随机信号分析第3章随机信号的频域分析

本章主要内容：

第三章随机信号频域分析相关函数与功率谱密度的关系

互功率谱密度白噪声的定义功率谱的应用

确定信号s(t)频谱存在的条件，即其傅立叶变换存在的条件是：⑴.s(t)在范围内满足狄利赫利条件。或备择条件（信号的总能量有限）⑵.（绝对可积）§3.1实随机信号的功率谱密度第3章随机信号的频域分析其中S(ω)称为信号s(t)的频谱，它反映了s(t)中各种频率成分的分布状况。可以证明：对一般实信号s(t)，其频谱是ω的复函数，若s(t)满足上述条件，则其傅立叶变换对存在。若将（反变换）式代入式的左端即，（*表示复共轭）。一、能量谱密度由于左边是：s(t)在时间上的总能量＝在整个频域上的积分。因此←表示s(t)在不同频率上总能量的分布密度，称为：能量谱密度。则：即：←帕赛瓦尔定理

随机过程的任意一个样本函数，都不满足傅立叶变换的绝对可积条件，直接对随机过程进行傅立叶变换不可能。但是对其样本函数作某些限制后，其傅立叶变换存在。二、实随机信号的平均功率最简单的是应用截尾函数。如右图所示：在中任意截取长为2T的一段称为的截尾函数。当T为有限值时，截尾函数满足绝对可积条件，其傅立叶变换存在。若代表一噪声电压（或电流），则表示噪声的一个样本在时间（-T,T）内消耗在1欧姆电阻上的总能量。若对此总能量在(-T,T)上求时间平均，并求极限可见为的频谱函数，据帕赛瓦尔等式，它们有如下关系：

表示随机过程的样本函数消耗在1欧姆电阻上的平均功率由于对一次试验结果来讲，对应的样本函数是个确定函数，因此这个平均功率仅是一个确定值。称随机过程样本函数的平均功率（时间平均）。对于不同K，由于不同由于样本函数不同，也不同。相对所有试验结果来讲，所有样本的平均功率的总体就是一个随机变量。其中X(t)是随机过程，是随机过程的截取函数的频谱若对取统计平均，得确定值：←通常称为随机过程X(t)的平均功率。1、实随机过程的功率谱密度由于随机过程X(t)的平均功率：是在整个频域上的积分，则被积函数表示随机过程在不同频率上的单位频带内，消耗在单位电阻上的平均功率。由于描述了随机过程X(t)的平均功率在各个频率上的分布状况，因此称为：随机过程X(t)的功率谱密度。三、功率谱密度则其时间平均2、平稳过程的平均功率若X(t)为平稳过程，其均方值所以平稳过程的平均功率：3、各态历经过程的平均功率

由于各态历经过程X(t)的每个样本函数的时间平均都以概率1相同，与无关，则可推出：同理样本函数的功率谱密度为随机过程的平均功率也可以由过程的均方值求时间平均：由X(t)的各态历经性，因此有即各态历经过程X(t)的平均功率与其样本函数的平均功率以概率1相等。4、各态历经过程的功率谱密度若过程X(t)的平均功率和其样本函数的平均功率即各态历经过程X(t)的功率谱密度与其样本函数的功率谱密度以概率1相等。(3).功率谱密度是的偶函数5、实随机过程功率谱密度的性质由定义式3-12因为故而(2).功率谱密度是的实函数由式3-12也可以看到，是的实函数，故也必定为的实函数。(1).功率谱密度为非负值功率谱密度是随机过程在频域中主要的统计特征。(4)、平稳过程功率谱密度绝对可积：根据傅立叶变换的性质，当为t的实函数时，其频谱满足则随机过程截尾后的频谱为证明：因为平稳过程有且平稳过程有所以功率谱密度函数绝对可积。(5)、若平稳过程的功率谱密度可以表示为的有理函数形式则必定满足：①由性质(1)要求：②由性质(4)要求：式中分母无实根(即在实轴上无极点)，且。在实数轴上有极点，例3.1

判断下列哪些函数满足平稳过程的功率谱密度的性质？所以只有满足平稳过程功率谱密度的性质。解：因为非偶3.1.2

平稳过程的功率谱密度与自相关函数的关系对于一般随机过程X(t)：若X(t)是平稳过程则有：有：因为X(t)平稳则有：一、维纳—辛钦定理2023/2/616功率谱密度与自相关函数之间的关系

