第1章逻辑代数基础

自动化学院电子教学中心黄晓梅huangxm@

数字电子技术基础

数字电路与系统设计2数字电子技术基础

数字电路与系统设计教材：《数字电子技术基础》（机械工业出版社，王友仁主编）基本信息：课程类别：必修课自然班号：0312501~502,1512201~202学时安排：理论课(56学时)授课时间(1~19周)星期二，第3,4节，教室2104；星期四，第1,2节，教室2504；1~5，9~11，15~16，18~19周星期五，第3,4节，教室2104；1~4周课程简介学习参考书1.清华大学电子学教研组编，阎石主编.数字电子技术基础(第五版).北京：高等教育出版社，2006.2.华中科技大学电子技术课程组编，康华光主编.电子技术基础数字部分(第五版).北京：高等教育出版社，2006.3.王毓银主编.数字电路逻辑设计(第2版).北京：高等教育出版社，2005.4.臧春华，沈嗣昌主编.数字设计引论(第2版).北京：高等教育出版社，2010.5.电子工程手册编委会等编.中外集成电路简明速查手册－TTL、CMOS，电子工业出版社5

技术基础课程。是学习计算机硬件技术、接口技术等课程的基础。既有丰富的理论体系，又有很强的实践性。一、课程特点6数学工具——逻辑代数基础基本单元——集成门电路记忆单元——触发器两类电路——组合、时序逻辑电路信号——脉冲波形产生与变换接口——数/模和模/数转换器其他——半导体存储器、可编程逻辑器件、数字系统设计与测试二、课程内容7（1）在具体的数字电路，与分析和设计方法之间，以分析和设计方法为主；（2）在具体的设计步骤，与所依据的概念和原理之间，以概念和原理为主；（3）在集成电路的内部工作原理，和外部特性之间，以外部特性为主。三、学习重点8

第一章逻辑代数基础数字电路与系统设计9第一章逻辑代数基础1.1概述1.2数制与码制1.3基本逻辑运算1.4逻辑代数基本定理及常用公式1.5逻辑函数及其表示方法1.6逻辑函数的化简101.1

概述1.数字量与模拟量的概念数字信号特点：数字量的变化在时间上和数值上都是离散的。数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。504030201050t(ms)V(V)图1.1.1典型的数字信号111.1

概述1.数字量与模拟量的概念模拟信号：在时间上和数值上连续的。数字信号：在时间上和数值上是离散的。uu模拟信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。

有两种逻辑体制：正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。如果采用正逻辑，图1.1.1所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。

2、正逻辑与负逻辑

数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。132.数字电路的分类（1）据电路结构和工作原理

组合逻辑电路：无记忆功能，其输出仅取决于当前输入。时序逻辑电路：有记忆功能，其输出由当前输入和电路状态共同决定。（2）按集成度

SSI、MSI、LSI。（3）按制作工艺

TTL、CMOS。3、数字电路的优点(1)工作可靠性高、抗干扰能力强：数字电路其信号是用高（1）、低（0）电平来描述的，大大提高了电路工作的可靠性及抗噪声干扰能力。(2)集成度高：数字电路采用二进制，基本单元电路的结构简单，对电路元件的精度要求不高，有利于高度集成。(3)数字集成电路功耗低、通用性强、成本低、电路简单。(4)保密性好：对数字信息进行编码加密处理简单，且难于被破解。(5)数字电路能够对输入的数字信号进行各种算术运算和逻辑运算，具有一定的“逻辑思维”能力，易于实现各种控制和决策系统。151.2数制和码制数制＝进位制＋基数＋位权（1）进位制：用多位数码表示数时，从低位到高位的进位规则。如：9+1=10（2）基数：进位制中单位代码所能表达的最大数加1，即逢几进一。（3）位权：数的每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的位权。=3102+3101+

3100+310-1+310-2333.331.2.1

几种常用的计数制161.十进制(Decimal)=3102+3101+

3100+310-1+310-2权权权权权基数10，逢十进一；有0-9十个数码；第i位的位权为10i。

(333.33)10(D)10=(kn-1k1k0.k-1k-m)10=kn-1×10n-1++k1×101+k0×100

+k-1×10-1++k-m×10-m特点：172.

