中南大学微积分II下复习资料 曲线积分及曲面积分 常微分方程及差分方程

AdvancedMathmaticIIProf.LiubiyuWellcomeyou§5.2Lineintegralofthesecondtype§5.3Green’sformula

§5.1Lineintegralofthefirsttype§5.4Surfaceintegralofthefirsttype§5.6Gauss’sformulaanddivergence§5.7Stokes’sformulaandthecurlofavector§5.5SurfaceintegralofthesecondtypeChapter5曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是多元函数积分学中的两个不同的概念.与重积分类似,它们都是定积分中“分割、求和、取极限”的基本分析方法在二维和三维空间中的推广，它们的计算都要归结为定积分的计算.本章主要研究曲线积分与曲面积分的计算方法,以及剃度、散度和旋度的概念及其计算§5.1Lineintegralofthefirsttype

一、引例及第一类曲线积分的定义二、第一类曲线积分的计算三、第一类曲线积分的应用一、引例及第一类曲线积分的定义1.引例Solution.

分割求和

取极限近似值精确值Solution.分割求和

取极限近似值精确值2.第一类曲线积分的统一定义（形式上的定义）记为也称其为平面上对弧长的曲线积分也称其为空间上对弧长的曲线积分弧长f(x,y)定义在L上IntegralsumintegrandPathofintegration说明:对弧长的曲线积分与路径的走向无关!3.第一类曲线积分的性质对路径的可加性

与路径方向无关二、第一类曲线积分的计算(只讲方法不作证明)1.基本计算法基本思想是:根据路径L的参数表达式化为定积分.

定理1.“一代二换三定限”=ds弧微分公式！说明:概括为“一代二换三定限”几种特殊情形:x为参数y为参数直角坐标下的弧微分公式极坐标下的弧微分公式奇函数Example1Solutiony为参数从而化为y的定积分Example2Solutionx为参数y为参数Example3SolutionExample4Solution宜采用极坐标计算Example5Solution(2)不难看出:所给曲线是一半径为2的圆周,其周长为4,故注意:被积函数是定义在上.所以2.利用对称性简化

(3)轮换对称性Example6Method1.Method2.

由于L关于x轴对称,被积函数是关于y的奇函数.Example7Solution由轮换对称性得:球面大圆周长三、第一类曲线积分的应用对空间曲线构件也有结论!Example8SolutionExample9Solution(1)求A的元素dA(2)元素dA的积分得面积A§5.2Lineintegralofthesecondtype

一、Theconceptoffield(场论的基本概念)二、变力沿曲线作功与第二类曲线积分的概念三、第二类曲线积分的计算四、第二类曲线积分的应用五、第一、二类曲线积分的关系一、Theconceptoffield(场论的基本概念)Itiswellknownthattherearedifferentkindsoffieldinphysics,forinstance,temperaturefields,potentialfields,forcefieldsandelectricforcefields.Ingeneral,adomainintheplaneorinspaceonwhichsomekindofphysicalquantityisdistributediscalledafield.Inmathematics,afieldisadomainonwhichascalarorvector-valuedfunctiondefined.Ifthisfunctionisascalarfunctionthenthefieldiscalledascalarfield;ifitisavector-valuedfunctionthenthefieldiscalledavectorfield.IfthephysicalquantityinthefielddependsonlyonthelocationofthepointMandisindependentofthetimet,thenthefieldiscalledastationaryfieldorstablefield.IfthefielddependsnotonlyonthelocationofthepointMbutalsoonthetimet,thenitiscalledanon-stationaryfieldortime-varyingfield.二、变力沿曲线作功与第二类曲线积分的概念1、变力沿曲线作功(1)分割(2)求和(3)取极限近似值精确值2、第二类曲线积分的定义定义1也称为第二类曲线积分或II型曲线积分!记为！说明:(3)物理意义:变力沿曲线作功.可分可合其中可分可合3、第二类曲线积分的性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、第二类曲线积分的计算定理.

1.基本计算法

“一代二换三定限”.！说明:x为参数y为参数“一代二换三定限”.Example1Solution.

