广东省揭阳市塔头中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

广东省揭阳市塔头中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．【解答】解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．2.命题p:“矩形的两条对角线相等”的逆命题是（

）A.两条对角线相等的四边形是矩形

B.矩形的两条对角线不相等

C.有的矩形两条对角线不相等

D.对角线不相等的四边形不是矩形参考答案：A略3.以下四个结论：①若aα,bβ，则a,b为异面直线；②若aα,bα，则a,b为异面直线；③没有公共点的两条直线是平行直线；④两条不平行的直线就一定相交．其中正确答案的个数是

()

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：A4.如果执行右面的程序框图，那么输出的S等于（

）A．45

B．55

C．90

D．110参考答案：B5.函数y＝lg的定义域为(

)．A．{x｜x＜0}

B．{x｜x＞1}C．{x｜0＜x＜1}

D．{x｜x＜0或x＞1}参考答案：D6.已知随机变量的值等于（

）A．0.5

B．0.2

C．0.3

D．0.4参考答案：D略7.函数有且仅有两个不同的零点，则的值为（

）A．

B．

C．

D．不确定参考答案：C略8.已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（

）A.0 B. C.0或 D.以上都不对参考答案：B【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，则∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB?平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE，不满足AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ综上所述，得所求余弦值为故选B.【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题．9.若函数,则该函数在上是

(

)

单调递减无最小值

单调递减有最小值

单调递增无最大值

单调递增有最大值参考答案：A略10.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根参考答案：A【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知单位正方形，点为中点．以为原点，分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，则：（1）点坐标为__________．（2）若点满足：在直线上，且面，则点坐标为__________．参考答案：（1）．（2）．（1）∵是单位正方体，∴棱长为，∴，，∴由中点坐标公式得．（2）易知当为中点时，，从而平面，∴．12.若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于

。

参考答案：13.已知函数，则__________．参考答案：0【分析】利用分段函数逐步求解函数值即可．【详解】函数f（x），则故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，对数运算法则以及三角函数化简求值，考查计算能力．14.设，在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为__＊＊＊___．参考答案：3略15.已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=1，过动点P（a，b）分别作圆C1、圆C2的切线PM、PN（M、N分别为切点），若PM=PN，则+的最小值是．参考答案：【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【专题】计算题．【分析】利用PM=PN，求出动点P的轨迹方程，把+转化为轨迹上的点，到原点与（5，﹣1）的距离之和的最小值．【解答】解：因为圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=1，过动点P（a，b）分别作圆C1、圆C2的切线PM、PN（M、N分别为切点），若PM=PN，所以P的轨迹为：C1C2的中垂线y=上+表示点P到点C1（0，0）和点B（5，﹣1）的距离之和即：y=|C1P|+|BP|∵|C1P|=|C2P|∴y=|C2P|+|BP|根据两边之和大于第三边∴y=|C2P|+|BP|≥|C2B|==．故答案为：．【点评】本题是中档题，考查轨迹方程的求法，转化思想的应用，计算能力，注意C1，B在直线的同一侧，是易错点．16.如图，在等腰直角三角形中，，是的重心，是内的任一点（含边界），则的最大值为_________参考答案：4略17.若向量，满足条件，则x=

▲

参考答案：2依题意可得，，所以由，所以.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)在△ABC中，已知，b=1，B=300.(1)求出角C和A；(2)求△ABC的面积S；(3)将以上结果填入下表.参考答案：解：(1)∵，∴，又∵0<C<π，∴C=600或C=1200.

……4分(2)当C=600时，A=900，∴.

……6分当C=1200时，A=300，∴.

……8分(3)

CAS情况①600900情况②1200300……10分19.倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标F（1，0），用点斜式求出直线方程即可．（2）联立直线方程与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．【解答】解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1?x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=?=8．20.设函数，其中.（1）若存在，使得,求整数的最大值；（2）若对任意的，都有，求的取值范围.参考答案：解：（1），令得，当变化时，和的变化情况如下：02

-0+

单调递减极小值单调递增1可得，，.要使存在，使得，只需，故整数的最大值为.（2）由（1）知，在上，，要满足对任意的，都有，只需在上恒成立，

即在上恒成立，分离参数可得：，令，可知，当单调递增，当单调递减，

所以在处取得最大值，所以的取值范围是.略21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD?cos45°=，∵，∴由DF⊥GC，可得．考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．专题：证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知考查PG，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理即可求得cos∠PCH的值．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，可证FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD?cos45°=，由DF⊥GC，即可求得的值．解答：解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由