二进制(Binary)特点：a.基数2，逢二进一，即1+1=10

b.有0-1两个数码

c.第i位的位权为2i。(D)2=(kn-1k1k0.k-1k-m)2=kn-1×2n-1++k1×21+k0×20

+

k-1×2-1+k-m×2-m3.十六进制(Hexadecimal)与八进制（Octal）18a.基数R，逢R进一b.有R个数码c.第i位的位权为Ri。(D)R=(kn-1k1k0.k-1k-m)2=kn-1×Rn-1++k1×R1+k0×R0

+k-1×R-1+k-m×R-m4.

任意进制19201.2.2.数制间的相互转换十进制与非十进制间的转换非十进制间的转换十进制非十进制非十进制十进制二进制八、十六进制八、十六进制二进制211.非十进制转成十进制方法：幂级数展开，按十进制求和(F8C.B)16=

F×162+8×161+C×160+B×16-1=

3840+128+12+0.6875=3980.6875例1.2.1：22例1.2.2：二、八、十六进制转换为十进制(111.11)8＝1×82

＋1×81

＋1×80＋1×8－1

＋1×8－2

＝(73.140625)10(111.11)16＝1×162＋1×161＋1×160＋1×16-1＋1×16-2

＝(273.06640625)10(111.11)2＝1×22＋1×21＋1×20＋1×2－1

＋1×2－2

＝(7.75)1023整数部分转换：

除底取余法：用目标数制的基数（R）连续去除十进制数，直至余数为0。先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。2.

十进制转换成非十进制整数部分：除底取余∴(44)D＝(101100)2例：将十进制数44转换成二进制。25小数部分转换：

乘底取整法：小数连续乘以目标数制的基数（R），先得到的整数为高位，后得到的为低位。终止：小数部分为“0”，或满足要求精度。26小数部分：乘底取整例:将十进制数0.375转换成二进制。∴(0.375)D＝(0.011)2故(44.375)D＝(101100.011)2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。273.

二进制转换成八、十六进制（1）

二进制转换为八进制

以小数点为起点，将整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代。例1.2.3：11010111.0100111B=?O

（11010111.0100111）

B=（327.234）O11010111.0100111小数点为界00072323428（2）

二进制转换为十六进制

每四位分为一组。例1.2.4：111011.10101B=?H

（111011.10101）

B=（3B.A8）

H111011.1010100000B3A83.

二进制转换成八、十六进制294.

十六、八进制转换成二进制方法：将十六、八进制数的每一位用等值的4、3位二进制数代替即可。例1.2.5

将下列十进制数转换成非十进制数：

(89.875)10=()2=()8=()161011001.111131.759.E301.2.4几种常用的编码制

数码不仅可以表示数量的不同大小，还可表示不同事物的代号——代码。编制代码时遵循的一定规则——码制。31

常用的二值编码自然二进制编码二进制原码、补码和反码二—十进制码格雷码

ASCII码321.自然二进制编码十进制数四位自然二进制码十进制数四位自然二进制码00000810001000191001200101010103001111101140100121100501011311016011014111070111151111用0、1符号表示数值大小的一种编码方法333.二—十进制码

二—十进制码－－用二进制码表示十进制的0～9十个数码，简称BCD（BinaryCodedDecimal）码，至少要4位二进制码。

有权码有权码表示十进制数码：D=b3w3+b2w2+b1w1+b0w0+c偏权系数c

=

0时为有权码。

8421BCD（NBCD）码34

无权码

其它有权码

余3码余3码中有效的十组代码为0011～1100代表十进制数0--92421码、5421码、5211码3536

多位十进制数的表示方法

n位十进制数由n组BCD码构成例1：例2：(64)16=(？)2

=(

？)8421BCD01100100000100000000276.8↓↓↓↓010011101101000（276.8）10=（？）NBCD（276.8）10=（001001110110.1000）NBCD378421BCD码的加法若某一十进制位的计算结果产生进位或产生非法码要做加6修正，修正时产生新的非法码要再做加6修正。384.格雷码39ASCII码--是一种常用的表示各种符号的编码，其全称是AmericanStandardCodeforInformationInterchange,即美国信息交换标准码。