Method1(化为x的定积分)Example2Method2(化为y的定积分)Example3Method1.Method2.Example4Solution(1)上半个圆的参数方程:结论表明:此积分值与积分路径有关,即,即使具有相同起点与终点的积分路径,如果其路径轨迹不同,曲线积分值是不同的.Example5Solution结论表明:此积分值与路径无关,即,具有相同起点与终点的积分路径,即使是沿不同的路径轨迹,曲线积分值是相同的.Thisisaveryimportantandinterestingpropertyoflineintegralsofthesecondtypewhichwewilldiscussfurtherlater.Example6Solution.Example7SolutionExample8Solution

2.利用对称性简化计算

注意:无轮换对称性

四、第二类曲线积分的应用Example9Solution由II型曲线积分的物理意义知:Example10Solution.五、第一、二类曲线积分的关系一方面——单位切向量.第二类曲线积分定积分另一方面同样可得,

第一类曲线积分定积分第一、二类曲线积分之间的关系Example11Solution§5.3Green’sformula一、Green公式二、曲线积分与路径无关的条件三、微分形式Green公式建立了平面区域D的边界曲线L上的曲线积分与D内的二重积分之间的联系，提供了计算沿闭曲线上的曲线积分的一种有效方法。一、Green公式1.单连通区域设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD单连通区域——不含有“洞”或“点洞”;

复连通区域——含有“洞”或“点洞”;

2.D的边界曲线L的正向规定

当观察者沿L的正向行走时,区域D内离他近处的那一部分总在他的左边.DD3.Green公式

定理

Proof.

根据D的不同形状,分三种情况进行讨论.yxoabDcdABCE同理可证两式相加得Green公式DGDFCEAB由(2)知！说明:(1)便于记忆形式:(2)当边界曲线取反方向时,Green公式中二重积分符号前添“”号!(3)应用Green公式时,特别要注意以下条件:

注意:L为区域D的正向边界.

4.Green公式的应用

(1)利用Green公式计算曲线积分

Example1Solutionxyo由Green公式得Example2Solution由于L不封闭,不能直接用Green公式,为此由Green公式得Example3Solution曲线L为星形线,包含原点O(0,0)在内,取以O为中心,充分小的为半径作圆周l:x=cos,y=sin,使其全部包含在L内,l的方向取顺时针方向.设D是由L与l所围成的区域.由Green公式得Example4Solution(1)若原点不在L所围区域的内部xyoL(2)若原点在L所围区域的内部yxo为此,取r>0足够小,以原点O为中心,r为半径作一小圆,且使小圆位于L所围区域内.由Green公式得:Example5Solution由Green公式得:(2)利用Green公式计算二重积分

Example6Solutionxyo二、曲线积分与路径无关的条件1.曲线积分与路径无关的定义

GyxoBA如果在区域G内有与路径无关.2.与路径无关的四个等价条件定理:

恰当条件此时,也称u(x,y)为微分形式Pdx+Qdy的原函数.Proof.如图所示积分中值公式由Green公式得证毕.！说明:(1)曲线积分与路径无关要求在单连通区域内考虑,而Green公式只要求封闭路径；具体求法为：积分上限函数与路径无关,故可走特殊路径.或者3.利用路径无关条件计算曲线积分Example7Solution所以,此曲线积分与路径无关.Example8SolutionExample9SolutionExample10Solution由Green公式有,(3)如图,

由积分与路径无关，Example11Solution.

由积分与路径无关,得

三、微分形式定义根据与路径无关的四个等价条件可知:Example12Solution有三种方法可以求这样的u(x,y).Method1(曲线积分法)Method2(不定积分法)Method3(凑微分法)Example13Solution§5.4Surfaceintegralofthefirsttype一、第一类曲面积分的概念二、第一类曲面积分的计算三、第一类曲面积分的应用一、第一类曲面积分的概念1.引例

Solution.分割

求和

取极限近似值精确值Definition1(光滑曲面)如果曲面S上的每一点都有切平面且切平面随点连续变动,则称曲面S为光滑曲面.2.定义

Definition2(第一类曲面积分或对面积的曲面积分)表示面积记为或第I型曲面积分,或对面积的曲面积分.！说明:(4)第一类曲面积分与曲面的方向无关!

