第七讲多元回归模型的延伸

多元线性回归模型的延伸1、过原点回归2、尺度与测量单位3、回归模型的函数形式4、弹性测度：对数线性模型5、半对数模型6、倒数模型7、函数形式一览表8、随机误差项的性质注记1、过原点回归

在双变量模型中不出现截距或者为零.其形式为:

模型的特点:

（1）对有截距项的模型说总有,但对过原点回归不一定成立。（2）过原点回归的判定系数不一定非负。例题：证券组合的溢价问题

采用模型为：=第i种证券的期望回报率=市场组合证券的期望回报率=无风险回报率=Beta系数，指不能通过分散而消除的系统风险。在应用中通常表示为：

如果资本市场有效运行，则CAPM要求：证券I的期望风险溢价等于期望市场风险溢价乘以该证券的系数。模型（1.1)的系数估计先把(1.1)写成：利用OLS法，得到的如下公式：其中估计为：与含有截距项模型公式的比较

后者是：其差异：1.没截距项的，用粗或原生平方和及交叉乘积和，有截距项的用偏离均值平方和及交叉和。2.计算时，前者自由度是(n-1),而后者是(n-2)。过原点回归模型的不含有截距项的计算：注意：1.计算时数据不经过校正；2.满足关系，但不同于；3.应用时采用有截距项为好，否则会犯设定的错误。组合证券理论的特征线给出有截距和无截距项的模拟例子，模型为：模拟结果为：结果的差异：1.过原点回归模型中估计出来的的标准差略低，说明若截距响确实为0,测算的斜率系数为准确一些2.过原点无截距回归的斜率系数95%置信区间是(0.6566,1.5232)，而有截距的置信区间是(0.5195,1.6186)。即前者比后者狭窄些。3.注意：(1.12)的和(1.13)的是不能直接比较的。

2、尺度与测量单位选择不同的计量单位对回归结果有何影响？设模型为：使用变量、的回归：由最小二乘理论得：接上面的公式把OLS法应用于(2.4)得：它们之间的关系利用前面的定义可得：例题从前面的6个关系知，这种变换并不影响OLS估计量的性质。1.GPDI和GNP都以10亿美元计算得：

2.GPDI和GNP都以百万美元计算得：

续前GPDI以10亿美元而GNP以百万美元计得：GDPI以百万美元而GNP以10亿美元计得：“坐立不安”让人苗条

科学家最近发现了保持苗条身材的奥妙。如果一个人平时闲不住，小动作很多，日常消耗的热量就多，就能保持较瘦的身材。美国梅欧医院的研究人员请来20位志愿者，进行为期一年的研究。志愿者分成两组，一组较瘦，另一组轻度肥胖。所有志愿者都穿上一种带有传感器的特制内衣，内衣里的装置每隔半秒钟记录一次人体的姿态与活动。志愿者照常进行他们的日常工作和生活，所有食物有研究人员提供。

研究人员发现，轻度肥胖者更喜欢坐着，而身材苗条的一组则闲不住。瘦人组平均每天“坐立不安”的时间比胖人组多出两个多小时，相当于多消耗350卡热。如果胖人组也这么不“消停”的话，一年下来完全可以减轻14-18磅的体重。

此外研究人员还发现，一个人喜动还是喜静似乎是天生的，与他们的体重无关。在第二个研究阶段，让瘦人多吃1000卡热量，胖人少吃1000卡热量，他们的生活习惯并没有因此变化。这项研究为肥胖者提供了新的希望。乐观与悲观的秘密著名剧作家奥斯卡.王尔德猜测:乐观主义者和悲观主义者用不同的方式观看这个世界。心理学家现在证实他的这一猜测是正确的。心理学家发现，悲观主义者眼睛往下看，他们的大脑工作的更好；乐观主义者眼睛向上看时，他们的大脑会转的更快。这一发现表明，因痛苦而引起的典型的畏怯表情确实会对人起作用，他们也许有悲观的思想，但是如果他们抬头向上看的话，就不会那么悲观的思考问题了；而人老是低着头的话，就会更加悲观的进行思考。领导这一研究的北达科他州大学心理学家布赖恩.迈耶说，更重要的是，这一研究提出了诊断和治疗这种忧郁情绪的新方法。忧郁是最普遍而又令人最容易衰弱的心理疾病之一，5个人中就有一个人的生活受到这种情绪的影响。在研究中，研究人员对志愿者进行了测试，结果暗示了这种关系的来源。迈耶说：“这一研究认为，只需劝说这样的人改变一下习惯，将目光稍稍抬高一点，就会大大减轻忧郁情绪。”3、回归模型的函数形式对数线性模型半对数线性模型倒数模型4、弹性测度：对数线性模型指数回归模型：取对数变换得：改写成双对数模型：对数-对数模型，或双对数模型，对数—线性模型设、得如下模型：

利用OLS，估计量和将分别是和的最优线无偏估计量。双对数模型的特点：1.是斜率系数测度了Y对X的弹性2.Y与X之间的弹性系数在整个范围内保持不变；3.和分别是和的无偏估计量，但进入原始模型的估计的反对数却是一个有偏的估计量。例题，某问题采用双对数型模型拟合结果如下:变量Y对变量X的弹性E定义为:5、半对数模型线性到对数模型1.复利公式:2.对(5.1)取对数得:3.假设4.把(5.2)改写为:5.在(5.3)加干扰项得:6.象(5.4)形式的模型叫半对数模型。因变量取对数的模型叫做线性到对数模型半对数回归模型中，斜率系数（回归系数）度量了当给定自变量取值的绝对变化量时，因变量Y的恒定比例或相对变化量用半对数模型模拟结果如下：回归模型说明：1972～1991年期间美国实际GDP每年增长2.469%。取8.0139的反对数得到1972年初始值估计值为30227亿美元。要计算复合增长率，只需要对0.02469查反对数，再减去1,则得到0.02499,即1972～1991年的复合增长率约为每年2.499%。这一增长率略高于2.469%的瞬时增长率。图6-41972～1991年美国实际GDP的增长率：半对数模型线性趋势模型模型为：注：不做对数Y对时间的回归，而是做Y对时间的回归。利用某数据模拟回归结果如下：比较可知，增长模型4.5.5反映的是因变量随时间变化而发生的相对变化率，线性趋势模型则反映了因变量随时间变化而发生的绝对变化量。对数到线性模型模型形式为：斜率系数的意义：另一表达式为：某例的数据的回归结果如下：因变量取对数的半对数模型I与自变量取对数的半对数模型Ⅱ的区别半对数模型I反映自变量的绝对量变化一个单位时，因变量变化的百分比；半对数模型Ⅱ反映自变量变化一个百分比时，因变量的绝对变化量。6、倒数模型倒数模型形式为：模型的特点：随X无限增大，Y值趋于极限（渐