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广东省揭阳市锡中学校2022年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.在命题“若抛物线的开口向下,则”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(

)A.都真

B.都假

C.否命题真

D.逆否命题真参考答案:D

解析:原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题2.命题“至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除”,则该命题是(

A.全称命题

B.特称命题

C.“”形式

D.“”形式参考答案:B

解析:命题中含有特称量词“至少有一个”,因此是特称命题.3.在平行四边形ABCD中,,,若,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案:A4.知向量、、中任意二个都不共线,但与共线,且+与共线,则向量++=(

)A. B. C. D.参考答案:D略5.如图,已知,用表示,则(

A.B.C.D.参考答案:B6.已知定义在上的奇函数满足(其中),且在区间上是减函数,令,,则(

)A.

B.C.

D.参考答案:C略7.已知定义在R上的函数f(x),若f(x)是奇函数,f(x+1)是偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,则fA.﹣1 B.1 C.0 D.20152参考答案:A【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形,求出函数的周期,利用函数的周期性和已知的解析式求出f是奇函数,f(x+1)是偶函数,∴f(x+1)=f(﹣x+1),则f(x+2)=f(﹣x)=﹣f(x),即f(x+2)=﹣f(x),∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),则奇函数f(x)是以4为周期的周期函数,又∵当0≤x≤1时,f(x)=x2,∴f=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1,故选:A.8.定义在上的函数,既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期是,且当时,,则的值为() A.

B. C.

D.参考答案:C略9.函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在区间(﹣∞,4)上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣3] B.[3,+∞) C.{﹣3} D.(﹣∞,5)参考答案:A【考点】二次函数的性质.【分析】先求函数的对称轴,然后根据二次项系数为正时,对称轴左边为减函数,右边为增函数建立不等关系,解之即可.【解答】解:函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2的对称轴x=1﹣a,又函数在区间(﹣∞,4)上是减函数,可得1﹣a≥4,得a≤﹣3.故选A.10.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且(2b﹣a)cosC=ccosA,c=3,,则△ABC的面积为()A. B.2 C. D.参考答案:A【考点】HT:三角形中的几何计算.【分析】由正弦定理化简已知等式可得:(2sinB﹣sinA)cosC=sinCcosA,利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB,由sinB≠0,解得cosC=,结合范围0<C<π,可求C的值.由余弦定理得(a+b)﹣3ab﹣9=0,联立解得ab的值,利用三角形面积公式即可得解.【解答】由于(2b﹣a)cosC=ccosA,由正弦定理得(2sinB﹣sinA)cosC=sinCcosA,即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosC=sin(A+C),可得:2sinBcosC=sinB,因为sinB≠0,所以cosC=,因为0<C<π,所以C=.由余弦定理得,a2+b2﹣ab=9,即(a+b)﹣3ab﹣9=0…①,又…②,将①式代入②得2(ab)2﹣3ab﹣9=0,解得ab=或ab=﹣1(舍去),所以S△ABC=absinC=,故选:A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f(1+x)=x2+2x﹣1,则f(x)=__________.参考答案:x2﹣2考点:函数解析式的求解及常用方法.专题:计算题;函数思想;函数的性质及应用.分析:直接利用配方法,求解函数的解析式即可.解答:解:f(1+x)=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2,则f(x)=x2﹣2.故答案为:x2﹣2.点评:本题考查函数的解析式的求法,考查计算能力12.如图,二面角等于120°,A、B是棱上两点,AC、BD分别在半平面、内,,,且,则CD的长等于______.参考答案:2【分析】由已知中二面角α﹣l﹣β等于120°,A、B是棱l上两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,由,结合向量数量积的运算,即可求出CD的长.【详解】∵A、B是棱l上两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于120°,且AB=AC=BD=1,∴,60°,∴故答案为:2.【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题,其中利用,结合向量数量积的运算,是解答本题的关键.13.已知:在锐角三角形中,角对应的边分别是,若,则角为

.参考答案:14.求值:_____________。

参考答案:

15.正三角形ABC的边长为a,利用斜二测画法得到的平面直观图为△A′B′C′,那么△A′B′C′的面积为.参考答案:【考点】LB:平面图形的直观图.【分析】斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以.【解答】解:∵正三角形ABC的边长为a,∴=,∴==.故答案为:.16.某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1-200编号,并按编号顺序平均分为40组(1-5号,6-10号…,196-200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是

.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取

人.

图2参考答案:37,

20略17.已知函数f(2x﹣1)=3x+2,则f(5)=.参考答案:11【考点】函数的值.【专题】计算题;规律型;函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可.【解答】解:函数f(2x﹣1)=3x+2,则f(5)=f(2×3﹣1)=3×3+2=11.故答案为:11.【点评】本题考查函数的解析式的应用,函数值的求法,考查计算能力.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半,求:(1)动点M的轨迹方程;(2)若N为线段AM的中点,试求点N的轨迹.参考答案:解:(1)设动点M(x,y)为轨迹上任意一点,则点M的轨迹就是集合P={M||MA|=|MB|}.由两点间距离公式,点M适合的条件可表示为=.平方后再整理,得x2+y2=16.