Property1Property23.性质

其他性质与第一类曲线积分类似.二、第一类曲面积分的计算1.基本计算法(“

一投二代三替换”)第一类曲面积分亦即对面积的曲面积分,其基本计算方法是转化为二重积分来计算.证明大意:

故结论成立.一般地,向投影区域易找且面积非0的坐标面投影.Example1Solution向xoy面投影较易.采用极坐标.Example2Solution.Solution.Example3只能向yoz面投影.Example4Solution.只能向yoz面或xoz面投影,因在xoy面上的投影为0.2.对称性简化计算

(4)轮换对称性Example5Solution.球面关于三个坐标面对称,

Example6Solution.Example7Solution.关于三个坐标面对称,

其中1表示第一卦限部分曲面,即

1:x+y+z=a,即z=a-x-y

Example8Solution.由轮换对称性得球面面积三、第一类曲面积分的应用类似于平面、立体、曲线构件可得：Example9Solution坐标轴即为球面构件的直径，所以轮换对称性§5.5Surfaceintegralofthesecondtype一、第二类曲面积分的概念二、第二类曲面积分的计算四、第二类曲面积分的应用三、第一、二类曲面积分的关系一、第二类曲面积分的概念1.有向曲面(双侧曲面,单侧曲面)观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面有双侧曲面和单侧曲面.假设曲面是光滑的,则当点P在曲面上连续变动时,相应的法向量也随之连续变动.如果点P在曲面上沿任一路径连续变动后且不跨越曲面的边界回到原来的位置时,相应的法向量的方向与原来的方向相同,则称曲面为双侧曲面.典型的双侧曲面

如果点P在曲面上沿任一路径连续变动后回到原来的位置时,相应的法向量的方向与原来的方向相反,则称曲面为单侧曲面.典型的单侧曲面

莫比乌斯(Mobius)带通常我们所遇到的曲面都是双侧的,如球面、旋转抛物面等如果把一长方形纸条的一端扭转1800，再与另一端粘合起来可得到莫比乌斯(Mobius)带。麦比乌斯的地铁系统在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”中，故事情节围绕一列从波士顿地铁系统中神秘消逝的第86号列车而展开.这个地铁系统前一天才举行通车仪式,但是现在第86号却消失了,什么痕迹也没有留下.事实上,很多人都报告说他们听到了列车在它们的正上方或正下方飞驰的声音,但是谁也没有真正地看到过它.当确定这列火车为止的所有努力都失败之后,哈佛的数学家罗杰.图佩罗给交通中心打电话,并且提出了一个惊人的理论:这个地铁系统非常复杂,以至于它可能变成了一个单侧曲面(麦比乌斯带)的一部分,而那列在当时丢失的火车可能正在这条带子的“另一个”面上跑它的正常路线.面对极度惊愕的市政官员,他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性.在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.

曲面的侧是利用曲面上法向量的指向来确定的.取定了法向量或选定了侧的曲面叫做有向曲面.2.有向曲面在坐标面上的投影设为有向曲面,S为上一小块曲面.S在xoy面上的投影定义如下:类似地S在yoz面上的投影S在xoz面上的投影3.流量问题Solution.3.第二类曲面积分的定义定义1(第二类曲面积分或第II型面积分或对坐标的曲面积分)其中——对坐标x,y

的曲面积分——对坐标y,z

的曲面积分——对坐标z,x

的曲面积分！说明:(4)当P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)

在有向光滑曲面上连续时,对坐标的曲面积分一定存在.4.第二类曲面积分的性质二、第二类曲面积分的计算第二类曲面积分的计算方法有:1.基本计算法;2.对称性简化;3.类型转换法;4.投影转换法;5.利用高斯公式.1.基本计算法(“一投二代三定向”)计算第二类曲面积分的基本方法是通过投影转化为二重积分的计算;转化过程可概括为”一投二代三定向”.三定向根据题中给定的曲面的方向确定上述等号右边的符号.如果取上侧,应取正号;如果取下侧,应取负号.此外,如果曲面上的法向量垂直于z轴,即曲面在xoy坐标面上的投影为0,则曲面积分值为0.类似可得:注意:将曲面投影到yoz坐标面上注意:将曲面投影到xoz坐标面上注意(1)计算过程为“一投影二代三正向”;Example1Solution由于两曲面在xoy坐标面上的投影域均为:用极坐标计算二重积分Example2Solution.如图所示,取下侧；取上侧；取下侧.Example3Solution2.对称性简化计算法

Example4Solution.Example5Solution.如图所示,取下侧;取上侧;三、第一、二类曲面积分的关系由第二类曲面积分的定义可得:两类曲面积分的关系式.3.第二类曲面积分计算的类型转换法

计算第二类曲面积分,有时利用基本计算方法时,若投影工作量较大,则可根据两类曲面积分的关系转换为第一类曲面积分计算.Example6Solution.如图所示,Example7Solution因为所给球面上任意点(x,y,z)处的单位外法向量4.第二类曲面积分计算的投影转换法