ASCⅡ码由7位二进制代码组成，可表示128个字符，包括0～9十个数码、英文大小写字母、标点和控制的附加符。

30H～39H表示0～9，

41H～5AH表示A～Z。5.ASCII码401.3基本逻辑运算

布尔代数——描述客观事物逻辑关系的数学方法。广泛应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计。别名：开关代数、逻辑代数。411.3

基本逻辑运算1.3.1

基本逻辑运算与逻辑或逻辑非逻辑42只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生逻辑表达式L=AB=AB与逻辑真值表与逻辑关系表1.与逻辑开关A开关B灯L断断断合合断合合灭灭灭亮ABL101101000010ABL图形符号与逻辑运算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示43逻辑表达式L=A+B或逻辑真值表2.或逻辑1图形符号只有决定某一事件的原因有一个或一个以上具备，这一事件才能发生ABL101101001110ABL443.非逻辑非逻辑真值表AL0110逻辑表达式F=A当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生图形符号AL145L与非逻辑运算L=AB或非逻辑运算L=A+B与或非逻辑运算L=AB+CD1.3.2

常用复合逻辑运算LL46异或运算ABL101101001100ABL=1图形符号ABL101101000011同或运算逻辑表达式L=AB=AB

逻辑表达式L=AB=AB+AB=ABL图形符号⊙=AB+AB47常用复合逻辑运算481.4逻辑代数的基本定理及常用公式1.4.1逻辑代数的基本定律11=100=001=10=00+0=00+1=1+0=11+1=1公理

A1=AA+0=A0-1律A0=0A+1=1自等律重叠律AA=AA+A=AAA=0A+A=1互补律分配律反演律交换律结合律还原律AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)AB=A+BA+B=ABA=A50证明方法用真值表证明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000AB=A+BA+B=AB利用真值表511.4.2

逻辑代数中的基本规则1.代入规则

在任何一个逻辑等式中，如果将等号两边所出现的某一变量的地方，都代之以一个表达式，则等式仍然成立。例1.4.1

求证A(B+C+D)=AB+AC+AD。解：根据分配律可知：A(B+E)=AB+AE用代入规则，将等式两边的E都用C+D代替，则A(B+C+D）=AB+A(C+D)

=AB+AC+AD522.反演规则对逻辑函数式Y，做如下处理：“·”换成“+”,“+”换成“·”;

“0”换成“1”，“1”换成“0”；

原变量换成反变量，反变量换成原变量。

得到的新函数式称为原函数式Y的反函数式。注：①遵守原运算优先次序；②不属于单个变量上的反号应保留不变。53例1.4.1

已知Y=A(B+C)+CD,求。解：根据反演定理可写出：例1.4.2

已知Y=,求。解：根据反演定理可写出：543.对偶规则对逻辑函数式Y，做如下处理：“·”换成“+”,“+”换成“·”;“0”换成“1”，“1”换成“0”。

得到的新函数式称为原函数式Y的对偶式。原等式与其对偶式互为对偶式。

两函数式相等，则其对偶式也相等例1.4.3：其对偶式551.4.3逻辑代数中的几个常用公式公式1公式2公式3公式4推论例：公式4证明成立等式右边571.6逻辑函数的化简

意义：表达式最简→电路最简→节省器件，降低成本，提高可靠性。最简形式：函数式中乘积项个数不能再减少，且每项中相乘的因子不能再减少。

1.6.1化简的意义58

逻辑函数常见形式：1.6.1化简的意义

最常见：与-或表达式591.6.2代数化简法1.并项法

运用公式将两项合并为一项，消去一个变量。例1.6.1

试用并项法化简下列逻辑函数：解：601.6.2代数化简法2.

吸收法

运用公式、消去多余的与项。例1.6.2

试用吸收法化简下列逻辑函数：解：611.6.2代数化简法3.

消去法用消去多余的因子。例1.6.3

试用消项法化简下列逻辑函数：（1）（2）解：（1）（2）621.6.2代数化简法4.

配项法例1.6.4

试用配项法化简下列逻辑函数：

运用公式、消去多余的与项。解：63综合应用例1.6.5

试化简逻辑函数：解：64综合应用例1.6.6

试用配项法化简逻辑函数：解：651.5逻辑函数及其表示方法

若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定，输出逻辑变量Y的值也唯一确定，则称Y是A、B、C的逻辑函数，写作：

Y=F（A，B，C…）1.5.1逻辑函数的定义66（1）逻辑真值表（2）逻辑函数式（3）逻辑图（4）卡诺图（5）波形图1.5.2逻辑函数的常用的表示方法671.逻辑真值表例1.5.1：举重裁判电路——三人表决电路，结果按“少数服从多数”的原则决定，主裁判必须同意，试建立该逻辑函数。1.5.2逻辑函数的常用的表示方法681.逻辑真值表输入输出YABC000000100100011010001011110111113.

逻辑图2.

逻辑函数式691.逻辑真值表输入输出YABC000000100100011010001011110111113.

逻辑图2.

逻辑函数式4.

波形图5.卡诺图6.硬件描述语言701.最小项

1.5.3逻辑函数的卡诺图（1）概念最小项是逻辑函数自变量的乘积项，特点:①每一项都含有与函数的自变量个数相同的变量因子；②每个自变量都以原变量或反变量的形式作为一个因子在乘积项中出现且仅出现一次。71三变量最小项的编号表最小项使最小项为1的变量取值对应的十进制数编号ABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7721.最小项

1.5.3逻辑函数的卡诺图（2）性质

①对任意一个最小项，只有一组变量的取值使其值为1；②对变量的任一组取值，任意两个不同的最小项的乘积为0；③对变量的任一组取值，全体最小项之和为1。732.逻辑函数的最小项表达式1.5.3逻辑函数的卡诺图

定义：将所有使函数值为1的最小项“或”在一起构成的与或式。任何逻辑函数式转化成唯一的最小项表达式。举重裁判电路——三人表决电路743.卡诺图1.5.3逻辑函数的卡诺图

将n变量的最小项各用一个小方块表示，并使逻辑相邻的最小项几何位置也相邻，所得到的图形。ABABBAABAB1010ABC01000111100001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图754.逻辑函数的卡诺图表示1.5.3逻辑函数的卡诺图

（1）最小项表达式→卡诺图

例1.5.2

画出以下逻辑函数的卡诺图：

解：764.逻辑函数的卡诺图表示1.5.3逻辑函数的卡诺图解：

（2）逻辑函数→卡诺图

例1.5.2

画出逻辑函数的卡诺图。

方法一：逻辑函数→最小项表达式→卡诺图方法二：直接填1.将函数化为最小项之和的形式2.画出表示该逻辑函数的卡诺图3.找出可以合并的最小项4.选取化简后的乘积项。选取的原则为：（1）这些乘积项应包含函数式中所有的最小项（应覆盖卡诺图中所有的1）（圈要全）

（2）所用的乘积项数目最少。也就是可合并的最小项组成的圈数目最少。（圈尽量少）

（3）每个乘积项包含的因子最少。也就是每个可合并的最小项圈中应包含尽量多的最小项。（圈尽量大）1.6.3卡诺图化简法

化简步骤：781.6.3卡诺图化简法例1.6.7

试用用卡诺图法化简逻辑函数：解：（1）卡诺图（2）画包围圈（3）表达式791.6.3卡诺图化简法例1.6.8

试用卡诺图法化简逻辑函数：解：（1）卡诺图（2）画包围圈（3）最简与-或表达式801.6.3卡诺图化简法例1.6.9

试用用卡诺图法化简逻辑函数：解：例

例：将F(A、B、C、D)化为最简与非—与非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化简得：最简与非—与非式为：例画0可得Y，当0很少时，可以通过画0来求Y。841.6.4具有无关项的逻辑函数化简

定义：受实际问题约束，某些输入变量的取值组合不允许出现，或出现后逻辑值任意。这样的取值组合所对应的最小项称为无关项。无关项也称任意项或约束项。

表示方法：带有无关项的逻辑函数可表示为最小项与无关项的和。

化简方法：利用无关项可以当0也可以当1（可圈可不圈）的特点，将函数画至最简。例：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