广东省惠州市第四中学2021-2022学年高二数学文月考试题含解析

广东省惠州市第四中学2021-2022学年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致是（

）参考答案：【知识点】函数的图象.【答案解析】A解析：解：因为函数，所以==，故函数为偶函数，可排除B、C.又当时，，排除D.故选：A．【思路点拨】通过函数的奇偶性，排除部分选项，然后利用时的函数值，判断即可．2.如图描述的程序是用来(

)A.计算2×10的值

B.计算29的值C.计算210的值

D.计算1×2×3×…×10的值参考答案：C3.准线为的抛物线的标准方程为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略4.

参考答案：D略5.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.

B．1C．2D．4参考答案：C6.正项等比数列{an}中，，则＝（

）A.－1 B.1 C.2 D.0参考答案：Blga3＋lga4＝lg(a3a4)＝lg(a2a5)＝lg10＝1.选B.7.参考答案：B8.如果直线（，）和函数（，）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据指数函数的性质，求得函数恒过定点，求得，又由始终落在所给圆的内部或圆上，得，联立方程组，得到点在以和为端点的线段上运动，利用斜率公式，即可求解．【详解】根据指数函数的性质，可得函数，恒过定点.将点代入，可得.由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以.又由解得或，所以点在以和为端点的线段上运动，当取点时，，取点时，，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程的应用，以及对数函数的性质和直线的斜率公式的应用，其中解答中根据题意，得到点在以和为端点的线段上运动是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．9.若则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A若，则，，所以方程表示双曲线，若方程表示双曲线，则，所以或，综上可知，“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，所以选A．10.观察等式：，……，由此得出以下推广命题不正确的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知绕原点逆时针旋转变换矩阵为，则其旋转角θ（θ∈上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为

．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．12.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于

.参考答案：根据“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，则，，∵，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴黄金双曲线”的离心率e等于．

13.过抛物线的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则＝

参考答案：略14.已知的取值如下表所示：x0134y6.7从散点图分析，与线性相关，且，则

．参考答案：2.6略15.双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由两直线垂直的条件可得渐近线的斜率为2，即有b=2a，再求c=a，运用双曲线的定义和条件，解得三角形AF2F1的三边，再由余弦定理，即可得到所求值．【解答】解：由于双曲线的一条渐近线y=x与直线x+2y+1=0垂直，则一条渐近线的斜率为2，即有b=2a，c=a，|F1A|=2|F2A|，且由双曲线的定义，可得|F1A|﹣|F2A|=2a，解得，|F1A|=4a，|F2A|=2a，又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得cos∠AF2F1==，故答案为．16.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为__________。参考答案：略17.已知函数，，若与的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是__________．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：的长轴长为4，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS，BS与直线：分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆长轴长、离心率和可构造方程组求得，进而可得椭圆方程；（2）设直线的方程为：，得；代入椭圆方程可求得，从而得到直线的方程，代入椭圆方程可求得；从而可得，利用基本不等式求得最小值.【详解】（1）由题意得：，故

，所求的椭圆方程为：（2）依题意，直线的斜率存在，且故可设直线的方程为：，可得：由得：设，则，得：，从而即又由可得直线的方程为：化简得：由得：

故又

当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线与椭圆综合应用中的最值类问题的求解.解决最值类问题的关键是能够将所求长度转变为关于某一变量的函数关系式，采用基本不等式或者函数求值域的方法来求解最值.19.（本小题满分14分）已知函数(a为常数)

（1）当时，分析函数的单调性；

（2）当a>0时，试讨论曲线与轴的公共点的个数参考答案：解：（1）若，则,∴在上单调递增……4分

（2）

………6分①若，则；当时，；当时，在，（，内单调递增，

在内单调递减的极大值为,的图象与轴只有一个交点

……………9分

②若，则,∴在上单调递增,又的图象与轴有且只有一个交点

……10分③若，

当或时，；当时，

在，（1，内单调递增，在内单调递减的极大值为,

的图象与轴只有一个公共点

………13分综上所述，当时，的图象与轴有且只有一个公共点

………14略20.已知椭圆的右焦点为F，过F的直线l交椭圆于P，Q两点(直线l与坐标轴不垂直)，若PQ的中点为N，O为坐标原点，直线ON交直线于M.

(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的最大值.参考答案：(1)联立可得.设P点的坐标为，Q点的坐标为，则，.于是有.因为PQ的中点为N，所以.因此ON的斜率为.因为直线ON交直线于M，所以.故MF的斜率为，

即得.因此MF与PQ垂直，.

………………6分(2)设.令，则.由于，故.因此(当时取到最大值，也即).综上所述，的最大值为.

………………12分21.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少?参考答案：解:设矩形的长宽分别为,则有,,

面积,当且仅当时取“＝”,故当长宽都为9m时,面积最大为81.略22.已知函数，其中（1）判断并证明在上的单调性；（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求实数的值，并求出不动点；（3）若存在使成立,求实数的取值范围．参考答案：解：（1）在上增函数

…………