概述和运动分解

ⅠⅡTheoreticalMechanics过刚体作平面Ⅱ平行平面ⅠA1MA2：做平动，垂直于平面ⅡM点可代表直线A1MA2上各点的运动返回首页SA1A2M平面Ⅱ与刚体相交截出一个平面图形S平面图形S始终保持在平面Ⅱ内运动平面图形S上作M点刚体平面运动模型－平面图形4.1刚体的平面运动概述和运动分解

TheoreticalMechanics结论：刚体的平面运动，可以简化为平面图形S在其自身所在的固定平面Ⅱ内的运动返回首页ⅠⅡSA1A2M刚体平面运动模型－平面图形4.1刚体的平面运动概述和运动分解

TheoreticalMechanics模型：平面图形上的任意直线的运动代表平面图形的运动。返回首页刚体平面运动自由度与广义坐标MO'平面图形在静坐标系Oxy内运动。为了确定图形在任意瞬时的位置，只须确定图形内任一条直线OM的位置。4.1刚体的平面运动概述和运动分解

返回首页TheoreticalMechanics平面运动刚体的自由度(DegreeofFreedom)

N＝3刚体平面运动自由度与广义坐标确定点O在平面内的位置；基点确定直线OM或平面图形在Oxy参考系中的位置，需要三个独立变量(、)。确定直线OM在平面内的位置。广义坐标

q=(

)4.1刚体的平面运动概述和运动分解

返回首页TheoreticalMechanics平面运动刚体的运动方程：当平面图形S运动时，基点的坐标和角坐标都是时间t的单值连续函数。或刚体平面运动的运动方程4.1刚体的平面运动概述和运动分解

返回首页TheoreticalMechanics结论：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平移和绕基点的转动。都随时间变化时，平面图形作平面运动。若为常量，平面图形S作平移；若为常量，即基点O的位置不动，平面图形S将绕通过基点O且与图形S的平面垂直的轴转动。刚体平面运动的运动方程4.1刚体的平面运动概述和运动分解

返回首页TheoreticalMechanics平面运动的合成与分解平移与转动合成刚体的平面运动车轮的平面运动随同O的平移运动绕O1的转动+4.1刚体的平面运动概述和运动分解

返回首页TheoreticalMechanics刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法选择基点任意选择；在基点上建立平移系(特殊的动系)在刚体平面运动的过程中，平移系只发生平移;刚体平面运动(绝对运动)可以分解为跟随平移系的平移(牵连运动)，以及平面图形相对于平移系的转动(相对运动)。平面运动的合成与分解4.1刚体的平面运动概述和运动分解

返回首页TheoreticalMechanics随同基点平移的特点基点不同位移不同结论：选择不同基点，平面图形随同基点平移的速度和加速度不相同。平移和转动与基点之间的关系4.1刚体的平面运动概述和运动分解

返回首页TheoreticalMechanics绕基点转动的特点基点不同转角相同任意瞬时，平面图形绕其平面内任意基点转动的角速度与角加速度都相同。结论平移和转动与基点之间的关系4.1刚体的平面运动概述和运动分解

返回首页TheoreticalMechanics平移和转动与基点之间的关系4.1刚体的平面运动概述和运动分解

返回首页TheoreticalMechanics选择不同的基点，平面图形随同基点平移的速度和加速度不相同。相对基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无关。今后标注平面图形的角速度和角加速度时，只需注明它是哪个刚体的，不必注明它是相对于哪个基点。讨论4.1刚体的平面运动概述和运动分解

TheoreticalMechanics例题

已知：曲柄－滑块机构中OA=r

,AB=l;曲柄OA以等角速度

绕O轴转动。求：连杆的平面运动方程。返回首页OABPxy4.1刚体的平面运动概述和运动分解

返回首页TheoreticalMechanicsOABPxy解：确定连杆平面运动的三个独立变量与时间的关系例题连杆的平面运动方程为基点A转角xAyA4.1刚体的平面运动概述和运动分解由正弦定理

TheoreticalMechanics第四章刚体的平面运动返回首页§4.2求平面图形内各点速度的基点法(MethodofBasePoint)

返回首页TheoreticalMechanicsy´x´ABvBAvBvBAyxO定系：Oxy基点：A平移系：Ax´y´平面图形：S平面图形的角速度：

S基点速度：

vA速度合成定理：va=ve+vrvAvAva=vBB点速度：

vBve=vAvr=vBAvB=vA+vBA4.2.1基点法4.2求平面图形内各点速度的基点法

返回首页TheoreticalMechanicsvr=vBAvB=vA+vBAy´x´ABvBvBAyxOSvAB点对于A点的相对速度方向与半径AB垂直，指向与角速度的转向一致

