微分方程模型

基于不同目的的微分方程建模建模目的不同，处理方法不同1、预测：已知当前情况，预测未来情况xt数值算法一般的常微分方程(组)数值算法比较完备；复杂一些的实际问题也比较容易解决。2、控制：已知当前情况，采取哪些措施才能实现设定的目标如何调整，使得方程存在满足的解，而且使得最小或最大。高速列车的节能控制：如何在确保准点达到的前提下，调整列车速度(牵引力)，使得能耗最低？3、稳定性态：波动稳定下来之后会如何？时间充分长会如何？事物最终的发展趋势。比如，商品的价格与其价值的变化关系；食肉动物与草食性动物数量的变化规律；侵入人体的病菌与白血球的数量变化关系；投入一粒石子的池塘水面振幅变化规律。xmtx0x0xm/2

是已知的常数时，可以分析其几何性态；当变化时，方程或方程组的几何性态会发生怎样的变化？tx事物发展的稳定与不稳定时间这些现象在现实中都有实用背景和研究价值事物的某些特征9定义

称微分方程或微分方程组

为自治系统或动力系统。一般的(常)微分方程或微分方程组可以写成：若方程或方程组f(x)=0有解x0，称点x0为微分方程或微分方程组的平衡点或奇点。初值问题：10定量定性解有初等函数表达式数值解:计算机求解稳定性·········初值问题：11一、用Matlab软件求常微分方程的数值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.121、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-函数文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意:13注意1：1、建立M文件函数

functionxdot=fun(t,x)

xdot=[f1(t,x(1),x(2))；

f2(t,x(1),x(2))]；2、数值计算（执行以下命令）

[t,x,y]=ode23(‘fun',[t0,tf],[x0,y0])注意：执行命令不能写在M函数文件中。xd(1)=f1(t,x(t),y(t));xd(2)=f2(t,x(t),y(t));xdot=xd’;%列向量14例如：令注意2：functionxdot=fun1(t,x,y)（fun1.m)

xdot=[f(t,x(t),y(t))；x(t)]；[t,x,y]=ode23(‘fun1',[t0,tf],[x0,y0])M-文件函数形式y(t)是原方程的解。x(t)只是中间变量。如果方程形式为：z’’’=f(t,z,z’’)?15解:令y1=x，y2=y1’1、建立m-文件vdp1000.m如下：

functiondy=vdp1000(t,y)

dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，输入命令：

[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、结果如图例

二、缉私问题

海上边防缉私艇发现距c公里处有一走私船正以匀速a沿直线行驶,缉私艇立即以最大速度b追赶,在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。问缉私艇何时追赶上走私船?并求出缉私艇追赶的路线。

xyco2.3建立模型

xcoy走私船初始位置在点(0,0)，行驶方向为y轴正方向，缉私艇的初始位置在点(c,0)，缉私艇行驶的路程为s

。

在时刻t：缉私艇到达点

走私船的位置到达点2.4

模型求解

(1)

求解析解

令：，，1),当x=0

时，

，c=3千米，a=0.4千米/分，分别取b=0.6,0.8,1.2千米/分时，缉私艇追赶路线的图形。

追赶时间分别为：t=9，5，2.8125（分钟）

2)当时，，缉私艇不可能追赶上走私船。3），，当时，，缉私艇不可能追赶上走私船。（3）用MATLAB软件求数值解c=3，a=0.4，b=0.8，

程序zjet.mfunctionu=zjwt(t,y)u=0.5*((t/3)^0.5-(3/t)^0.5)

执行下面的命令：ode23(‘zjwt',[3,0.0005],0)

若想看图中点的坐标可执行下面的命令：[t,y]=ode23(‘zjwt',[3,0.0005],0)

plot(t,y)此时缉私艇的位置坐标是（0.00050000000000，1.96013657712118）

执行下面的命令:ode45(‘zjwt',[3,0.0005],0)

若想看图中点的坐标可执行下面的命令：[t,y]=ode45(‘zjwt',[3,0.0005],0)

plot(t,y)此时缉私艇的位置坐标是（0.0005，1.9675）

22三、人口模型1.问题的提出2.假设和定义3.模型的建立4.分析和求解5.结论和讨论231.问题的提出

人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：年1625183019301960197419871999人口（亿）510203040506024

我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：年1908193319531964198219902000人口（亿）3.04.76.07.210.311.312.95

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。下面介绍两个最基本的人口模型：

Malthus模型、Logistic模型252.模型1(Malthus模型)

18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。2627282930r=0.2743/10年，xm=4.188数据拟合：r=0.2022/10年，xm=6.045031指数增长模型的应用及局限性：

与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)32

分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长率是常数的基本假设进行修改。2.5模型修改33343523637dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢xm/2这个模型称为阻滞增长模型(Logistic模型)：Logistic曲线38参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm

利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.139r=0.2557,xm=392.140模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.03.06188亿（2009年，世界国家和地区第3名，次于中国、印度）人口密度31人/平方公里（世界国家和地区第177名）。41四、传染病模型问题：

描述传染病的传播过程

分析受感染人数的变化规律

预报传染病高潮到来的时刻

预防传染病蔓延的手段

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型42

已感染人数(infective)i(t)

每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设：若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模：?43模型2区分已感染者(infective)和未感染者(susceptible)假设：1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模：~日接触率SI模型44模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt

最大卫生水平45模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设：SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模：~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。46模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt

<047模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者(Removed)SIR模型假设：1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率

,日治愈率,

接触数=/建模：需建立的两个方程对移出者48模型4SIR模型无法求出的解析解数值解函数ill，表示模型IVfunctiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';主程序：ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0)%调用ode45求解'ill'方程组plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,%画出健康者和病人的变化曲线figure,plot(x(:,2),x(:,1)),grid%画出相图50五、捕食系统的Volterra方程

意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理想的鱼类占总渔获量的百分比。在1914~1923年期间，意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加.51

他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一现象，就去求教当时著名的意大利数学家V.Volterra，希望他能建立一个数学模型研究这一问题。年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.752Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x2(t)，并建立双房室系统模型。1、模型建立

大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为r1的指数律增长（