2022-2023学年四川省成都市高三年级上册学期1月第一次诊断性考试 数学理

成都市高2020级第一次诊断测试数学理科满分:150分时间：120分钟一、单项选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.设集合A={x∣−1<x⩽2},B=x∣x2A.{x∣−1<x⩽3} B.{x∣−1<x⩽1}C.{x∣1⩽x⩽2} D.{x∣1⩽x⩽3}2.满足(1+i)z=3+iA.2−i B.2+IC.1+2i3.抛物线x2A.(0,1) B.0,12C.144.下图为2012年一2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图。根据该图，全科免费下载公众号《高中僧课堂》下列结论正确的是（）A.2012年—2021年电子信息制造业企业利润总额逐年递增B.2012年一2021年工业企业利润总额逐年递增C.2012年一2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长,且其增速均快于当年工业企业利润总额增速D.2012年一2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值5.若实数x,y满足约束条件x+y−4⩽0,y⩾0,x−y⩾0.则A.2 B.4 C.6 D.86.下列命题中错误的是（）A.在回归分析中,相关系数r的绝对值越大,两个变量的线性相关性越强B.对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k越小,说明“X与YC.线性回归直线y=bD.在回归分析中,残差平方和越小,模型的拟合效果越好7.若函数f(x)=x(x+a)2在x=1处有极大值,则实数A.1 B.−1或−3 C.−1 D.−38.已知直线l,m和平面α,β.若α⊥β,l⊥α,则“l⊥m”是“m⊥β”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知数列an的前n项和为Sn.若a1A.512 B.510 C.256 D.25410.日光射入海水后,一部分被海水吸收(变为热能),同时,另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射.因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱,可用ID=I0e−KD表示其总衰减规律,其中K是平均消光系数(也称衰减系数),D(单位:米)是海水深度,ID(单位:坎德拉)和I0(单位:坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的A.0.12 B.0.11 C.0.07 D.0.0111.已知侧棱长为23的正四棱锥各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为36πA.163 B.823C.812.已知平面向量a,b,c满足A.2 B.1+22C.32二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.在公差为d的等差数列an中,已知a1+14.x−215.已知双曲线x2a2−y16.已知函数f(x)=sin①若函数f(x)有零点,则k的取值范围是−∞,1②函数f(x)的零点个数可能为0,2,3,4;③若函数f(x)有四个零点x1,x2,④若函数f(x)有四个零点x1,x2,x3其中所有正确结论的编号为__________三、解答题（本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17.（本题满分12分）成都作为常住人口超2000万的超大城市,注册青年志愿者人数超114万,志愿服务时长超268万小时.2022年6月,成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛,项目大赛申报期间,共收到331个主体的416个志原服务项目,覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报,主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评申打分,并将专家评分(单位:分)分成6组:[40,50),[50,60),⋯,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.(I)求图中m的值;(II)从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍,该3支队伍中评分不低于90分队伍的数为X,求随机变量X的分布列和期望.18.（本题满分12分）记△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c.已知ba(I)求A的大小;(II)若22sinB=3sinC,再从下列条件①条件②中任选一个作为已知,求条件①:asinC=2;条件②:ac=210注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.（本题满分12分）如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90∘,AB=3,D,E分别是AC,BC上的点,且满足DE//AB.将△CDE沿DE折起,得到如图②(I)设平面ABP∩平面DEP=l,证明:l⊥平面ADP;(II)若PA=5,DE=2,求直线PD与平面20.