平面图形上任意点的速度，等于基点的速度与这一点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和，即4.2.1基点法4.2求平面图形内各点速度的基点法TheoreticalMechanics

4.2.2速度投影定理上式向O点和M点的连线上投影返回首页4.2求平面图形内各点速度的基点法TheoreticalMechanics

当已知平面图形内某点的速度大小、方向和另一点的速度方向，要求其大小时，应用速度投影定理就很方便。速度投影定理：平面图形内任意两点的速度在此两点连线上的投影相等4.2.2速度投影定理返回首页4.2求平面图形内各点速度的基点法

TheoreticalMechanics例题例曲柄连杆机构中，曲柄OA长r，连杆AB长l，曲柄以匀角速度转动，当OA与水平线的夹角

=45时，OA正好与AB垂直。BO45A求：1）滑块的速度vB。

2）连杆AB的角速度AB。

3）连杆AB中点C的速度。思路：1）分析运动。2）通过关连点寻找已知与未知的关系。3）通过定理解决问题。4.2求平面图形内各点速度的基点法

BO0A返回首页TheoreticalMechanics2）建立平移系Ax´y´解：1）选择基点：A(速度已知)

vA=r

x´y´3）将滑块沿铅垂方向的运动(绝对运动)分解为：跟随基点的平移－牵连运动；以O点为圆心、AB为半径的圆周运动－相对运动。vAvBAvB基点法vA例题4.2求平面图形内各点速度的基点法

返回首页TheoreticalMechanics解：4）应用速度合成定理

vB=vA+vBA由平行四边形得到：滑块的速度：BO0AvAvBAvBvA连杆的瞬时角速度例题4.2求平面图形内各点速度的基点法

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x轴：y轴：xyBO0AvAvBAvBvA或由代数方法，根据：例题4.2求平面图形内各点速度的基点法

返回首页TheoreticalMechanicsvCAvC再求连杆AB中点C的速度vC

仍选A为基点BO0AvAvBAvBvAvA例题C4.2求平面图形内各点速度的基点法

返回首页TheoreticalMechanics速度投影法BO0AvBvA例题

B点的速度方向已知，求B点的速度大小用速度投影定理4.2求平面图形内各点速度的基点法

返回首页TheoreticalMechanics例题4.2求平面图形内各点速度的基点法例如图所示四连杆机构中，已知曲柄AB长0.2m，转速n=50r/min，摆杆CD长为0.4m。试求时摆杆CD和杆BC的角速度。解：曲柄AB作定轴转动，B点的速度为连杆BC作平面运动，取B为基点，则C点的速度由公式可得

返回首页TheoreticalMechanics例题4.2求平面图形内各点速度的基点法方向垂直于CD杆。速度平行四边形，如图所示。由速度投影定理方向垂直于BC杆。由的指向可知，为逆时针转向。

返回首页TheoreticalMechanics例题4.2求平面图形内各点速度的基点法因为因此BC杆绕基点B转动，由指向可知是顺时针方向。

所以

TheoreticalMechanics例题4.2求平面图形内各点速度的基点法解：套筒AB作平面运动,其角速度与杆OC的角速度相同，即为。只要知道A点的速度，以A为基点即可求出B点的速度。取如图所示坐标系，A点的坐标为常量例如图所示机构中，摆杆OC在铅直面内绕O轴转动，其上套一可沿之滑动的套筒AB。在套筒AB上用铰链连接滑块A，滑块可沿铅直槽DE滑动。已知求当时，套筒上B点的速度。

返回首页TheoreticalMechanics例题4.2求平面图形内各点速度的基点法点A的速度为因其实也可用前面所学的点的复合运动来求出，所以当时

例题4.2求平面图形内各点速度的基点法根据公式而，作B点的速度平行四边形，如图所示。解得

TheoreticalMechanics第四章刚体的平面运动返回首页§4.3求平面图形内各点速度的瞬心法MethodofInstantaneousCenterTheoreticalMechanics

4.3求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.1瞬时速度中心4.3.2速度瞬心法

4.3.3确定速度瞬心位置的方法

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返回首页TheoreticalMechanics问题的提出由基点法基点是任意选择的，能否找到速度等于零的点？以此零点为基点，求平面图形上各点的速度就更简便了。4.3求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.1瞬时速度中心