因此投影之间可相互转换,从而使计算简便,例如:Example8Solution.由对称性及奇偶性得

四、第二类曲面积分的应用根据前面的流量问题的解决可知:

故,求流体的流量问题可用第二类曲面积分来计算.Example9Solution所求流体的流量为:下侧上侧§5.6Gauss’sformulaanddivergence一、Gauss公式三、通量与散度四、综合应用二、沿闭曲面的曲面积分为零的条件一、Gauss公式Gauss公式建立了沿空间区域的边界曲面上的曲面积分与内的三重积分之间的联系,因此提供了计算沿封闭曲面上的曲面积分的一种有效方法.定理:(高斯公式或奥氏公式或奥高公式)Proof.(1)设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两个，如图xy-型根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法同理,

三式相加得,(2)当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个时,引进辅助曲面分成多个(1)中的区域，可得结论.三式可单独用,也可以合并用.！说明:(1)Gauss公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.(2)Gauss公式主要用来简化某些曲面积分的计算.(3)不是封闭曲面时,添加辅助面后可用Gauss公式.(4)使用Gauss公式时应考虑:P,Q,R是对什么变量求偏导,是否有连续偏导,是否是闭曲面的外侧.如果是闭曲面的内侧,则在三重积分号前添“”号!Example1其中是第一卦限内边长为a的正方体表面并取外侧.Solution.利用Gauss公式，有Example2Solution.利用Gauss公式,得利用柱面坐标Example3Solution(1)记(S)所围的区域为,利用Gauss公式,得利用球面坐标(2)曲面(S)不封闭,故补充:利用Gauss公式,得利用球面坐标Example4Solution(1)不含原点,由Gauss公式,得(2)包含原点,在内作一球面1:1内侧二、沿闭曲面的曲面积分为零的条件定理则有结论:

三、通量与散度定义.！说明:(1)利用上述概念,Gauss公式可写成在上述公式中,如果向量场v表示一不可压缩流体的稳定流速场,则公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量.由于假定流体是不可压缩的和稳定的,因此流体在离开的同时,内部必须有产生流体的”源”产生出同样多的流体进行补充.所以,公式的左端可解释为单位时间内在内的”源”所产生的流体的总质量.如果divv(M)>0,则表明点M是”源”,直观上表示有流体经由点M处的一个小洞流入区域,见图,其值表示源的强度.如果divv(M)<0,则表明点M是”汇”,直观上表示有流体经由点M处的一个小洞流入区域,见图,其值表示汇的强度.如果divv(M)=0,则表明点M即不是”源”也不是”汇”.(2)由三重积分的中值定理可得即散度=源头强度(单位体积内流体的流量).散度有如下性质:Example5Solution.四、综合应用Example6Solution.所给曲面如图，取上侧由Gauss公式有Example7Solution.如图所示，取后侧取左侧取上侧由Gauss公式有Example8其中a为正常数,记Ω表面的外侧为∑,Ω的体积为V,Proof.xyz§5.7Stokes’sformulaandthecurlofavector一、Stokes公式三、环流量与旋度二、空间曲线积分与路径无关的条件其中的侧与的方向按右手法则确定.Stokes’公式.Stokes公式建立了沿空间曲面的曲面积分与沿的边界曲线的曲线积分之间的关系.与Green公式,Gauss公式一起,是多元函数积分学的三个重要公式.

一、Stokes公式曲面的侧与边界曲线的方向作如下规定(右手法则):当右手四指依的绕行方向时，大拇指所指的方向与上法向量的指向相同，这时称是有向曲面的正向边界曲线.定理1.其中的侧与的方向按右手法则确定.Stokes’formula.Stokespublishedhistheoremin1854(withoutproof,foritappearedasaquestiononaCambridgeUniversityexamination).By1870itwasincommonuse.Proof思路:曲面积分二重积分曲线积分12(1)设平行于坐标轴的直线与∑的交点不多于一个，则设当∑为z=z(x,y)上侧,在xoy面上投影区域为Dxy,Г在xoy面上的投影曲线为C时,如图所示.三式相加即得结论.(2)若平行于坐标轴的直线与∑的交点多于一个时，作辅助线可得结论成立.！说明:(1)便于记忆,Stokes公式可用行列式表示为(2)利用两类曲面积分的关系,得Stokes公式的另一形式(3)Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.Stokes公式Green公式特殊情形也称Stokes公式为空间的Green公式.(4)当是xoy面的平面闭区域时,利用Stokes公式,既可将曲线积分转化为曲面积分来计算,也可将曲面积分转化为曲线积分来计算.但Stokes公式主要还是提供了一种求空间曲线积分的有效方法.SolutionExample1利用Stokes公式计算较简便.取上侧Example2Solution1(ByStokesformula)Solution2(基本计算法)Example3Solution1(化为定积分—5.2节中已讲)

