四年级杯赛备战讲义奥数最大公因数与最小公倍数

最大公因数与最小公倍数4「知识框架- >一、约数的概念与最大公约数(0被排除在约数与倍数之外).求最大公约数的方法(1)分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.例如：231=3x7x11，252=22x32x7，所以(231,252)=3x7=21；21812(2)短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如：3|96，所以(12,18)=2x3=6;32(3)辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数.(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的).例如，求600和1515的最大公约数：1515・600=2315;600+315=1285;315+285=130;285+30=915;30+15=20;所以1515和600的最大公约数是15. … ….最大公约数的性质…①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n..求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；-即为所求.二、倍数的概念与最小公倍数1.求最小公倍数的方法(1)分解质因数的方法；例如：231=3x7x11,252=22x32x7，所以[231,252]=2x32x7x11=2772;Page1of11

(2)短除法求最小公倍数；21812例如：3|96，所以118,12]=2x3x3x2=36;32(3)[a,b]=*.(a,b).最小公倍数的性质(1)两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.(2)两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.(3)两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数..求一组分数的最小公倍数方法步骤b154先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a;求出各个分数分母的最大公约数b;154即为所求.例如：[3,5]=[3,5]14]14]11,4]2,3]5=4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数例如:三、最大公约数与最小公倍数的常用性质.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果m为A、B的最大公约数，且A=ma,B=mb,那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：M|AB

a.bAxB=maxmb=mxmab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；(2)最大公约数是A、B、A+B、A-B及最小公倍数的约数..两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即(a,b)x[a,b]=axb，此性质比较简单，学生比较容易掌握。.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为(1)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍数(2)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：6x7x8=336，而6,7,8的最小公倍数为336+2=168性质(3)不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。Page2of11'•例题精讲【例1】写出72的所有因数，写出72的所有质因数。【巩固】写出48的所有因数，写出48的所有质因数。【例2】用短除法对90进行分解质因数。【巩固】用短除法对90进行分解质因数。【例3】求（28,36）和[28,36]【巩固】求（40,50）和[40,50]Page3of11【例4】 填空：（1）A、B都是自然数，如果A-B=5,A和B的最大公约数是（），最小公倍数是（）。（2）如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（）。TOC\o"1-5"\h\z（3）数a和数b是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（ ）倍。（4）A=2X3Xa,8=2义2义7,已知A、B的最大公约数是6,那么a=（ ）；A和B的最小公倍数是（ ）。（5）两个数的积是96,它们的最大公因数是4,则它们的最小公倍数是（ ）。【巩固】填空：（1）A、B都是自然数，如果A=6B,A和B的最大公约数是（），最小公倍数是（）。（2）如果a和b是互质数，那么它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（）。（3）数m和数n是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（ ）倍。（4）A=2X5Xa,8=2义2义7,已知A、B的最大公约数是14,那么a=（ ）；A和B的最小公倍数是（ ）。（5）两个数的积是104,它们的最大公因数是8,则它们的最小公倍数是（ ）。【例5】 三个连续自然数的和是30,这三个自然数分别是（ ），这三个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。【巩固】三个连续偶数的和是48,这三个偶数分别是（ ），这三个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。Page4of11【例6】两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?【巩固】两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?【例7】 两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少?【巩固】已知两个数的积是3072,最大公约数是16,求这两个数。【例8】用一个数去除30、60、75,都能整除，这个数最大是多少?Page5of11【巩固】用一个数去除20、30、45,都能整除，这个数最大是多少?【例9】 一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？【巩固】一个数用7、11、13除都能整除，这个数最小是多少?【例10】 一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。这袋糖至少有多少块？【巩固】学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少多少人？Page6of11【例11】有一个自然数，被10除余7,被7除余4,被4除余1。这个自然数最小是多少?【巩固】有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？【例12】 一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少?【巩固】一个数能被2、3、7整除，但被5除余2。这个数最小是多少?【例13】 一个长方体长27厘米、宽18厘米、高15厘米，要把它切成大小相等的正方体小块，要求正方体的棱长是整厘米数，那么这些小正方体的棱长最多是多少厘米？Page7of11【巩固】一个长方体长30厘米、宽20厘米、高15厘米，要把它切成大小相等的正方体小块，要求正方体的棱长是整厘米数，那么这些小正方体的棱长最多是多少厘米？【例14】一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？【巩固】用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？【例15] 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？【巩固】插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？Page8of11家庭作业【作业1】 写出60的所有因数，写出60的所有质因数【作业2】 用短除法对48进行分解质因数【作业3】求（60,72）和[60,72]【作业4】填空：（1）A、B都是自然数，如果A=8B，A和B的最大公约数是（），最小公倍数是（）。（2）如果a和b是互质数，那么它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（）。TOC\o"1-5"\h\z（3）数m和数n是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（ ）倍。（4）A=3X5Xa,B=2XaX7,已知A、B的最大公约数是14,那么a=（ ）；A和B的最小公倍数是（ ）。（5）两个数的积是60,它们的最大公因数是3,则它们的最小公倍数是（ ）。），这三个数的最【作业5】三个连续奇数的和是21,这三个奇数分别是（大公约数是（），最小公倍数是（）。），这三个数的最Page9of11【作业6】两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少?【作业7】 已知两个数的积是1014,最大公约数是13,求这两个数。【作业8】 用一个数去除40、50、60，都能整除，这个数最大是多少?【作业9】 一个数用8、10、16除都能整除，这个数最小是多少?【作业10】有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？【作业11】一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？Page10of11【作业12】一个数能被4、5、6整除，但被7除余5。这个数最小是多少?【作业13】有200块长6厘米、宽4