广东省惠州市东江中学高三数学文模拟试卷含解析

广东省惠州市东江中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，且，则“函数”在R上是增函数”是“函数”在R上是增函数”的(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：D.函数在R上是增函数，即；但当时,函数在R上不是增函数.函数在R上是增函数时,可有,此时函数在R上不是增函数.2.在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32 B．0 C．32 D．1参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【专题】转化思想；定义法；二项式定理．【分析】由二项式系数的性质求出n的值，再令x=1求出展开式中各项系数的和．【解答】解：二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5；令x=1，可得展开式中各项系数的和为（3×12﹣）5=32．故选：C．【点评】本题考查了二项式系数和与展开式中各项系数的和的计算问题，是基础题．3.动点在圆上运动，它与定点B（3,0）连线的中点的轨迹方程式（

）ABCD参考答案：C4.设全集为实数集，，则为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A． B．﹣3 C． D．3参考答案：A【考点】直线的斜率．【专题】计算题．【分析】设出直线的方程为y=kx+b，根据平移规律，对x左加右减，对y上加下减，得到平移后的直线方程，根据平移后的直线方程与y=kx+b重合，令y相等即可求出k的值．【解答】解：设直线l的方程为y=kx+b，根据题意平移得：y=k（x+3）+b+1，即y=kx+3k+b+1，则kx+b=kx+3k+b+1，解得：k=﹣．故选A．【点评】此题考查学生掌握函数图象平移的规律，是一道基础题．6.直线x﹣y+m=0与圆x2+y2=1相交的一个充分不必要条件是（）A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把直线与圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即△＞0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条件．【解答】解：联立直线与圆的方程，消去y得：2x2+2mx+m2﹣1=0，由题意得：△=（2m）2﹣8（m2﹣1）=﹣4m2+8＞0，解得：﹣＜m＜，∵0＜m＜1是﹣＜m＜的一个真子集，∴直线x﹣y+m=0与圆x2+y2=1相交的一个充分不必要条件是0＜m＜1．故选A．7.已知函数，若，则实数的值等于(

)

A．－3

B．－1

C．1

D．3参考答案：A略8.已知变量满足条件，则目标函数的最大值是(

)

A．2

B.3

C．4

D．5参考答案：D9.（07年宁夏、海南卷文）已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：答案：D解析：如图，

10.已知实数x，y满足，则的最大值是（

）A．4

B．7

C.8

D．参考答案：B作出可行域，如图所示：当直线经过点B时，最大，即，故选：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=

．参考答案：考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，得到DE是△BDC的中线，利用中线的性质可得．解答： 解：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，则E是BC的中点，，所以﹣2，所以=．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算．12.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)=f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=

参考答案：，

略13.已知数列、都是等差数列，、分别是它们的前项和，且，则的值为_______________．参考答案：14.若满足约束条件，则的最小值为____________.

参考答案：

做出做出不等式所表示的区域如图，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最小,最小值为.15.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问

(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.参考答案：甲16.函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点

。参考答案：17.在等比数列中，，则

，为等差数列，且，则数列的前5项和等于

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015?上饶三模）已知圆A：（x+1）2+y2=，圆B：（x﹣1）2+y2=，动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，（1）记动圆圆心D的轨迹为曲线C，求C的方程；（2）M?N是曲线C和x轴的两个交点，P是曲线C上异于M?N的一点，求证kPM．kPN为定值；（3）过B点作两条互相垂直的直线l1，l2分别交曲线C于E?F?G?H，求四边形EGFH面积的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．

专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由动圆M和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得MA+MB=4，即可求C的方程；（2）由题意可得，M（﹣2，0），N（2，0），设P（x0，y0），求出斜率，即可得出kPM．kPN为定值；（3）联立直线方程和椭圆方程，求出EF?GH，可得四边形EGFH面积，换元，即可得出取值范围．解答：解：（1）设动圆圆心M（x，y），半径为r，由动圆M和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得，所以MA+MB=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）则M是以AB为焦点的椭圆，，所以曲线C的方程为．﹣﹣3分（2）由题意可得，M（﹣2，0），N（2，0），设P（x0，y0），则有，那么kPM?kPN=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）（Ⅰ）当l1、l2中有一条斜率不存在时，不妨设l1⊥x轴，则l2与x轴重合．则EF=3，MN=4，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）当l1、l2的斜率均存在时，不妨设l1的斜率为k（k≠0），则l2的斜率为，设E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），因为B（1，0），所以联立直线方程和椭圆方程，有，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以将k换为，有x3+x4=，x3x4=，GH=，则SEGFH==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设t=1+k2，则t＞1，那么SEGFH===当t=2，即k=±1时，SEGFH取最小值，当t→+∞时，SEGFH→6．综上所述，四边形EGFH面积的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查四边形面积的计算，属于中档题．19.已知各项均大于1的数列满足：。（I）求证：数列是等比数列；（II）求证：。参考答案：略20.(本题满分14分)第1小题满分6分,第2小题满分8分

如图,直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

(1)求点Q的坐标；(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时,求ΔOPQ面积的最大值.

参考答案：

解析：(1)解方程组y=x得X1=－4,

x2=8y=x2－4y1=－2,

y2=4

即A(－4,－2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).

由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2).

令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)

(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,x2－4).

∵点P到直线OQ的距离d==,

,∴SΔOPQ==.

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,

∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.

∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8]上单调递增,

∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值30.21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M为AC的中点，N为PD上一点．（1）若MN∥平面ABP，求证：N为PD的中点；（2）若平面ABP⊥平面APC，求证：PC⊥平面ABP．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接BD，由四边形ABCD为矩形得：M为AC和BD的中点，证明MN∥BP，即可证明N为PD的中点；（2）若平面ABP⊥平面APC，过点B作BE⊥AP于E，则BE⊥平面APC，证明：AB⊥PC，BE⊥PC，即可证明PC⊥平面ABP．【解答】证明：（1）连接BD，由四边形ABCD为矩形得：M为AC和BD的中点，∵MN∥平面ABP，MN?平面BPD，平面BPD∩平面ABP=BP，∴MN∥BP，…∵M为AC的中点，∴N为PD的中点．…（2）在△ABP中，过点B作BE⊥AP于E，∵平面ABP⊥平面APC，平面ABP∩平面APC=AP，BE?平面ABP，BE⊥AP∴BE⊥平面APC，…又PC?平面APC，∴BE⊥PC．∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC，又AB⊥BP，BC∩BP=B，BC，BP?平面BPC，∴AB⊥平面BPC，…∴AB⊥PC，又BE⊥PC，AB?平面ABP，BE?平面ABP，AB∩BE=B，∴PC⊥平面ABP．…22.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年12345678910旅游人数y（万人）300283321345372435486527622800

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（a精确到个位，b精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①②3040714607

参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数．③参考数据：，．5．54496．058341959．00

表中．参考答案：(1)(2)见解析【分析】（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据，30407>14607，可得，从而得，进而可得结果.【详解】（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程，，模型②的回归