Solution(利用Stokes公式)

Example4Solution.如图所示oxyz利用Stokes公式！说明:(1)截面圆的半径为(2)选用两种类型的曲面积分都可以，就本题来说，积分号下出现常数，故选对面积的曲面积分为宜.(3)积分曲面∑是选平面还是选球面被平面割下的那一部分，从理论上讲，都是可以的，以计算简单为宜.(4)也可化为参数方程直接计算.二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.

设空间开区域G是单连通区域;由于曲线积分与路径无关，所以可选择特殊路径得上述公式，如图所示.oxyzExample5Proof三、环流量与旋度定义.旋度满足以下规律:！说明:Example6Solution.第5章练习册题解Chapter6常微分方程§6.2-6.3一阶微分方程及其解法§6.4可降阶的高阶微分方程§6.1微分方程的基本概念§6.5线性微分方程解的结构§6.7微分方程的简单应用§6.6二阶常系数线性微分方程与Euler方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉……傅立叶微分方程以方程的形式描述了未知函数及其导数以及自变量之间的依赖关系.微分方程理论的基本问题是研究满足这个方程的函数,即所谓的解.这一章主要研究几类特殊微分方程的解法.§6.1微分方程的基本概念一、引例二、微分方程的基本概念一、引例1.一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求此曲线方程.Solution:0yxy=x2+C(1.1)式两边积分得:0yxy=x2+12.假设质量为m的质点,以初始速度vo从高为H的高空自由下落,若不计空气阻力,求质点在下落过程中高度s与时间t的关系?.Solution:s(t)SHFig.5-1-2.(1.5)式积分二次的得:将条件(1.6)代入(1.7)与(1.8)得:c1=v0,c2=H.3.(Malthas人口模型)英国人Malthas(1766~1834)根据百余年的统计资料,于1798年提出了闻名于世的所谓Malthas人口模型:他假设人口的增长率与该时刻的人口数成正比,求人口数与时间的关系?Solution:可见:若r>0,人口将以等比级数指数增长,出现人口爆炸在所难免.二、微分方程的基本概念1.微分方程含有未知函数及其未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.

注意:(1)在微分方程中，未知函数和自变量可以不出现但其导数必须有，否则不是微分方程.(2)微分方程中,若未知函数是一元函数,称为常微分方程,若未知函数是二元或以上的函数,称为偏微分方程.(2x+y)dx+xdy=0(1.11)以上都是常微分方程.是偏微分方程.微分方程举例2.微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.且称为一阶、二阶，…，n阶微分方程.分别记为(2x+y)dx+xdy=0(1.11)(1.12)(1.14)为二阶微分方程.(1.13)为三阶微分方程(1.10),(1.11)为一阶微分方程.3.微分方程的解使得微分方程成为恒等式的函数.即

Example1Solution微分y得:故,y=c1sin2x+c2cos2x是该微分方程的解.由微分方程的解的定义4.微分方程的通解与特解：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:运用已知条件确定了通解中任意常数以后的解.注意:(1)通解中任意常数互相独立，不能合并.应为一个任意常数.(2)通解、特解的几何意义：5.初始条件确定通解中任意常数的已知条件称为定解条件,求微分方程满足定解条件的解的问题称为定解问题.最常见的定解条件是初始条件.一般地:Example2Solution:所求特解为Example3.Solution.对所给方程求导得再求导得，一、可分离变量微分方程二、齐次微分方程§6.2-6.3一阶微分方程及其解法三、一阶线性微分方程四、Bernoulli方程五、全微分方程这一节,主要讨论几种典型的一阶微分方程的解法.其一般原则是,根据方程的类型确定相应的解法.由于不同类型的微分方程采用不同的解法,因此最为重要的是认清方程类型并记住其解法(2.1)可分离变量微分方程齐次微分方程一阶微分方程Bernoulli方程全微分方程主要类型:一、可分离变量微分方程解法

