广东省梅州市南口中学2023年高一数学理联考试题含解析

广东省梅州市南口中学2023年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若，则实数的取值范围为（

）。

A、

B、

C、

D、参考答案：C2.已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5参考答案：D【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．【解答】解：∵==，=，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．3.已知，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.定义在（﹣1，1）上的函数f（x）是奇函数，且函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数，则满足f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0的实数a的取值范围是（）A．[0，1] B．（﹣2，1） C．[﹣2，1] D．（0，1）参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用奇函数的定义将不等式等价转化，由f（x）的单调性和定义域列出不等式组，求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是在（﹣1，1）上奇函数，∴不等式f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0等价于f（1﹣a2）＜﹣f（1﹣a）=f（a﹣1），∵函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴，解得0＜a＜1，则实数a的取值范围是（0，1），故选：D．5.已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，3] C．（0，2） D．（0，2]参考答案：D【考点】分段函数的应用．【分析】由条件可得，a﹣3＜0①，2a＞0②，（a﹣3）×1+5≥2a③，求出它们的交集即可．【解答】解：由于函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则x≤1时，是减函数，则a﹣3＜0①x＞1时，是减函数，则2a＞0②由单调递减的定义可得，（a﹣3）×1+5≥2a③由①②③解得，0＜a≤2．故选D．6.若直线与直线互相垂直，则的值是(

）A.1或 B.1 C.0或 D.参考答案：A7.若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【分析】根据分段函数是R上的减函数，可得各段上函数均为减函数，且在分界点x=1处，前一段的函数值不小于后一段的函数值．【解答】解：若函数是R上的减函数，则，解得a∈故选C【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，分段函数的单调性，其中根据分段函数单调性的性质，构造不等式组是解答的关键．8.函数的最小正周期为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A略9.设集合A和B都是坐标平面上的点集，{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素（x，y）映射成集合B中的元素（x＋y，x－y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（）A．（3，1）

B．（，）

C．（，－）

D．（1，3）参考答案：B10.函数的定义域是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量a=（1，1），b=(1,-1),则向量a-b=

.参考答案：略12.已知tanx=6，那么sin2x+cos2x=________________.参考答案：13.在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A等于__________参考答案：

60°或120°略14.函数f（x）=+的定义域为

．参考答案：（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）=+有意义，只需2﹣2x≥0，lnx≠0，x＞0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数f（x）=+有意义，只需2﹣2x≥0，lnx≠0，x＞0，解得x≤1，且x≠1，x＞0，则函数的定义域为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方数非负，分式分母不为0，对数真数大于0，考查运算能力，属于基础题．15.已知全集，且，，则等于_______________.参考答案：略16.已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为

☆

．参考答案：17.（5分）计算：sin210°的值为

．参考答案：﹣考点： 诱导公式的作用．专题： 计算题．分析： 利用诱导公式可得sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°，由此求得结果．解答： sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣，故答案为﹣．点评： 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市居民生活用水收费标准如下：用水量（吨）每吨收费标准（元）不超过吨部分超过吨不超过吨部分3超过吨部分已知某用户一月份用水量为吨，缴纳的水费为元；二月份用水量为吨，缴纳的水费为元．设某用户月用水量为吨，交纳的水费为元．（1）写出关于的函数关系式；（2）若某用户希望三月份缴纳的水费不超过元，求该用户三月份最多可以用多少吨水？参考答案：（1）由可得，由可得即（2）当时，；当时，；当时，。令，可知，所以，解得。所以三月份最多可以用11吨水。19.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和满足（1）求的值；

（2）求的通项公式；（3）是否存在正数使下列不等式：对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由参考答案：解：⑴

（2）由．当时，，．，为等差数列，，．

（3）假设存在满足条件，即对一切恒成立．令，，故，，单调递增，，．．略20.）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E是PD的中点。（1）求异面直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧面PAB内找一点N，使得NE⊥平面PAC，并求出点N到直线AB和直线AP的距离。 （要求：不允许用空间向量的方法解题）

参考答案：

略21.（本小题满分12分）学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密，在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案。一是每年年末加一千元；二是每半年结束时加300元。请选择一种。一般不擅长数学的人很容易选择前者，因为一年加一千元总比两个半年共加600元要多。其实，由于工资累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利。例如在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000元，而第二种方案在第一年加得300+600=900元，第二年加得900+1200=2100元，总数也是900+2100=3000元。但到了第三年，第一种方案可以得到1000+2000+3000=6000元，第二种方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元。第四年，第五年会更多。因此，你若会在公司干三年以上，则应选择第二种方案。根据以上材料，解答以下问题：

（1）如果在该公司干10年，问选择第二方案比选择第一方案多加薪多少元？

（2）如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加元，问取何值时，选

择第二方案总是比选择第一方案多加薪参考答案：解：（1）由题意：第一方案每年的加薪额，第二方案每半年的加薪额都构成等差数列第10年末，第一方案加薪总额为：1000+2000+3000+…+10000=55000元…………2分

第二方案加薪总额为：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元……………5分所以在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪：63000-55000=8000元………6分（2）由题意：第n年（n∈N*）选择第二方案总比选择第一方案加薪多，则由等差数列前n项和公式:……………9分化简得：又当……11分答：当时总是选择第二方案比选择第一方案多加薪。……………12分略22.已知函数f(x)＝x3－x