第7章均匀设计

第7章均匀设计基本原理一、引言正交试验设计利用：均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀

正交试验次数为q2当试验中因素数或水平数比较大时，正交试验的次数也会很大。如5因素5水平，用正交表需要安排52＝25次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用5次试验就可能得到能满足需要的结果1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50，显然正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成效均匀设计法与正交设计法的不同：均匀设计法不再考虑“数据整齐可比”性，只考虑试验点在试验范围内充分“均衡分散”均匀设计的概念均匀设计(UniformDesign)是一种试验设计方法(ExperimentalDesignMethod)。所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法，均匀设计也不例外，它是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。由于均匀设计不再考虑正交试验的整齐可比性，因此其试验结果的处理要采用回归分析方法—线性回归或多项式回归分析。回归分析中可对模型中因素进行回归显著性检验，根据因素偏回归平方和的大小确定该因素对回归的重要性；在各因素间无相关关系时，因素偏回归平方和的大小也体现了它对试验指标影响的重要性。这些一般都要借助计算机才能完成。华罗庚王元二、均匀设计表均匀设计表符号表示的意义U7(76)均匀表的代号试验次数因素的水平数因素数如U6(64)表示要做次6试验，每个因素有6个水平，该表有4列。

1234112362246533624441535531266541U6(64)列号试验号每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1，3两列来安排试验；若有三个因素，应选用1，2，3三列，…，最后1列D表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均匀度越好。s列

号

D213

0.18753123

0.2656412340.2990U6(64)的使用表均匀设计有其独特的布（试验）点方式：每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价例如用U6(64)的1，3和1，4列分别画图，得到下面的图(a)和图(b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。三、试验结果分析均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回归分析或逐步回归分析的方法：回归模型建立回归模型可分为线性回归模型和非线性模型等。1线性回归模型分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。(1)一元线性回归模型模型为y=a+bx,线性相关的程度常用相关系数来衡量，在某一显著性水平α下，当相关系数的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y有线性相关关系。线性回归模型(2)多元线性回归模型当影响因变量ｙ的自变量不止一个时，比如有ｍ个x1,…,xm这时ｙ和ｘ之间的线性回归方程为：y=a+b1x1+b2x2+,…,+bmxm,非线性回归模型如三因素时:当各因素与响应值关系是非线性关系时，或存在因素的交互作用时，可采用多项式回归分析的方法例如各因素与响应值均为二次关系时的回归方程为：回归模型建立回归模型的建立过程在很大程度上需要结合专业知识和经验。2应用举例利用均匀设计表来安排试验的步骤：（1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。（2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了我们通过制药工业中的一个实例,来看均匀设计表的使用方法。例1

:阿魏酸的制备

这就是说以阿魏酸的产量作为目标Y。

阿魏酸是某些药品的主要成分，在制备过程中，我们想增加其产量。全面交叉试验要N=73=343次,太多了。使用正交设计?建议使用均匀设计。有现成的均匀设计表，提供使用。

经过分析研究，挑选出因素和试验区域，为原料配比:1.0---3.4吡啶总量:10----28反应时间:0.5---3.5确定了每个因素相应的水平数为7。如何安排试验呢?第1步:将试验因素的水平列成下表：表1:第2步:选择相应的均匀设计表.每个均匀设计表有一个记号，它有如下的含义:Un(qs)均匀设计试验次数水平数因素的最大数例如:表2:表3:每个表还有一个使用表，将建议我们如何选择适当的列。其中‘偏差’为均匀性的度量值，数值小的设计表示均匀性好。例如

U7(74)的使用表为,表4:表2:第3步:

应用选择的

UD表,做出试验安排。1.将x1,x2和

x3放入列1,２和3.x1x2x3

2．用x1的７个水平替代第一列的1到7.1.01.41.82.22.63.03.43.对第二列，第三列做同样的替代.131.5193.0251.0102.5160.5222.0283.54.完成该设计对应的试验，得到７个结果，将其放入最后一列.表5:第4步:

用回归模型匹配数据首先，考虑线性回归模型:这个结果与人们的经验不符。使用回归分析中变量筛选的方法，得到推荐的模型为：然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：使用‘向前’的变量选择法，我们发现适宜的模型：26表6:

方差分析（ANOVA）表状态是正常的，所以模型(4)是可接受的。图1:模型中的三项，在5%的水平下是显著的。第5步:

优化--寻找最佳的因素水平组合表5的设计是73=343个全面试验的部分实施,其中最好的试验点是值为Y=48.2%的#7。它不一定是全局最好的。人们想找到满足下式的x1*和

x3*:这里求取max的区域为：x1x3的回归系数是正的，x3的回归系数也是正的,x1*=3.4.在x3*=2.7575达到最大值

。

图3等值线图(x1*,x3*)在x1*=3.4和

x3*=2.7575处估计响应的最大值是51.85%。它比７个试验点的最好值48.2%还大。讨论:因素

x2

没有给响应Y予显著的贡献，我们可以选x2为其中点x2=19ml.求出的x1*=3.4在边界上,我们需要扩大x1的试验上限。在x1=3.4和

x3=2.7575的邻域,追加一些试验是必要的。30在第５步，一些优化算法是很有用的。例2均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用1.均匀设计表的选取本实验的目的是提高镀层光亮性。考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂4个因素，每个因素取值范围为t个水平（t为实验次数），4个因素的一次项及二次项各有4项，4项因素间的两两交互作用设有6项，共14项，实验数不能小于14，本实验选用U17（178）表。均匀表U17（178）U17（178）表的使用表本实验为4因素，这4个因素安排在均匀表的1，5，7，8列，实验方案及结果见下表。2.指标的选择和优化指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀件质量。根据我们对镀件的要求，定义一个综合指标z，z的分值由外观评分R，沉积速度评分V，耐腐蚀性评分Q乘以不同的权重构成，z=0.5R+0.2V+0.3Q。R，V，Q的分值分别为0－100。3.实验方法试样为10cm×5cm×0.2cm的低碳钢板，在88－90℃的恒温水浴槽内施镀，镀液pH值控制在4.5-5.0。镀前处理按常规进行，按均匀设计表中确定的组成分别配成16种化学镀液，挂镀法施镀1h，清洗，晾干，对试样进行外观的评定。沉积速度测定：沉积速度，样片增加的重量/样片的面积(g/cm2)耐腐蚀性测定：10％硫酸浸泡24h，根据失重及腐蚀后外观评分4.结果处理及分析

实验结果用计算机处理，主要运用软件为SPSS和Matlab。4.1建立数学模型及筛选变量考虑到可能有的数学关系，将各因素的一次项，二次项，两因子间的交互作用项均作为考察对象，回归方程模型为：R=b0+∑bixi+∑bijxixj+∑biixi2(i=1,2,3,4;i≠j)b为各项系数。将给因素的值及综合指标输入计算机，用自后淘汰变量法(backwardselection)进行回归分析和变量筛选，sigF＞0.10的变量被淘汰，最后得到指标与相关组成的回归方程。Z=86.726+6.555×d－4.554×p2＋1.384×c2＋0.01641×ω2－3.177×p×c＋0.1932×p×ω－0.1209×c×ω－0.3779×d×ω

c为主光亮剂；d为辅助光亮剂；ω为润湿剂；p为稳定剂。4.2对回归方程的优化处理用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，用Matlab语言编程，用BFGS拟牛顿(Quasi-