S返回首页TheoreticalMechanicsAx´y´PvAvA过A点作vA的垂直线PA，PA上各点的速度由两部分组成：跟随基点平移的速度vA——牵连速度，各点相同；相对于平移系的速度vPA——相对速度，自A点起线性分布。4.3求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.1瞬时速度中心平面图形S，基点A，基点速度vA,平面图形角速度。

返回首页TheoreticalMechanicsvIA

I在直线PA上存在一点I，这一点的相对速度vIA与牵连速度vA矢量大小相等、方向相反。因此I点的绝对速度vI

＝0。I点称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心。Ax´y´SPvAvA4.3求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.1瞬时速度中心

返回首页TheoreticalMechanics速度瞬心的特点

1）瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心。

2）惟一性：某一瞬时只有一个速度瞬心。

3）瞬时转动特性：平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动.vIA

IAx´y´SPvAvA4.3求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.1瞬时速度中心

vI＝0返回首页TheoreticalMechanics根据速度合成定理，以I为基点平面图形上任意点(例如M点)为vM=vI+vMI速度瞬心法：应用瞬时速度中心以及平面图形在某一瞬时绕速度瞬心作瞬时转动的概念，确定平面图形上各点在这一瞬时速度的方法。方向如图示4.3求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.2速度瞬心法大小

返回首页TheoreticalMechanics在平面图形运动的某瞬时，以速度瞬心I为基点，图形上各点的速度等于相对瞬心转动的速度。在此瞬时，平面图形的运动就简化成为绕瞬心的转动。4.3求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.2速度瞬心法

返回首页TheoreticalMechanicsAvABvB90o90oI第一种情形已知平面图形上两点的速度矢量的方向，这两点的速度矢量方向互不平行。4.3.3确定速度瞬心位置的方法4.3求平面图形内各点速度的瞬心法

返回首页TheoreticalMechanicsSABI第二种情形

已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于两点的连线。vAvB90o90o你从这种情形可以得到什么结论？4.3.3确定速度瞬心位置的方法4.3求平面图形内各点速度的瞬心法

返回首页TheoreticalMechanicsSAB第三种情形

已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相反，但二者都垂直于两点的连线。vAvB这种情形下速度瞬心

I

在哪里？90o90oI4.3.3确定速度瞬心位置的方法4.3求平面图形内各点速度的瞬心法S

返回首页TheoreticalMechanicsAB第四种情形已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。vAvB这种情形下速度瞬心I

在哪里？90o90o这种情况称为瞬时平移4.3.3确定速度瞬心位置的方法4.3求平面图形内各点速度的瞬心法

返回首页TheoreticalMechanics如果平面图形沿某固定面只滚动而不滑动，如图。则图形与固定面的接触点就是瞬心I。确定速度瞬心位置的方法4.3.3确定速度瞬心位置的方法4.3求平面图形内各点速度的瞬心法

返回首页TheoreticalMechanics确定速度瞬心位置方法小结4.3.3确定速度瞬心位置的方法4.3求平面图形内各点速度的瞬心法

返回首页TheoreticalMechanics几点讨论每瞬时平面图形上都存在惟一的速度瞬心。它可位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分。瞬心只是瞬时不动。在不同的瞬时，图形具有不同的速度瞬心。即速度瞬心的速度等于零，加速度并不等于零。平面图形在其自身平面内的运动，也可以看成是绕一系列的速度瞬心的转动。4.3求平面图形内各点速度的瞬心法

返回首页TheoreticalMechanicsO例题DCBAvO

已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO。求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。4.3求平面图形内各点速度的瞬心法

ODCBAvO返回首页TheoreticalMechanics

I解：圆轮与地面接触点A，由于没有相对滑动，因而在这一瞬时，A点的速度vA＝0。A点即为速度瞬心I。假设这一瞬时的角速度为

。例题4.3求平面图形内各点速度的瞬心法由得到

返回首页TheoreticalMechanics例题4.3求平面图形内各点速度的瞬心法

返回首页TheoreticalMechanics例图示机构中，已知各杆长OA=20cm，AB=80cm，BD=60cm，O1D=40cm，角速度O=10rad/s。求机构在图示位置时，杆BD的角速度、杆O1D的角速度及杆BD的中点M的速度。解：研究AB杆，求vB由速度投影定理知

综合例题

返回首页TheoreticalMechanics由于

BD杆上的D点和瞬心重合，则取BD杆研究BD杆的速度瞬心为D综合例题

TheoreticalMechanics第四章刚体的平面运动§4.4平面图形内各点的加速度MethodforAnalysisofAccelerationofEachPointonPlanarFigure返回首页

