广东省揭阳市城关中学2021-2022学年高三数学文联考试卷含解析

广东省揭阳市城关中学2021-2022学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A=﹥0

｝则AB=A

B

C

D或

参考答案：B【知识点】集合的运算A1解析：因为集合，所以,，故，故选择B.【思路点拨】根据含绝对值的不等式以及对数不等式的解法，求得集合A与B，再根据交集运算定义求得结果.2.把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an=2009，则n=（）A．1026B．1027C．1028D．1029参考答案：B略3.函数的零点一定位于区间（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：A4.设函数，若时，恒成立，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A略5.若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（

）A.4

B.

C.2

D.参考答案：D略6.在△ABC中，A、B、C为其三内角，满足tanA、tanB、tanC都是整数，且，则下列结论中错误的是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】首先判断出A、B、C均为锐角，根据tanA、tanB、tanC都是整数，求得tanA、tanB、tanC的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于，所以B、C都是锐角，又tanB、tanC都是正整数，这样，可见A也是锐角.这时，，，.有，即.但是，，比较可知只可能，，.由可知，选项B是正确的.至于选项C和D，由，可知，又，故选项C正确；又由，选项D正确、A选项错误.故选：A.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查三角形内角和定理，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.7.函数2f(x)＝log2x的定义域是[2，8]，则f(x)的反函数f－1(x)的定义域是A．[1，3]B．[2，8]C．[1，4]D．[2，4]参考答案：A略8.设变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小值为（）A．0 B． C．1 D．参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图，z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，由图象知：OA的距离最小，原点到直线2x+y﹣2=0的距离最小．由=，则x2+y2的最小值为：，故选：B．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知平面外不共线的三点到α的距离都相等,则正确的结论是()A.平面必平行于

B.平面必与相交C.平面必不垂直于

D.存在△的一条中位线平行于或在内参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.化简：=．参考答案：4sinθ【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接由三角函数的诱导公式化简计算得答案．【解答】解：==4sinθ，故答案为：4sinθ．12.已知△ABC外接圆O的半径为2，且，，则______.参考答案：12【分析】由可知，点是线段的中点，是外接圆的圆心，可以判断是以为斜边的直角三角形，又，可得,,利用向量数量积的定义求出的值.【详解】因为，所以点是线段的中点，是外接圆的圆心，因此是以为斜边的直角三角形，又因为，所以,因此,，所以【点睛】本题考查了平面向量的加法几何意义、考查了平面向量数量积运用，解题的关键是对形状的判断.13.函数的单调递增区间为

.参考答案：

(端点取值可以包含)14.已知等差数列的前项和为，若，则等于__________参考答案：84略15.已知函数则=

．参考答案：1016.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，极坐标为的点到直线上点的距离的最小值为

.参考答案：2略17.将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数的单调递增区间为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣1．（1）对于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对任意实数x1∈．存在实数x2∈，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤，运用二次函数的最值的求法，可得右边函数的最小值，解不等式可得m的范围；（2）f（x）在的值域为A，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域为B，由题意可得A?B．分别求得函数f（x）和h（x）的值域，注意讨论对称轴和零点，与区间的关系，结合单调性即可得到值域B，解不等式可得a的范围．【解答】解：（1）对于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，即为4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤，由g（x）==4（+）2﹣，当x=2，即=时，g（x）取得最小值，且为1，即有4m2≤1，解得﹣≤m≤；（2）对任意实数x1∈．存在实数x2∈，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，可设f（x）在的值域为A，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域为B，可得A?B．由f（x）在递增，可得A=；当a＜0时，h（x）=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2，（1≤x≤2），在递增，可得B=，可得﹣a≤0＜3≤6﹣2a，不成立；当a=0时，h（x）=2x2﹣2，（1≤x≤2），在递增，可得B=，可得0≤0＜3≤6，成立；当0＜a≤2时，由h（x）=0，解得x=＞1（负的舍去），h（x）在递减，递增，即有h（x）的值域为，即为，由0≤0＜3≤6﹣2a，解得0＜a≤；当2＜a≤3时，h（x）在递减，递增，即有h（x）的值域为，即为，由0≤0＜3≤a，解得a=3；当3＜a≤4时，h（x）在递减，可得B=，由2a﹣6≤0＜3≤a，无解，不成立；当4＜a≤6时，h（x）在递增，在递减，可得B=，由2a﹣6≤0＜3≤2a，不成立；当6＜a≤8时，h（x）在递增，在递减，可得B=，由a≤0＜3≤2a，不成立；当a＞8时，h（x）在递增，可得B=，A?B不成立．综上可得，a的范围是0≤a≤或a=3．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，考查函数的单调性的运用：求值域，考查运算能力和推理能力，属于难题．19.已知，且．（1）求的最大值；（2）证明：．参考答案：（1），（2）（1）．当且仅当取“＝”．所以，的最大值为．（2） ．当且仅当取“＝”． 10分20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若E是PB的中点，若AE与平面ABCD所成角为45°，求三棱锥P﹣ACE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）利用勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由PC⊥平面ABCD得出AC⊥PC，故而AC⊥平面PBC，从而得出PMACE⊥平面PBC；（II）取BC的中点F，连接EF，AF，则可证EF⊥平面ABCD，即∠EAF为AE与平面∠平面ABCD所成的角，利用勾股定理求出AF，则EF=AF．由E为PB的中点可知VP﹣ACE=VE﹣ABC=．【解答】证明：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，又∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．解：（Ⅱ）取BC的中点F，连接EF，AF，∵E，F是PB，BC的中点，∴EF∥PC，由PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．∴∠EAF为AE与平面ABCD所成角．即∠EAF=45°．∵AF==，∴EF=AF=．∵E是PB的中点，∴VP﹣ACE=VE﹣ABC===．21.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=，且直线l经过点F（﹣，0）（I）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，将曲线C转化成直角坐标方程；则直线l的普通方程x﹣y=m，将F代入直线方程，即可求得m，求得直线l的普通方程；（Ⅱ）由（I）可知：设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点（2cosθ，sinθ），则L=2（4cosθ+2sinθ）=4sin（θ+φ），根据正弦函数的性质，即可求得L的最大值．【解答】解：（I）由曲线C的极坐标方程：ρ2=，即ρ2+ρ2sin2θ=4，将ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，代入上式，化简整理得：；直线l的普通方程为x﹣y=m，将F代入直线方程，则m=，∴直线l的普通方程为x﹣y+=0；（Ⅱ）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点（2cosθ，sinθ），（0＜θ＜），∴椭圆C的内接矩形的周长L=2（4cosθ+2sinθ）=4sin（θ+φ），tanφ=，∴曲线C的内接矩形的周长为L的最值为4．22.（本小题满分14分）某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