高中数学人教A版第三章函数的应用单元测试 名师获奖

第三章本章诊疗一、精要总结（一）方程的根与函数的零点1．函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。3．函数零点的求法：（1）（代数法）求方程的实数根（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。4．二次函数的零点：二次函数．（1），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点。（2），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。（3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。（二）函数的模型收集数据收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验用函数模型解释实际问题符合实际检验收集数据检验收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解释实际问题符合实际不符合实际1．偷梁换柱要不得例1一元二次方程x2-10x+a-6=0的两根都大于4，求实数a的范围。错解：设方程的两根分别为x1，x2，则由于x1>4，且x2>4,那么即解得22<a<31，即为所求a的范围剖析：x1>4，且x2>4,那么一定有成立，反过来，若x1，x2满足却不一定有x1>4，且x2>4，比如反例x1=3，x2=8。事实上，若设f(x)=x2-10x+a-6，由于对称轴方程为x=5，我们也知道函数的零点关于对称轴对称，欲使两根都大于4，只需限定较小的根大于4即可。正解：由于函数图象开口向上，因此,即解得30<a<31，即为所求实数a的范围。例2一元二次方程x2+ax+1=0的一根在(0,1)，另一根在（1，2）内，求实数a的范围。错解：方程x2+ax+1=0的两根都在（0，2）内，由于函数f(x)=x2+ax+1图象开口向上，得且即且-4<a<0,解得，即为所求a的范围剖析：“一根在(0,1)，另一根在（1，2）内”确实是“两根都在（0，2）内”；但“两根都在（0，2）内”并非一定是“一根在(0,1)，另一根在（1，2）内”；因此上述解法偷梁换柱了，解错是必然的，结果一致只是巧合。正解:设f(x)=x2+ax+1，则，解得即，即为所求a的范围。2．概念不清例3用二分法逐步计算函数的一个正零点附近的函数值，参考数据如下表：据表求方程的一个近似解（精确度）错解：由表格，得，且，而精确到的值都是，所以方程的一个近似解为剖析：精确度为即近似值与精确值的误差不超过而不是近似值取一位小数.正解：由表格，得，且，所以方程的一个近似解可取为3．顾此失彼要出错例4若函数只有一个零点，求实数a的取值范围？错解：因为函数只有一个零点，所以△=0，即，所以剖析：没有对函数的二次项系数a进行讨论，直接把当作二次函数来处理，忽视了a=0时，的情况，导致了漏解。正解：（1）当a≠0时，函数是二次函数，因为只有一个零点，所以方程=0只有一个实根，所以△=0，即，所以。（2）当a=0时，函数为，显然，该函数图象与x轴只有一个交点，满足题意。综上所述，a的值为0或。例5已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.错解：设∵有且只有一根在区间（0,1）内∴得＜－2剖析：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是正解：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内，又＝1＞0∴有两种可能情形①得＜－2或者②得不存在综上所得，＜－24．错用定理会致误例6若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在内仅有一个零点，则的符号是（）（A）大于（B）小于0（C）等于0（D）不能确定错解：由函数零点存在的判定定理，得，选（B）.剖析：由题设，当时，函数在内有一个零点，但当函数在内仅有一个零点时，零点可能是不变号零点（如方程有二重根），因此的符号可能为正号.正解：的符号不能确定，选（D）.例3已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.错解：设∵有且只有一根在区间（0,1）内∴得＜－2剖析：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是正解：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内，又＝1＞0∴有两种可能情形①得＜－2或者②且得不存在综上所得，＜－25．理由不足过程欠完善例7求证：方程在内有且只有一个实数根.错证：设函数，则函数的图象在上是一条连续不断的曲线，又，，即，所以函数在内且只有一个实数根.剖析：由错证，得方程在内有一