返回首页TheoreticalMechanicsSA点的绝对运动轨迹B点的绝对运动轨迹BAy´x´aA1）选择加速度已知的点为基点。2）建立平移系。3）应用牵连运动为平移的加速度合成定理aa=ae+ar

。aB＝

aa

，ae＝aA

，ar＝aBA4.4平面图形内各点的加速度4.4.1基点法已知平面图形上一点(A)的加速度aA、图形的角速度与角加速度

，应用加速度合成定理，确定平面图形上任意点的加速度：SA点的绝对运动轨迹B点的绝对运动轨迹BAy´x´aA

BA返回首页TheoreticalMechanicsBAaAaAaBAanBAaBAaAaBAaBaB4.4平面图形内各点的加速度4.4.1基点法

返回首页TheoreticalMechanics平面图形上任意一点的加速度等于基点的加速度与这一点对于以基点为坐标原点的平移系的相对切向加速度和法向加速度的矢量和。4.4平面图形内各点的加速度4.4.1基点法

TheoreticalMechanics例题4.4平面图形内各点的加速度解：轮Ⅰ作平面运动，其轮心O的速度、加速度分别为例4.6在如图所示的行星齿轮机构中，系杆,以匀角速度绕固定轴转动，在系杆销O上装一可自由转动的齿轮Ⅰ，其节圆半径为r，并沿固定齿轮Ⅱ滚动而无滑动。求图示位置轮缘上A、B两点的加速度。A点在的延长线上，而B点在垂直于的半径上。

返回首页TheoreticalMechanics例题4.4平面图形内各点的加速度轮Ⅰ与轮Ⅱ的接触点是轮Ⅰ的瞬心，设轮Ⅰ角速度为，则A、B两点相对于基点O的法向加速度分别沿半径OA和OB指向轮心O，它们的大小为式中，为常量，因此也是常量，故轮Ⅰ的角加速度。取O为基点，于是有

返回首页TheoreticalMechanics例题4.4平面图形内各点的加速度如图所示，求得点A的加速度大小为它的方向沿OA并指向O点。点B的加速度大小为它与半径OB的夹角为

返回首页TheoreticalMechanics例题4.4平面图形内各点的加速度例4.7

如图所示的四连杆机构中，曲柄OA=O1B=r，连杆AB长为2r，曲柄OA以角速度逆时针转动，当OA与摆杆O1B垂直时，O在O1B的延长线上，且。试求该瞬时连杆AB的摆杆O1B的角加速度。解：连杆AB作平面运动，图示瞬时AB的瞬心在OA与O1B的交点上，恰与O点重合。于是杆AB的角速度为

返回首页TheoreticalMechanics例题4.4平面图形内各点的加速度B点是AB上的一点，其速度为而B点也是上的一点，所以杆的角速度为取A点作基点。B点的轨迹是以为半径的圆周。B点的加速度为

返回首页TheoreticalMechanics例题4.4平面图形内各点的加速度式中各分量情况列表说明如下：方向指向点铅直向下指向基点A大小？？在B点作加速度矢量图，其中指向未知的按图所示方向假设，应用矢量投影定理，将上式向x轴投影，得到得负值，说明相对切向加速度的方向与图示指向相反，AB杆的角加速度应为顺时针转向。

返回首页TheoreticalMechanics例题4.4平面图形内各点的加速度解得于是

返回首页TheoreticalMechanics例题4.4平面图形内各点的加速度为求杆的角加速度，将上式再向y轴投影，得到

解得于是式中，负号说明的指向与如图所示假设相反，所以杆的角加速度也应为顺时针转向。

O返回首页TheoreticalMechanics例题BAvOaO已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO、加速度为aO

。求：轮缘上A、B二点的加速度。4.4平面图形内各点的加速度

OBAvOaO返回首页TheoreticalMechanics解1：基点法的加速度分析：以O点为基点，建立平移系Ox´y´。轮缘上任意点的运动可以分解为：跟随基点O

的平移——牵连运动；相对于平移系Ox´y´绕O点的转动相对运动。例题4.4平面图形内各点的加速度x'y'建立转动角速度与轮心速度之间的关系

返回首页TheoreticalMechanics进而求得圆轮滚动时的角加速度例题4.4平面图形内各点的加速度OBAvOaOx'y'A点：OaO

atAOanAO基点OaA

返回首页TheoreticalMechanics解2

：加速度分析：B点：anBOatBO例题4.4平面图形内各点的加速度OBAvOaOx'y'OaO

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例曲柄OA=r，以角速度

绕定轴O转动。连杆