（本题满分12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为(I)求椭圆C的方程;(II)试探究:在x轴上是否存在定点T,使得TA∙TB为定值?若存在,求出点21.（本题满分12分）已知函数f(x)=ln(ax),a>0.(I)当a=1时,若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b,证明:f(x)⩽kx+b;(II)若f(x)⩽(x−1)ex−a,求选做题（22题，23题选做1道小题，多做做错按第1题计分）22.（本题满分10分）在直角坐标系xOy中,圆心为A的圆C1的参数方程为x=2+cost,y=sint(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2(I)求圆C1(II)设点B在曲线C2上,且满足|AB|=3,求点23.（本题满分10分）已知a,b为非负实数,函数f(x)=|x−3a|+|x+4b|.(II)当a=1,b=12时,解不等式(II)若函数f(x)的最小值为6,求3a+参考答案及解析1.【答案】C【解析】略2.【答案】A【解析】略3.【答案】B【解析】抛物线x2=2y的焦点在y轴上,则焦点坐标为4.【答案】C【解析】略5.【答案】C【解析】略6.【答案】B【解析】略7.【答案】D【解析】略8.【答案】B【解析】略9.【答案】C【解析】略10.【答案】A【解析】略11.【答案】D【解析】略12.【答案】B【解析】略13.【答案】1【解析】略14.【答案】240.【解析】二项式x−2x6的展开式的通项公式为Tr+1=C615.【答案】1+【解析】双曲线的两个焦点(−c,0),和(c,0),令x=−c,则c2则有y=±b令x=c,则c2则有y=±b设A−c,b2则AB=2b∵这四个交点恰好为正方形的四个顶点，∴AB=BC,即2b2a=2c即c2∴∴e得e=1+52或16.【答案】②③④【解析】略17.【解析】(I)由(0.004×2+0.022+0.030+0.028+m)×10=1,解得m=0.012.(II)由题意知不低于80分的队伍有50×(0.12+0.04)=8支,不低于90分的队伍有50×0.04=2支.随机变量X的可能取值为0,1,2.∵P(X=0)=∴X的分布列为E(X)=0×18.【解析】(I)∵b由正弦定理知sinBsinA即sinB=sinAsinC+sinAcosC.在△ABC中,由B=π−(A+C),∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC+sinAcosC.(II)若选择条件①,由正弦定理asinA得asinC=csinA=22c=2又22sinB=3sinC,即∴b=3.若选择条件②,由22即22设c=22则a2由ac=210,得m=1∴a=19.【解析】(I)∵DE//AB,DE⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,∴DE//平面PAB.∵DE⊂平面PDE,平面PDE∩平面PAB=l,∴DE//l.由图①DE⊥AC,得DE⊥DA,DE⊥DP,∴l⊥DA,l⊥DP.∵DA,DP⊂平面ADP,DA∩DP=D,∴l⊥平面ADP.(II)由题意,得DE=DP=2,DA=1.∵AP=又DE⊥DP,DE⊥DA,以D为坐标原点,DA,DE,DP的方向分别为x轴,y轴,则D(0,0,0),E(0,2,0),B(1,3,0),P(0,0,2),PD=(0,0,−2),设平面PBE的一个法向量为n=(x,y,z)令z=1,得n=(−1,1,1)设PD与平面PEB所成角为θ.∴sinθ=|cos<∴直线PD与平面PEB所成角的正弦值为3320.【解析】(I)由△DF1F2为等边三角形,DF∵A∴△F1AB的周长为4a=8∴c=1,b=a∴椭圆E的方程为x2（II)设x轴上存在定点T(t,0),由(I)知F2由题意知直线l斜率不为0.设直线l:x=my+1,Ax由x=my+1,显然Δ=144m∴故当6t−153=−94,即t=11∴存在定点T118,021.【解析】(I)当a=1时,f(x)=lnx.由题意知曲线y=f(x)在x=1处的切点为(1,0).∵∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x−1.记g(x)=f(x)−kx−b=lnx−x+1.∵g'(x)=1−xx∴g(x)⩽g(1)=0.即lnx⩽kx+b成立.（II)记ℎ(x)=(x−1)e则ℎ(x)⩾0恒成立.∵ℎ'(x)=x∵∴∃x0∈12,a+1∴当x∈0,x0,∴ℎ由(∗)式,可得ex代入(∗∗)式,得ℎ当x0∈(1,+∞)时,记∵t'(x)=∵y=−ln(x+2lnx)在[1,+∞)上单调送减,∴ℎx0在∴当x0∈(1,+∞)时,当x0∈12,1时,由(I−ln∴ℎ==1−x由x0∈1又a=x0+2lnx0,y=x+2lnx在1∴实数a的取值范围是(0,1].22.【解析】(I)由圆C1的参数方程消去参数t,得圆C1的普通方程为(x−2)2把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(x−2)2化简得圆C1的极坐标方程为ρ(II)由题意,在极坐标系中,点A(2,0).∵点B在曲线C2上,设B(2−2cosθ,θ)在△AOB中,由余弦定理有AB2即3=4+(2−2cosθ)化简得12cos解得cosθ=12或故ρ=2−2cosθ=1或ρ=2−2cosθ=1∴点B的极径为1或1323.【解析】(I)当