两边积分分离变量得通解它是一阶方程中最重要而且最简单的类型.求解步骤:(1)分离变量;(2)等式两边积分Example1解微分方程

Solution:分离变量得:这个解可以化简!y=0

也是方程的解,故所求通解为:Example2Solution:分离变量得:两边积分得:从而通解为:此外,y=1也是原方程的解,但他们不包括在通解中.称其为奇异解(singularsolutions).Example3Solution:Example4Solution:称这样的方程为积分方程.解法的基本思想为:通过求导化为微分方程后再求解.Example5Solution:有些方程虽然本身不是可分离变量方程,但根据方程的特点,可通过适当变换化为可分离变量方程,从而可以求解.Example6Solution:Example7Solution:二、齐次方程解法:

可分离变量的方程求解步骤:(1)作变量替换;(2)化为可分离变量方程Example8Solution:为齐次方程为可分离变量方程Example9Solution:为齐次方程故通解为:两边积分得:即,Example10Solution:原方程两边求导得代入并化简得为积分方程,注意:一般求的是特解.有些方程虽然本身不是齐次方程,但根据方程的特点,可通过适当变换化为齐次方程,从而可以求解.为齐次方程,否则为非齐次方程.解法:Example11Solution:代入原方程得方程变为三、一阶线性微分方程上方程称为一阶线性齐次方程上方程称为一阶线性非齐次方程特点“一阶”：未知函数的导数为一阶.“线性”：未知函数及其导数都是一次.解法:

齐次方程的通解为(1)对于一阶齐次线性方程(利用分离变量法)为可分离变量方程(2)对于一阶非齐次线性方程方法1(常数变易法)先求出对应齐次方程的通解然后变易常数，设非齐次方程的通解为求出C(x)便可得通解.积分得得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程的一个特解常数变易公式

方法2(公式法):直接用下述常数变易公式

！说明:线性非齐次微分方程的通解=对应齐次方程的通解与其自身的一个特解之和.(2)类似地，对于以x为函数的一阶非齐次线性方程Example12Solution:用常数变易法Example13Solution用常数变易公式Example14Solution:关于x是线性的关于y不是一阶线性微分方程四、Bernoulli方程为一阶线性微分方程.

为非线性微分方程.解法:

代入上式该方程为一阶线性微分方程.具体通解公式:Example15Solution:Bernoulli方程,n=1/2Example16Solution:Example17.Solution:Bernoulli方程,n=2Example18.Solution:有些方程虽然本身不是上述典型方程,但根据方程的特点,可通过适当的变换、求积分因子等技巧化为典型方程,从而求解.Example19Solution:Solution:可分离变量方程五、全微分方程(Totaldifferentialequations)1.定义2.判别方法3.求解方法chapter5线积分与路径无关的四个等价条件

！说明:Example20Solution:Method1(曲线积分法)Method2(不定积分法)Method3(凑全微分法)有些方程虽然本身不是全微分方程,但可通过方程两边乘一个积分因子的技巧化为全微分方程,从而求解----积分因子法.积分因子的求法(1)观察法Example21利用观察法求积分因子，并求解方程

Solution:将方程重新组合得为全微分方程Example22Solution:结论这里主要讨论了几种典型的一阶微分方程的解法.其一般原则是,根据方程的类型确定相应的解法.如果所遇到的方程不是典型方程，则必须根据方程的特点，充分利用变量替换、求积分因子等技巧，把方程化为典型方程，从而求解.由于不同类型的微分方程采用不同的解法,因此最为重要的是认清方程类型并记住其解法§6.4

可降阶的高阶微分方程

接下来我们讨论高阶微分方程的解法.高阶微分方程的求解问题实际上是一个比较困难的问题.本节先讨论几种特殊类型的高阶微分方程的求解问题,然后再介绍高阶线性微分方程解的结构以及高阶常系数线性微分方程的解法.这里讨论的几种特殊类型的高阶微分方程,其求解思想相同,即利用变量替换将方程降阶----称为可降阶的高阶微分方程,主要考虑二阶微分方程.连续积分n次得含有n个互相独立任意常数的通解.…即得通解注意:每积一次加一个任意常数解法:

Example1.Solution.(不显含未知函数y的微分方程)方程变形为

解此一阶微分方程可得即

两边积分得

p=(x,C1)解法:

方程降为一阶即得通解Example2Solution:分离变量得:两边积分得:Solution.代入原方程解线性方程,得两端积分,得原方程通解为Example3.(不显含自变量的微分方程)解法:

令y'=p(y),则方程变为解此一阶微分方程得p=(y,C1)即分离变量并两边积分得方程降为一阶Example4.