可以验证,这就是动点M的轨迹方程.(2)设动点N的坐标为(x,y),M的坐标是(x1,y1).由于A(2,0),且N为线段AM的中点,所以x=,y=.所以有x1=2x-2,y1=2y.①由(1)知,M是圆x2+y2=16上的点,所以M的坐标(x1,y1)满足x+y=16.②将①代入②整理,得(x-1)2+y2=4.

所以N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.19.(本题10分)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是,已知

.(1)判断△ABC的形状;(2)若,求角B的大小参考答案:由

则由

则又∵∴

∴由得,由正弦定理由

∴∴B=600

略20.设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t(t>0,n=2,3,4…)(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使,求数列{bn}的通项bn;(3)求和:b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1.参考答案:【考点】8E:数列的求和;88:等比数列的通项公式.【分析】(1)通过3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t与3tSn﹣1﹣(2t+3)Sn﹣2=3t作差、整理得(n=2,3,…),进而可得结论;(2)通过(1)可知bn=f+bn﹣1,即数列{bn}是一个首项为1、公差为的等差数列,进而即得结论;(3)通过bn=可知数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和、公差均为的等差数列,并项取公因式,计算即得结论.【解答】(1)证明:∵a1=S1=1,S2=1+a2,∴a2=又3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t

①∴3tSn﹣1﹣(2t+3)Sn﹣2=3t

②①﹣②得:3tan﹣(2t+3)an﹣1=0,∴,(n=2,3,…)∴{an}是一个首项为1、公比为的等比数列;(2)解:∵f(t)=,∴bn=f+bn﹣1.∴数列{bn}是一个首项为1、公差为的等差数列.∴bn=1+(n﹣1)=;(3)解:∵bn=,∴数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和,公差均为的等差数列,于是b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1=b2(b1﹣b3)+b4(b3﹣b5)+b6(b5﹣b7)+…+b2n(b2n﹣1+b2n+1)=﹣(b2+b4+…+b2n)=﹣=﹣(2n2+3n).【点评】本题考查数列的通项及前n项和,注意解题方法的积累,属于中档题.21.(12分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)(1)若f(x0)=2,求f(3x0)(2)若f(x)的图象过点(2,4),记g(x)是f(x)的反函数,求g(x)在区间[]上的值域.参考答案:考点: 函数的值;反函数.专题: 计算题;函数的性质及应用.分析: (1)由函数的表达式,得=2,而f(3x0)=,结合指数运算法则,得f(3x0)=23=8;(2)由f(x)的图象过点(2,4),解出a=2(舍负),从而f(x)的解析式为f(x)=2x,其反函数为g(x)=log2x,由对数函数的单调性和对数运算法则,不难得到g(x)在区间[]上的值域.解答: (1)∵f(x0)==2,∴f(3x0)==()3=23=8…4分(2)∵f(x)的图象过点(2,4),∴f(2)=4,即a2=4,解之得a=2(舍负)…6分

因此,f(x)的表达式为y=2x,∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=log2x,…8分∵g(x)区间[]上的增函数,g()=log2=﹣1,g(2)=log22=1,∴g(x)在区间[]上的值域为[﹣1,1].…12分点评: 本题给出指数函数,在已知图象经过定点的情况下求它的反函数的值域,着重考查了指对数函数的图象与性质和指对数运算法则等知识,属于基础题.22.已知函数f(x)=sin(x∈R).任取t∈R,若函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)﹣m(t).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程(Ⅱ)当t∈[﹣2,0]时,求函数g(t)的解析式(Ⅲ)设函数h(x)=2|x﹣k|,H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8,其中实数k为参数,且满足关于t的不等式k﹣5g(t)≤0有解.若对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,求实数k的取值范围参考公式:sinα﹣cosα=sin(α﹣)参考答案:【考点】正弦函数的图象;三角函数的最值.【专题】分类讨论;综合法;分类法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.【分析】(Ⅰ)根据正弦函数的周期性和图象的对称性,求得函数f(x)的最小正周期及对称轴方程.(Ⅱ)当t∈[﹣2,0]时,分类讨论求得M(t)和m(t),可得g(t)的解析式.(Ⅲ)由题意可得函数H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8在[4,+∞)上的值域是h(x)在[4,+∞)上的值域的子集,分类讨论求得k的范围.【解答】解:(Ⅰ)对于函数f(x)=sin(x∈R),它的最小正周期为=4,由=kπ+,求得x=2k+1,k∈Z,可得f(x)的对称轴方程为x=2k+1,k∈Z.(Ⅱ)当t∈[﹣2,0]时,①若t∈[﹣2,﹣),在区间[t,t+1]上,M(t)=f(t)=sin,m(t)=f(﹣1)=﹣1,g(t)=M(t)﹣m(t)=1+sin.②若t∈[﹣,﹣1),在区间[t,t+1]上,M(t)=f(t+1)=sin(t+1)=cost,m(t)=f(﹣1)=﹣1,g(t)=M(t)﹣m(t)=1+cos.③若t∈[﹣1,0],在区间[t,t+1]上,M(t)=f(t+1)=sin(t+1)=cost,m(t)=f(t)=sint,g(t)=M(t)﹣m(t)=cost﹣sin.综上可得,g(t)=.(Ⅲ)函数f(x)=sin的最小正周期为4,∴M(t+4)=M(t),m(t+4)=m(t).函数h(x)=2|x﹣k|,H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8,对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,即函数H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8在[4,+∞)上的值域是h(x)在[4,+∞)上的

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