确定信号：随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。

维纳—辛钦定理

若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：已知证明：2023/2/618设则所以：2023/2/619则

(注意，且，。因此，通常情况下，第二项为0)

二、维纳—辛钦定理的推广⑴直流信号⑵周期信号在时域：不满足绝对可积的条件，∴F变换不存在。傅氏变换绝对可积的条件限制了维纳—辛钦定理的应用。⑴直流信号X(t)⑵周期信号X(t)在频域：可以借助函数，将直流信号与周期信号在各个频率点上的无限值用一个函数来表示，借助函数的傅氏变换可利用函数的F变换，来求⑴⑵两特殊信号的功率谱密度。例3.3

随相余弦信号，其中为常数，在上均匀分布，求X(t)的功率谱密度。解：据以往结果，←求傅氏变换例3·4

已知平稳过程X(t)具有功率谱密度：求其自相关函数，平均功率。解：利用部分分式法∴自相关函数为：利用傅氏变换对平均功率为：2023/2/626例：平稳随机过程的自相关函数为，A>0，，求过程的功率谱密度。

解：应将积分按＋和－分成两部分进行

2023/2/627例：设随机过程其中皆为常数，为具有功率谱密度的平稳随机过程。求过程的功率谱密度。

解：

三、物理功率谱密度：由于实际应用中，负频率不存在，所以定义一个仅在正频率上存在的物理功率谱密度：因为都满足绝对可积的条件，所以它们的富氏变换存在：§3.2两个实随机过程的互功率谱密度1、互平均功率的定义考虑两个平稳实随机过程X(t),Y(t)，分别表示X(t)和Y(t)的样本函数。我们定义两个截尾函数为：故而据帕赛瓦尔定理有：一、互功率谱密度因为X(t),Y(t)为实过程，所以。则可以得到两个随机过程的样本函数的互平均功率。由于相对于所有结果，都是试验结果的函数，则其互平均功率是一个随机变量。如果对再求统计平均，便可得到一个确定值值值交换期望与极限的次序有：这个统计平均后的确定值被定义为X(t),Y(t)的互平均功率。2、互功率谱密度的定义定义中的被积函数为X(t),Y(t)的互功率谱密度。X(t),Y(t)的另一互功率谱密度：同理有X(t),Y(t)的另一互平均功率：比较两个互功率谱密度可得：二.互谱密度与互相关函数的关系若X(t)与Y(t)联合平稳，则有解：例3.5

设X(t)与Y(t)联合平稳，且互相关函数为三、互谱密度的性质1、因为X(t),Y(t)为实过程为

复函数2、互谱密度的实部所以有：为偶函数3、互谱密度的虚部为奇函数4、当X(t)与Y(t)正交时5、当X(t)与Y(t)互不相关时1、白噪声的定义

功率谱密度为常数，均匀分布在整个频域上，具有零均值的平稳过程，称为“白噪声”。通常记为：N(t)§3.3白噪声一、理想白噪声习题：3-1、3-2、3-5、3-6、3-7、3-9

这说明，白噪声在任何两个相邻时刻，不管多么近，只要≠0，状态之间都是不相关的。这说明白噪声过程的样本随时间起伏极快，相当脉冲宽为0的冲激(t)。2、白噪声的自相关函数3、白噪声的自相关系数1˚以上定义的白噪声是一个理想化的数学模型。在物理上是不存在的。无穷大其平均功率而任何一个物理可实现过程，其平均功率总是有限的。任何一个物理可实现过程，两个相邻时刻的状态之间总存在一定的相关性。无法构造出脉冲宽为0的冲激(t)做为样本。⑵4、白噪声的特点理由：⑴2˚白噪声无论在理论上，还是在实际应用中，都是最常的一种噪声模型。原因：⑴经过验证，实际应用中出现的许多重要的噪声过程都可以用白噪声来近似。如：“电阻热噪声”。原因：⑵由于白噪声的在数学上有很好的分析性质。原因：⑶白噪声可以替代系统中的宽带噪声。在实际应用中，系统带宽总是有限的，无论是否是理想白噪声，通过系统后的结果都一样。如：只要输入噪声功率谱在观察的范围（系统带宽）内是一常数，就可以把它近似为白噪声来处理。⑴低通型限带白噪声相当一个“理想白噪声”通过一个理想低通滤波器。二、限带白噪声1、定义若一零均值的平稳过程，其功率谱密度在一有限范围内均匀分