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广东省梅州市南口中学2023年高一数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数,若,则实数的取值范围为(
)。
A、
B、
C、
D、参考答案:C2.已知x与y之间的一组数据:x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85,则m的值为()A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5参考答案:D【考点】线性回归方程.【专题】计算题;概率与统计.【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数,写出这组数据的样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程求出m的值.【解答】解:∵==,=,∴这组数据的样本中心点是(,),∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85,∴=2.1×+0.85,解得m=0.5,∴m的值为0.5.故选:D.【点评】本题考查回归分析,考查样本中心点满足回归直线的方程,考查求一组数据的平均数,是一个运算量比较小的题目,并且题目所用的原理不复杂,是一个好题.3.已知,则的大小关系是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D4.定义在(﹣1,1)上的函数f(x)是奇函数,且函数f(x)在(﹣1,1)上是减函数,则满足f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0的实数a的取值范围是()A.[0,1] B.(﹣2,1) C.[﹣2,1] D.(0,1)参考答案:D【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】利用奇函数的定义将不等式等价转化,由f(x)的单调性和定义域列出不等式组,求出实数a的取值范围.【解答】解:∵函数f(x)是在(﹣1,1)上奇函数,∴不等式f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0等价于f(1﹣a2)<﹣f(1﹣a)=f(a﹣1),∵函数f(x)在(﹣1,1)上是减函数,∴,解得0<a<1,则实数a的取值范围是(0,1),故选:D.5.已知函数f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是()A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]参考答案:D【考点】分段函数的应用.【分析】由条件可得,a﹣3<0①,2a>0②,(a﹣3)×1+5≥2a③,求出它们的交集即可.【解答】解:由于函数f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,则x≤1时,是减函数,则a﹣3<0①x>1时,是减函数,则2a>0②由单调递减的定义可得,(a﹣3)×1+5≥2a③由①②③解得,0<a≤2.故选D.6.若直线与直线互相垂直,则的值是(
)A.1或 B.1 C.0或 D.参考答案:A7.若函数是R上的减函数,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.参考答案:C【考点】函数单调性的性质.【分析】根据分段函数是R上的减函数,可得各段上函数均为减函数,且在分界点x=1处,前一段的函数值不小于后一段的函数值.【解答】解:若函数是R上的减函数,则,解得a∈故选C【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质,分段函数的单调性,其中根据分段函数单调性的性质,构造不等式组是解答的关键.8.函数的最小正周期为(
)A.
B.
C.
D.
参考答案:A略9.设集合A和B都是坐标平面上的点集,{(x,y)|x∈R,y∈R},映射f:A→B使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y),则在映射f下,象(2,1)的原象是()A.(3,1)
B.(,)
C.(,-)
D.(1,3)参考答案:B10.函数的定义域是
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=
.参考答案:略12.已知tanx=6,那么sin2x+cos2x=________________.参考答案:13.在△ABC中,a=,b=,B=45°,则A等于__________参考答案:
60°或120°略14.函数f(x)=+的定义域为
.参考答案:(0,1)【考点】函数的定义域及其求法.【分析】函数f(x)=+有意义,只需2﹣2x≥0,lnx≠0,x>0,解不等式即可得到所求定义域.【解答】解:函数f(x)=+有意义,只需2﹣2x≥0,lnx≠0,x>0,解得x≤1,且x≠1,x>0,则函数的定义域为(0,1).故答案为:(0,1).【点评】本题考查函数的定义域的求法,注意偶次根式被开方数非负,分式分母不为0,对数真数大于0,考查运算能力,属于基础题.15.已知全集,且,,则等于_______________.参考答案:略16.已知数列成等差数列,成等比数列,则的值为
☆
.参考答案:17.(5分)计算:sin210°的值为
.参考答案:﹣考点: 诱导公式的作用.专题: 计算题.分析: 利用诱导公式可得sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°,由此求得结果.解答: sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°=﹣,故答案为﹣.点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.某市居民生活用水收费标准如下:用水量(吨)每吨收费标准(元)不超过吨部分超过吨不超过吨部分3超过吨部分已知某用户一月份用水量为吨,缴纳的水费为元;二月份用水量为吨,缴纳的水费为元.设某用户月用水量为吨,交纳的水费为元.(1)写出关于的函数关系式;(2)若某用户希望三月份缴纳的水费不超过元,求该用户三月份最多可以用多少吨水?参考答案:(1)由可得,由可得即(2)当时,;当时,;当时,。令,可知,所以,解得。所以三月份最多可以用11吨水。19.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列的前项和满足(1)求的值;
(2)求的通项公式;(3)是否存在正数使下列不等式:对一切成立?若存在,求出M的取值范围;若不存在,请说明理由参考答案:解:⑴
(2)由.当时,,.,为等差数列,,.
(3)假设存在满足条件,即对一切恒成立.令,,故,,单调递增,,..略20.)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E是PD的中点。(1)求异面直线AC与PB所成角的余弦值;(2)在侧面PAB内找一点N,使得NE⊥平面PAC,并求出点N到直线AB和直线AP的距离。 (要求:不允许用空间向量的方法解题)
参考答案:
略21.(本小题满分12分)学数学,其实是要使人聪明,使人的思维更加缜密,在美国广为流传的一道数学题目是:老板给你两个加工资的方案。一是每年年末加一千元;二是每半年结束时加300元。请选择一种。一般不擅长数学的人很容易选择前者,因为一年加一千元总比两个半年共加600元要多。其实,由于工资累计的,时间稍长,往往第二种方案更有利。例如在第二年的年末,依第一种方案可以加得1000+2000=3000元,而第二种方案在第一年加得300+600=900元,第二年加得900+1200=2100元,总数也是900+2100=3000元。但到了第三年,第一种方案可以得到1000+2000+3000=6000元,第二种方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元,比第一方案多了300元。第四年,第五年会更多。因此,你若会在公司干三年以上,则应选择第二种方案。根据以上材料,解答以下问题:
(1)如果在该公司干10年,问选择第二方案比选择第一方案多加薪多少元?
(2)如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加元,问取何值时,选
择第二方案总是比选择第一方案多加薪参考答案:解:(1)由题意:第一方案每年的加薪额,第二方案每半年的加薪额都构成等差数列第10年末,第一方案加薪总额为:1000+2000+3000+…+10000=55000元…………2分
第二方案加薪总额为:300+300×2+300×3+…+300×20=63000元……………5分所以在该公司干10年,选择第二方案比选择第一方案多加薪:63000-55000=8000元………6分(2)由题意:第n年(n∈N*)选择第二方案总比选择第一方案加薪多,则由等差数列前n项和公式:……………9分化简得:又当……11分答:当时总是选择第二方案比选择第一方案多加薪。……………12分略22.已知函数f(x)=x3-x
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