广东省惠州市矮陂中学2023年高二数学文下学期期末试题含解析

广东省惠州市矮陂中学2023年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A=，，已知∈B,且B中含有3个元素，则集合B有(

)

A．A个

B．C个

C．A个

D．C个参考答案：B略2.已知函数f（x）=|x|?ex（x≠0），其中e为自然对数的底数，关于x的方程有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】写出分段函数，利用导数研究单调性和极值，画出图形的大致形状，结合关于x的方程有四个相异实根列式求得实数λ的取值范围．【解答】解：f（x）=|x|?ex=．当x＞0时，由f（x）=x?ex，得f′（x）=ex+x?ex=ex（x+1）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；当x＜0时，由f（x）=﹣x?ex，得f′（x）=﹣ex﹣x?ex=﹣ex（x+1）．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值为f（﹣1）=．作出函数f（x）=|x|?ex（x≠0）的图象的大致形状：令f（x）=t，则方程化为，即t2﹣λt+2=0，要使关于x的方程有四个相异实根，则方程t2﹣λt+2=0的两根一个在（0，），一个在（）之间．则，解得λ＞2e+．∴实数λ的取值范围是（2e+，+∞）．故选：D．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数求极值，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．3.某中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；

③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A、①③都可能为分层抽样

B、②④都不能为分层抽样C、①④都可能为系统抽样

D、②③都不能为系统抽样参考答案：A4.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B5.定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f'（x1）=，f'（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，1）参考答案：A【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据定义得出=8a2﹣2a，相当于6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a的范围即可．【解答】解：f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上的“双中值函数”，∴=8a2﹣2a，∵f'（x）=6x2﹣2x，∴6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，令g（x）=6x2﹣2x﹣8a2+2a，∴△=4+24（8a2﹣2a）＞0，g（0）＞0，g（2a）＞0，2a＞，∴＜a＜．故选A．【点评】考查了新定义类型题的解题方法，重点是对新定义性质的理解．6.函数的最小值是(

)A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C7.设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是(

)参考答案：C略8.幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则()A．－1＜n＜0，＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1

D．n＜－1，m＞1参考答案：B9.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且，（），若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B10.从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是(

)A、

B、

C、

D、参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于x的不等式的解集为，则实数m=____________.参考答案：【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x＝m，x＝1是方程2x2﹣3x+a＝0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【详解】由题意得：1为的根，所以，从而故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．12.平行六面体的所有棱长均为2，,那么二面角的余弦值为____________.参考答案：13.已知双曲线的准线过椭圆的焦点，且直线与椭圆在第一象限至多只有一个交点，则实数的取值范围为____________.参考答案：14.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是___________参考答案：15.已知实数x，y，满足xy=1，且x＞2y＞0，则的最小值为．参考答案：4【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据分式中分母的特征，将分子配方，即可拆成基本不等式的形式，从而获得最小值．【解答】解：∵xy=1，且x＞2y＞0，∴．当且仅当即x﹣2y=2时，取“=”号，此时，联立xy=1，得时，有最小值4．故答案为：4．【点评】1．解决本题的突破口是：平方、拆项，化为基本不等式的形式．应学会一些常见的变形技巧．2．利用基本不等式时，应注意是否满足条件“一正，二定，三相等”，否则取不到最值．16.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有____________种。（用数字作答）参考答案：36种略17.若等差数列{an}中有a6+a9+a12+a15=20，则其前20项和等于

．参考答案：100【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由等差数列{an}中有a6+a9+a12+a15=20，知a1+a20=10，由此能求出其前20项和．【解答】解：等差数列{an}中，∵a6+a9+a12+a15=2（a1+a20）=20，∴a1+a20=10，∴=10×10=100．故答案为：100．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分8分）如右图为一组合几何体，其底面为正方形，平面，，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积；（Ⅲ）求该组合体的表面积．参考答案：19.已知点A（0，﹣6），B（1，﹣5），且D为线段AB的中点．（Ⅰ）求中点D的坐标；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线的方程．参考答案：【考点】待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由已知条件求出AB的中点坐标为（，﹣），（Ⅱ）求出kAB=1，由此能求出线段AB的垂直平分线的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，﹣6），B（1，﹣5），∴AB的中点D坐标为（，﹣），（Ⅱ）kAB==1，∴线段AB的垂直平分线的斜率是﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y+=﹣（x﹣），整理，得x+y+5=0．【点评】本题考查线段AB的垂直平分线的方程的求法，是基础题，解题时要注意中点坐标公式和直线与直线垂直的性质的合理运用．20.(本小题10分)若函数，当时，函数有极值．（1）求函数的解析式；（2）若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围．参考答案：f′(x)＝3ax2－b.(1)由题意得f′(2)＝0

f(x)＝

解得故f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)－因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以

－<k<.21.(10分)已知x，y都是正数．若3x＋2y＝12，求xy的最大值；

参考答案：解xy＝·3x·2y≤2＝6.当且仅当即时取“＝”号．所以当x＝2，y＝3时，xy取得最大值6.22.（本题满分14分）如图表4，在棱长为1的正方体中，点E是棱上的动点，F，G分别是的中点.（1）求证：.（2）当点E是棱上的中点时，求异面直线EF与CG所成角的余弦值.（3）当二面角达到最大时，求其余弦值.参考答案：（1）方法一：F为BD的中点，………………1分又面ABCD，……2分，面……3分面，……4分；方法二：以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.则,,设.……1分则,…………2分………3分故……………………4分（2）方法一：连接.当点E是棱上的中点时，因为为的中点，由正方体的性质知ks5u故或其补角为异面直线EF与CG所成角.…………5分在中，……………6分在中，………7分在中，……8分故，在中，异面直线EF与CG所成角的余弦值为……9分；方法二：………………6分设异面直线EF与CG所成角为，则……8分异面直线EF与CG所成角的余弦值为………………9分（3）方法一：面，………………10分故为二面角的平面角，……………