广东省惠州市左潭中学2021年高二数学文测试题含解析

广东省惠州市左潭中学2021年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的部分图象大致为(

)参考答案：D2.过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为(

)A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0参考答案：A【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．3.直线3x+2y+5=0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（0，﹣3） D．（﹣3，2）参考答案：A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先把（0，0）代入3x+2y+5，然后检验选项中的坐标代入与该值正负一样的即为符合条件的点【解答】解：把（0，0）代入3x+2y+5=5＞0把（﹣3，4）代入3x+2y+5=3×（﹣3）+2×4+5=4＞0∴（﹣3，4）与（0，0）在同一区域故选A4.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.原点和点（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略6.A．

B．

C．D．参考答案：A略7.已知数列中，，，则此数列的前10项和（

）A．140

B．120

C．80

D．60参考答案：B是公差为的等差数列，，故选B.

8.等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且Sn有最小值,那么以下四个结论：①公差d＞0；②；③；④当n=18时，Sn取得最小正值．其中正确的是

（

）

A．①②

B.①④

C.①③

D.②③

参考答案：B9.已知命题“若函数在(0,+∞)上是增函数，则”，则下列结论正确的是A.否命题是“若函数在(0,+∞)上是减函数，则”，是真命题B.逆命题是“若，则函数在(0,+∞)上是增函数”，是假命题C.逆否命题是“若，则函数在(0,+∞)上是减函数”，是真命题D.逆否命题是“若，则函数在(0,+∞)上不是增函数”，是真命题参考答案：D【分析】本题首先可以根据原命题“若函数在(0,+∞)上是增函数，则”写出原命题的逆命题、否命题以及逆否命题，然后判断出四种命题的真假，即可得出结果。【详解】原命题“若函数在(0,+∞)上是增函数，则”，是真命题；逆命题为“若，则函数在(0,+∞)上是增函数”，是真命题；否命题为“若函数在(0,+∞)上不是增函数，则”，是真命题；逆否命题为“若，则函数在(0,+∞)上不是增函数”，是真命题，综上所述，故选D。【点睛】本题考查命题的相关性质，主要考查原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的相关性质以及联系，考查推理能力，是简单题。10.过坐标原点O作圆的两条切线，切点为A，B，直线AB被圆截得弦|AB|的长度为A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.空间向量与所成的角为_________．参考答案：略12.函数的单调递减区间是

。参考答案：13.若复数，则的虚部为_____．参考答案：2【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由题意，复数，所以，所以的虚部为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念，其中解答熟记复数的乘法运算，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.有名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k位同学看到的像用数对(p,q)（p<q）(其中q-p=k)表示外,还规定:若编号为k的同学看到的像用数对（p,q）,则编号为k+1的同学看到的像为（q,r）,(p,q,r)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是

。参考答案：（14，19）15.曲线在处的切线方程为

。参考答案：16.已知，且满足，则的最小值为

.参考答案：317.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=（a+1）n2+a，某三角形三边为a2，a3，a4，则该三角的面积为．参考答案：【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意求得数列的前两项，得到公差，结合等差数列的前n项和是常数项为0的n的一次或二次函数求得a，得到具体的首项和公差，求得a2，a3，a4的值，再由海伦公式求面积．【解答】解：令n=1，得到a1=S1=2a+1，令n=2，得到a1+a2=S2=5a1+4，∴a2=3a+3，故公差d=（3a+3）﹣（2a+1）=a+2，又由等差数列{an}的前n项和为Sn=（a+1）n2+a，得到a=0，∴等差数列的首项a1=1，公差d=2，∴a2=3，a3=5，a3=7，设P=，则三角的面积为S==．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，训练了利用三角形三边求三角形面积的方法，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥中，已知△是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且，（1）求证：平面；（2）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.参考答案：解：（1）取AC的中点H，因为AB＝BC，BH⊥AC．因为AF＝3FC，F为CH的中点．而E为BC的中点，EF∥BH．则EF⊥AC．由于△BCD是正三角形，DE⊥BC．因为AB⊥平面BCD，AB⊥DE．因为AB∩BC＝B，DE⊥平面ABC．DE⊥AC．而DE∩EF＝E，AC⊥平面DEF（2）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．所以当CF＝CN时，MN∥OF．所以CN＝（3）略19.(10分)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.

（1）求证：MN//平面PAD

（2）求证：MN⊥CD

（3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.

参考答案：证明：（1）如图，取PD的中点E，连结AE、EN则有EN//CD//AB//AM，且EN=CD=AB=MA.

∴四边形AMNE是平行四边形.∴MN//AE.∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN//平面PAD.…………3分

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD//AB，∴MN⊥CD.…………6分

（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.又∠PAD=45°，E是PD中点，∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.…………10分略20.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1的中点，M为棱DC的中点．（1）求证：平面FB1C1∥平面ADE；（2）求证：D1M⊥平面ADE；（3）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）只需证得FDEB1为平行四边形，即可得D1E∥BF．平面FB1C1∥平面ADE（2）建立如图所示坐标系，正方体棱长为2，则A（2，0，0），D（0，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），M（0，1，0），E（2，2，1），利用向量法求二面角的余弦值【解答】证明：（1）∵AD∥B1C1又B1E∥DF且B1E=DF∴FDEB1为平行四边形∴D1E∥BF．又B1F∩B1C1=B1，DE∩AD=D∴平面FB1C1∥平面ADE（2）建立如图所示坐标系，正方体棱长为2．A（2，0，0）D（0，0，0）C（0，2，0）D1（0，0，2）∴M（0，1，0）E（2，2，1）既，，

∵，，∴D1M⊥DE，D1M⊥DA∴D1M⊥平面ADE；（3）∵，设平面A1DE的法向量∵，可取而平面ADE的法向量为∴==即二面角的余弦值为【点评】本题考查了空间面面平行的判定，向量法求面面角，属于中档题．21.今年全国高考结束,某机构举办志愿填报培训班,为了了解本地考生是否愿意参加志愿填报培训,随机调查了80名考生,得到如下2×2列联表

愿意不愿意合计男a5M女bc40合计N2580

(1)写出表中a、b、c、M、N的值,并判断是否有99.9%把握认为愿意参加志愿填报培训与性别有关;(2)在不愿意参加志愿填报培训的学生中按分层抽样抽取5名学生,再在这5人中随机抽取两名做进一步调研,求两人都是女生的概率.参考公式：附：0.500.400.250150．100.050.0250.0100.0050.0010.460.711.322.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（1），，，，，有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关.（2）【分析】(1)完善列联表，计算，与临界值表作比较得到答案.(2)抽取的5名学生中有男生1人，设为，女生4人，设为1,2,3,4，排列出所可能和满足情况的种数，相除得到答案.【详解】(1)，，，，，∵的观测值∴有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关.（2）由题知，抽取的5名学生中有男生1人，设为，女生4人，设为1,2,3,4，在这5人中抽取2人共有，共10种，其中都为女生的有共6种，∴两人都是女生的概率.【点睛】本题考查了独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.22.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【分析】（I）由题意，由于可证得CD⊥平面A1ABB1．故点C到平面的距离即为CD的长度，易求；（II）解法一：由题意结合图象，可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；解法二：根据几何体的形状，可过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1两两垂直，则以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．给出各点的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量的夹角即为两平面的夹角．【解答】解：（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．故CD⊥平面A1ABB1．所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==（II）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1．又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D．从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD?A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立