三角函数有关计算

三角函数的有关计算1直角三角形两锐角的关系:两锐角互余∠A+∠B=900直角三角形三边的关系:勾股定理a2+b2=c2bABCa┌c直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数正切tanA=∠A的对边∠A的邻边正弦sinA=余弦cosA=余切cotA=∠A的对边斜边∠A的邻边斜边∠A的邻边∠A的对边ca=cb=ba=ab=在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角，它们所对的边分别为c、a、b，其中除直角c外，其余的5个元素之间有以下关系：

1、sin2A+cos2A=1同角三角函数之间的关系2、cotA=3、tanA={tanA=或tanA•cotA=1

}互余两角的正弦、余弦及正切、余切间的关系sinA=cosB,cosA=sinBtanA=cotB，cotA=tanB条件：∠A+∠B=9003、cotA=特殊角三角函数值cotαtanαcosαsinα90°60°45°30°0°角度三角函数10011100不存在不存在角度逐渐增大在00—900之间，正弦、余弦及正切、余切随角度变化而变化的规律是:当角度在00—900间变化时，正弦值、正切值都随着角度的增大而增大。当角度在00—900间变化时，余弦值、余切值都随着角度的增大而减小。锐角A的正弦值、余弦值的变化范围：0＜sinA＜10＜cosA＜1直角三角形两锐角的关系:两锐角互余∠A+∠B=900直角三角形三边的关系:勾股定理a2+b2=c2直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数3、解直角三角形已知元素解法两边两条直角边a，b一条直角边a和斜边c一边和一锐角一条直角边a和锐角A斜边c和锐角AbABCa┌c1、已知两边求角2、已知一边一角求另一边1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC=,则tan=

。C3．等腰三角形底角为30°，底边长为，则腰长为()A.4B.

C.2D.60，1504.在△ABC中，∠C=90°，若BC=4cm，sinＡ=，则AC的长是()A.6cmB.

cm

C.

cmD.cmBD5.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，cosA=

BD=8，则AC=()

A.15B.16C.18D.一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为600，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到0.01m）C解：如图所示，有题意可知，

AC=OA-OC=2.5-2.165=0.34(m)答：最高位置与最低位置的高度差约为0.34m。6、如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠B＝60º，求BC的长．解：过A点作AD⊥BC于D

在Rt△ABD中，

AD＝AB·sin60°

＝5×＝BD＝AB·cos60°

＝5×在Rt△ADC中，DC＝＝∴BC＝BD＋DC＝＝8D如图，沿AC的方向修建高速公路，为了加快工程进度，要在小山的两边同时施工。在AC上取一点B，在AC外另取一点D，使∠ABD＝150º，BD=380m，D=60º问开挖点Ｅ离D多远，正好使A、C、E在一条直线上？150º60º解：延长AC交直线DE于点E。∴∠BED＝150°－60°＝90°在Rt△BED中.答：开挖点Ｅ离点D190m时，正好使A、C、E在一条直线上。380在数学活动课上，老师带领学生去测河宽。如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD=450，在距离A点30米的B处测得∠CBD=300，求河宽CD（结果可带根号）。C45°30°DAB在Rt△CBD中，∠CBD=30°设CD=x，则BD=x在Rt△CAD中，∵∠CAD=45°由AD-BD=AB，得∴答：河宽CD为米。解：30x已知：如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）．（参考数据：＝1.41421…；＝1.73205…）解：由题意，在Rt△ABD中，BD＝80（米），∠BDA=60°∴AB＝BD·tan600＝80≈138.56（米）．在Rt△AEC中，EC＝BD＝80（米），∠ACE＝45°∴AE＝CE＝80（米）∴CD＝BE＝AB－AE＝80—80≈58.56（米）答：塔AB的高约为138.56米，楼CD的高约为58.56米．45060°80如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC＝9米．要建造梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建______阶．（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算；取1.732）∴519.6÷20≈25.9826解：在RtABC中BC=AC•tanA=9×tan300=3×≈5.196（米）=519.6（厘米）三角函数的有关计算2如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m。已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为16˚，缆车垂直上升的距离是多少？解：在Rt△ABC中

BC=ABsin160

≈200×0.2756≈55.12答：缆车垂直上升的距离是55.12m我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.如图,当登山缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m。已知缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为42˚，由此你还能计算出什么？用计算器求三角函数值要用到sin,cos和tan键,如求sin16˚,cos42˚,tan85˚和sin72˚38‘25“的按键顺序如下：解：在Rt△ADE中，∠α＝32°，DE＝CB＝20米.∴AE＝CE•tanα＝20×0.6249≈12.498∴AB＝AE＋EB＝12.498＋1.2=13.698≈13.70米.答：旗杆的高度是13.70米。在如图：光明中学初三（1）班的学生用自己制作的测倾器测量该校旗杆的高度。已知测倾器的杆高DC=1.2米，测得杆顶的仰角α＝32°(如图)，测得点D到旗杆的水平距离BD=20m，求旗杆的高度AB(结果精确到0.01米).（参考数据：sin320≈0.5299,cos320≈0.8480，tan320≈0.6249）AEBCDα20为了方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道。这条斜道的倾斜角是多少？AB40mC10m那么∠A是多少度呢?要解决这问题,我们可以借助科学计算器.解：如图,在Rt△ABC中用科学计算器求锐角A（精确到1″）

若sinA=0.3456，则∠A=若cosA=0.3456，则∠A=若tanA=0.3456，则∠A=20°13′06″

19°03′54″

69°46′54″

如图，工件上有一个V形槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm，求V形角（∠ACB）的大小（结果精确到1°）∴∠ACD≈27.50.∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50=550.∴V型角的大小约550.解：在Rt△ACD中如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射。已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度。解:如图,在Rt△ABC中,AC=6.3cm,BC=9.8cm,∴∠B≈32044′13″.因此,射线的入射角度约为32044′13″.如图,为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾斜角α,把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竹竿长1m时它离地面的高度为0.6m,又量得竿顶与坝脚的距离BC=2.8m.这样∠α求就可以算出来了.请