广东省梅州市松口中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析

广东省梅州市松口中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且，，若球O的体积为，则棱锥的体积为A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.若，则(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知等差数列的前n项和为，满足（

） A、 B、 C、 D、参考答案：D4.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅造的一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取为3，其体积为12.6（立方升），则三视图中x的为（）A．3.4 B．4.0 C．3.8 D．3.6【考点】L!：由三视图求面积、体积．参考答案：C【分析】根据三视图得到商鞅铜方升由一圆柱和一个长方体组合而成，结合体积公式进行计算即可．【解答】解：由三视图知，该商鞅铜方升由一圆柱和一个长方体组合而成，由题意得3×x×1+π=12.6，得x=3.8，故选：C5.过点作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线

（

）A．存在一条，且方程为

B．存在无数条

C．存在两条，方程为

D．不存在参考答案：D略6.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠时，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为(

)A.2

B.4

C.5

D.8参考答案：B7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n﹣5an+23，n∈N*，则数列{an}的通项公式an=（）A．3×n－1 B．3×n－1 C．3×n－1+1 D．3×n+1参考答案：C【考点】数列递推式． 【分析】Sn=n﹣5an+23，n∈N*，当n=1时，a1=S1=1﹣5a1+23，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为an﹣1=（an﹣1﹣1），再利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：∵Sn=n﹣5an+23，n∈N*， ∴当n=1时，a1=S1=1﹣5a1+23，解得a1=4． n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n﹣5an+23﹣（n﹣1﹣5an﹣1+23），化为：an﹣1=（an﹣1﹣1），a1﹣1=3． ∴数列{an﹣1}是等比数列，首项为3，公比为． ∴an﹣1=，即an=+1， 故选：C． 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8.设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：A9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B【考点】分段函数的应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①不正确；接下来判断三个命题的真假②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是3个，故选：B．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．10.

函数（0<a<1）的图像大致为下图的

（

）A

B

C

D参考答案：答案：A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则按照从大到小排列为______.参考答案：12.给定函数：①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是

（把你认为正确的命题序号都填上）。参考答案：②③。函数，在区间（0，1）上单调递增，而函数，在区间（0，1）上单调递减，因此选②③。13.已知正项等比数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn（n∈N*），且，则S4=

．参考答案：15【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：正项等比数列{an}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为：15．14.已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则的值为

．

参考答案：或略15.在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是

；参考答案：解：f(x)=sin(ax+j)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填．又解：∫[1－sin(ax+j)]dx=∫eq\f((,20(1－sint)dt=．16.若抛物线的焦点坐标为(0,1)，则=

__

；参考答案：17.设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点横坐标为d，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为．参考答案：28【考点】排列、组合的实际应用．【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等变换sin2x=cosx求出所有根的个数，最后利用排列组合的思想求得满足条件的有序实数组．【解答】解：∵对任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴|a|=2，若a=2，则方程等价于sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时c=；若b=﹣3，此时c=；若a=﹣2，则方程等价于sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，此时c=；若b=3，此时c=．综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，）共4组．而当sin2x=cosx时，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=，∴x=+kπ或x=+2kπ，k∈Z又∵x∈[0，3π]，∴x=．∴满足条件的有序数组（a，b，c，d）共有4×7=28．故答案为28．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为及时了解男生和女生分别对高考数学试题接受程度，四川省招生考试办公室随机测试了90位成都七中高三学生，得到情况如下表：（1）判断是否有99%以上的把握认为“分数与性别有关”，并说明理由；（2）现把以上频率当作概率，若从成都七中全校学生中随机独立抽取三位男生测试，求这三人中至少有一人测评分数在120以上的概率.（3）已知15位测试分数在120以上得女生来自高三12班或14班，省招生考试办公室打算从这15位试分数在120以上得女生随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自12班的人数为X，求X的分布列及数学期望.

男生女生总计测试分数在120以上301545测试分数不超过120202545总计504090附：参考答案：（1）没有以上的把握认为“分数与性别有关”；（2）（提示：独立重复事件的概率）；（3）分布列见解析，期望为.解：（1）由于，故没有以上的把握认为“分数与性别有关”.（2）由题意可得，一名男生测试分数在以上的概率为，测试分数在分以下的概率为，记事件：这三人中至少有一人分数在以上的概率，且各人意愿相互独立，则.答：这三人中至少有一人分数在以上的概率为.（3）可能的取值为，，，；；..19.某印刷厂为了研究单册书籍的成本（单位：元）与印刷册数（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.①完成下表（计算结果精确到0.1）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷，根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，求印刷厂二次印刷10千册获得的利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）.参考答案：解：（1）经计算，可得下表：②，，，故模型乙的拟合效果更好；（2）二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为（元）故印刷总成本为16640（元），印刷利润33360元20.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆和的极坐标方程；（Ⅱ）射线：与圆交于点、，与圆交于点、，求的最大值．参考答案：解：（Ⅰ）圆和的普通方程分别是和，∴圆和的极坐标方程为，．（Ⅱ）依题意得点、的极坐标分别为，，∴，，从而，当且仅当，即时，上式取“”，取最大值是4．21.如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．参考答案：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA?DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA?DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥B