初中数学北师大版九年级上册第一章　特殊平行四边形（区一等奖）

．正方形的性质与判定第2课时正方形的判定课后作业:方案（B）一、教材题目：P25，T1-T41．证明：对角线相等的菱形是正方形．2．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：四边形AECF是菱形．(第2题)3．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH.四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？(第3题)联系拓广(第4题)4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论．二、补充题目：部分题目来源于《点拨》1．〈山东威海〉如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()(第1题)A．BC＝ACB．CF⊥BFC．BD＝DFD．AC＝BF(第4题)4．如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，折痕为FG，连接AE，若FG的长为13cm，则线段CE的长为(第11题)11．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D.将△ABD沿AB所在直线折叠，使点D落在点E处，将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB，FC使其交于点M.判断四边形AEMF的形状并给予证明．答案教材(第1题)1．解：已知，如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O，且AC＝BD，求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝eq\f(1,2)AC，OD＝eq\f(1,2)BD.∴∠AOD＝90°.又∵AC＝BD，∴OA＝OD.∴∠DAC＝45°.同理可得∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.∴四边形ABCD是正方形．点拨：已知菱形满足对边平行和邻边相等这两个条件，只需再证一个角等于90°即可用正方形的定义得到四边形ABCD是正方形．2．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°.∴∠ADF＝∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝45°.又∵BE＝DF，∴△ADF≌△ABE≌△CBE≌△CDF.∴AF＝AE＝CE＝CF.∴四边形AECF是菱形．3．解：四边形EFGH是正方形．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠B＝90°.∵AE＝DH，∴BE＝AH.在△AEH和△BFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AH＝BE，,∠A＝∠B，,AE＝BF，))∴△AEH≌△BFE.∴EH＝FE，∠AEH＝∠BFE.同理可证EH＝HG＝GF，∴四边形EFGH是菱形．又∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．点拨：利用三角形全等易证四边形EFGH是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证得四边形EFGH为正方形．4．解：两个正方形重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的eq\f(1,4).证明：设A′O与AB的交点为M，C′O与BC的交点为N.∵四边形ABCD，四边形A′B′C′O都是正方形，∴∠A′OC′＝90°，∠BOC＝90°，OB＝OC，∠MBO＝∠NCO＝45°.∴∠MOC′－∠BOC′＝∠BOC－∠BOC′，即∠MOB＝∠NOC.∴△MOB≌△NOC.∴S△MOB＝S△NOC.∴S四边形OMBN＝S△MOB＋S△OBN＝S△NOC＋S△OBN＝S△BOC＝eq\f(1,4)S正方形ABCD.∴两个正方形重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的eq\f(1,4).点拨1．D点拨：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF.∵BE＝BF，∴BE＝EC＝CF＝BF.∴四边形BECF是菱形．当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°.∵四边形BECF是菱形，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴四边形BECF是正方形．当CF⊥BF时，∠BFC＝90°，∴四边形BECF是正方形．当BD＝DF时，∵四边形BECF是菱形，∴BC＝2BD，EF＝2DF.∴BC＝EF.∴四边形BECF是正方形．当AC＝BF时，无法得出四边形BECF是正方形．故选D.4．7cm点拨：过B点作BK∥FG，交AD于点K.由折叠的性质可知FG⊥AE，则BK⊥AE.∵KF∥BG，∴四边形BGFK为平行四边形，∴BK＝FG＝13cm.在Rt△ABK中，AK＝eq\r(BK2－AB2)＝5cm，∵∠ABK＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠ABK＝∠DAE.在△ABK与△DAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠KAB＝∠EDA＝90°，,AB＝DA，,∠ABK＝∠DAE，))∴△ABK≌△DAE.∴DE＝AK＝5cm.∴CE＝CD－DE＝12－5＝7(cm11．解：四边形AEMF是正方形．证明如下：∵AD⊥BC，△AEB由△ADB折叠所得，∴∠EAB＝∠BAD，∠E＝∠ADB＝90°，BE＝BD，AE＝AD.又∵△AFC由△ADC折叠所得，∴∠CAF＝∠CAD，∠F＝∠ADC＝90°，CF＝C