求解微分方程

2yy''+y'2=0Solution.分离变量得即令y'=p(y),则即分离变量得两边积分得或即Example5.Solution.Example6Solution:方程两边求导得:方程两边再求导得:由y(x),y‘(x)的表达式可得:

y(0)=–1,y'(0)=1因此问题变为下列初值问题的解:

y''=2yy',y(0)=–1,y'(0)=1解此方程得:由y(0)=–1,y‘(0)=1,得C1=0分离变量且两边积分得:由y(0)=–1,得C2=1一、二阶线性微分方程的概念二、函数的线性相关性§6.4线性微分方程解的结构三、二阶齐次线性方程解的结构四、二阶非齐次线性方程解的结构五、n阶线性微分方程解的结构六、二阶变系数线性微分方程的常数变易法一、二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程.称二阶齐次线性微分方程.称二阶非齐次线性微分方程.特点“二阶”：未知函数的最高阶导数是二阶.“线性”：未知函数及其导数都是一次.二、函数的线性相关性否则称为线性无关.显然:Example1.Proof.Example2.Solution.三、二阶齐次线性方程解的结构Theorem1(解的叠加原理)问题:Theorem2(齐次方程通解结构)例如四、二阶非齐次线性方程解的结构Theorem3(非齐次方程通解结构)

Forexample:Theorem4(叠加原理)

Theorem5Example3.Solution.五、n阶线性微分方程解的结构六、二阶变系数线性微分方程的常数变易法Proof:

(1)令y2(x)=u(x)y1(x)是此方程的一个与y1(x)线性无关的特解,则

y'2(x)=u'(x)y1(x)+u(x)y'1(x)

y''2(x)=u''(x)y1(x)+2u'

(x)y'1(x)+u(x)y''1(x)上两式代入方程得:结论:解此线性方程得:关于u是可降阶的二阶微分方程

LiouvilleFormulaExample4.Solution:因y1(x)=x是此方程的一个特解,利用Liouville公式得:故方程的通解为:结论2.Proof:二阶非齐次线性微分方程的常数变易公式y'(x)=C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)+C1(x)y'1(x)+C2(x)y'2(x)

y''(x)=C'1(x)y'1(x)+C1(x)y''1(x)+C'2(x)y'2(x)+C2(x)y''2(x)令C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)=0(3)将y(x),y'(

x),y''(x)代入方程得:则y'(x)=C1(x)y'1(x)+C2(x)y'2(x),故因一个方程,两个未知函数,故

二阶非齐次线性微分方程的常数变易公式Example5Solution由Liouville公式得对应齐次方程的另一个特解故对应齐次方程的通解为Y

(x)=C1ex+C2x.由常数变易公式得原方程的通解为§6.5二阶常系数线性微分方程与Euler方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、n阶常系数齐次线性微分方程三、二阶常系数非齐次线性微分方程四、Enler方程一、二阶常系数齐次线性微分方程将其代入原方程,得特征方程特征根(1)有两个不相等的实根得两个线性无关的特解故齐次方程的通解为特征根为(2)有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为(3)有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为得两个线性无关的特解Euler公式Example1.求解下列微分方程Solution.(1)特征方程为故所求通解为(2)特征方程为故所求通解为(3)特征方程为故所求通解为(4)特征方程为故所求通解为(5)特征方程为故所求通解为二、n阶常系数齐次线性微分方程特征方程为特征方程的根通解中的对应项Example2.求解下列微分方程Solution.(1)特征方程为故所求通解为(2)特征方程为故所求通解为特征根为故所求通解为(3)特征方程为三、二阶常系数非齐次线性微分方程设非齐次方程的特解为代入原方程综上讨论得试解形式Example3.Solution.Example4.Solution.关于f(x)是线性方程利用Euler公式是所求方程的特解形式.Example5.Solution.比较系数得由定理知定理Example6.Solution.Example7.Solution.对应齐次方程的通解为或作辅助方程代入上式所求非齐次方程的特解为原方程通解为（取虚部）Example8.Solution.对应齐次方程的通解为作辅助方程代入辅助方程四、Euler(欧拉)方程形如的方程称为Euler方程,其中P1,P2,…Pn是常数.解法：欧拉方程