广东省惠州市水口中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省惠州市水口中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.的展开式中，常数项等于（

）A.15

B.10

C.

D.参考答案：A2.“”是“”的（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略3.集合，，则下列关系中，正确的是(

)A．

；B.；C.；D.参考答案：D4.已知i是虚数单位，复数=1﹣bi，其中a、b∈R，则|a+bi|等于（） A．﹣1+2i B． 1 C． D． 5参考答案：C5.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω，由五点法作图求出ω的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=﹣2，2sinφ=，∴sinφ=，结合|φ|＜，可得φ=．再根据五点法作图可得ω×+=π，求得ω=2，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6.定义在R上的函数，在上是增函数，且函数是偶函数，当，且时，有

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.设，，，，则的大小关系是（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略8.已知命题，，则（）（Ａ）， （Ｂ），（Ｃ）， （Ｄ），参考答案：C略9.设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M一N=240，则展开式中x的系数为A．-150

B．150

C．300

D．-300参考答案：B略10.从1至169的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有A.88种

B.89种

C.90种

D.91种参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线在原点处的切线方程是，则实数

。参考答案：212.已知函数,则不等式的解集为_____________．参考答案：略13.设为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足(P与A不重合），Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC,有下列命题：

①若QA=QP，。，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上;

②若QA=QP,则；

③若QA>QP,，则；

④若QA>QP，则P在△ABC内部的概率为分别表示△ABC与的面积)．

其中不正确的命题有__________（写出所有不正确命题的序号）．参考答案：①③④14.已知：，则的取值范围是_______参考答案：由得，，易得，故，.15.已知x＞2，则+x的最小值为

．参考答案：4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：∵x＞2，∴+x=+（x﹣2）+2≥=4，当且仅当x=3时取等号．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．16.已知向量，满足，|，且（λ＞0），则λ=．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件即可求出的值，而由可得到，两边平方即可得到关于λ的方程，解出λ即可．【解答】解：；由得，；∴；∴4=λ2，且λ＞0；∴λ=2．故答案为：2．17.某地教育部门欲派5名工作人员到3所学校进行地震安全教育，每所学校至少1人，至多派2人，则不同的安排方案共有＿＿＿种。（用数字作答）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为。由，得；由，得.∴的递增区间是，递减区间是.

（Ⅱ）∵由，得，（舍去）由（Ⅰ）知在上递减，在上递增。又

，且.∴当时，的最大值为故当时，不等式恒成立。-------------------------------------------------9分（Ⅲ）方程，

记∵由，得或（舍去）。由，得.所以在上递减，在上递增。为使方程在区间上恰好有两个相异的实根，只须在和上各有一个实数根，于是有∵∴实数的取值范围是.

----------------------------------------14分19.如图，四边形ABCD是正方形，四边形ABEG是平行四边形，且平面ABCD⊥平面ABEG，AE⊥AB，EF⊥AG于F，设线段CD、AE的中点分别为P、M．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：MP∥平面BCE；（Ⅲ）若∠EAF=30°，求三棱锥M﹣BDP和三棱锥F﹣BCE的体积之比．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，得到EF⊥BC．再由已知证得EF⊥BE，利用线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE；（Ⅱ）设线段AB的中点为N，连接MN，PN．由三角形中位线定理可得MN∥BE，PN∥BC，再由面面平行的判定得平面MNP∥平面BCE，得MP∥平面BCE；（Ⅲ）设正方形ABCD的边长为a，连接MB，MD，BD，BP，解三角形可得VM﹣BDP，同理可得VF﹣BCE，则三棱锥M﹣BDP和三棱锥F﹣BCE的体积之比可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEG，平面ABCD∩平面ABEG=AB，由ABCD为正方形，得BC⊥AB，∴BC⊥平面ABEG，又EF?平面ABEG，∴EF⊥BC．又四边形ABEG为平行四边形，EF⊥AG，∴EF⊥BE，又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，∴EF⊥平面BCE；（Ⅱ）证明：设线段AB的中点为N，连接MN，PN．∵线段CD、AE的中点分别为P、M，∴MN∥BE，PN∥BC，则平面MNP∥平面BCE，故MP∥平面BCE；（Ⅲ）解：设正方形ABCD的边长为a，连接MB，MD，BD，BP，∵∠EAF=30°，则EF=，∠AEB=30°，∴BE=2AB=2a，∴=．同理，连接FB，FC，则=．∴VM﹣BDP：VF﹣BCE=1：4．【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.在中，已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．参考答案：（Ⅰ）解：在中，，……………2分由正弦定理，．所以．……………5分（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，……………7分，……………8分……………9分……………12分21.（12分）（2015?钦州模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥A1B；（2）求三棱锥C1﹣ABA1的体积．参考答案：【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）取AC中点O，连A1O，BO，由已知得A1O⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面A1OB，由此能证明AC⊥A1B．（2）由，利用等积法能求出三棱锥C1﹣ABA1的体积．（1）证明：取AC中点O，连A1O，BO．∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC，…1分又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分∵A1O∩BO=O，∴AC⊥平面A1OB，…3分又A1B?平面A1OB，…4分∴AC⊥A1B…5分（2）解：由条件得：…6分∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，∴，，…9分∴=…10分=．…12分【点评】：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．22.已知抛物线的通径长为4，椭圆的离心率为，且过抛物线的焦点.(1)求抛物线和椭圆的方程；(2)过定点引直线交抛物线于两点(点在点的左侧),分别过作抛物线的切线,且与椭圆相交于两点.记此时两切线的交点为点.①求点的轨迹方程；②设点,求的面积的最大值,并求出此时点的坐标.参考答案：(1)根据抛物线的通径长2p=4,得抛物线的方程为由题意焦点坐标为