广东省广州市环城中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

广东省广州市环城中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的个数为(

).

A.

B.

C.

D.多于个参考答案：答案：C2.已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为A.3

B.2

C.

D.参考答案：A易证得∽，则，即；同理∽，，所以，又，所以，整理，得，故选A.3.已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（﹣1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由图象关于直线x=1对称得f（2﹣x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+4）=f（x），得f（x）是以4为周期的周期函数再求解．【解答】解：∵图象关于直线x=1对称，∴f（2﹣x）=f（x），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（2+x）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数．∵f（1）=﹣1，f（2）=﹣f（0）=0，f（3）=f（2+1）=﹣f（1）=1，f（4）=f（4+0）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）=0，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和对称性以及性质间的结合与转化，如本题周期性就是由奇偶性和对称性结合转化而来的，属于中档题．4.复数z满足，则z=（

）A． B． C． D．参考答案：A由，则，故选A．

5.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则 B．若,,则C．若,,则 D．若,,则参考答案：B6.若，则a的取值范围是（

）A.（0，1）

B.

C.

D.参考答案：B因为函数满足，所以函数为递减函数，所以有，即，所以，解得，选B.7.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于

（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A解析：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于=，选A。8.函数图象的一个对称轴方程是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B因为，当时，取得最大值，故一个对称轴方程是9.已知定义在上的函数，满足，且当时，若函数在上有唯一的零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D10.已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为

（A）10

（B）8

（C）2

（D）0参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量满足、之间的夹角为，则=

▲

。参考答案：略12.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB＝2，BC＝CD＝1，∠BCD＝60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为

．参考答案：13.已知，若，且方程有5个不同根，则的取值范围为________参考答案：【分析】设，作出函数的图象，由方程有个不同根转化为二次方程的两根，，并构造函数，转化为二次函数的零点分布，得出，结合，可作出关于、的不等式组，作出可行域，将视为可行域中的点到直线的距离，结合图象可得出答案.【详解】作出函数的图象如下图所示：设，则方程有个不同根转化二次方程的两根，，构造函数，可得不等式，即，结合，作出图形如下图所示，不等式组表示的平面区域为边长为的正方形，不等式组表示的区域为下图中的阴影部分（不包括轴），代数式视为可行域中的点到直线的距离，当点与点重合时，，结合图形可知，取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查复合函数的零点个数问题，涉及二次函数零点分布、线性规划以及点到直线的距离，解题的关键在于将问题转化为二次函数零点的分布，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.14.函数在定义域内的零点的个数为

参考答案：2个15.=．参考答案：3【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】借助指数函数的运算法则，先把原式等价转化为，由此能够得到它的极限值．【解答】解：==3．故答案为：3．【点评】本题考查极限的性质和运算，解题时要注意指数运算法则的合理运用．16.已知集合，则等于(

)

A．

B．C．

D．参考答案：C略17.已知为坐标原点，点.若点为平面区域上的动点，则的取值范围是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

参考答案：解：（1）函数的定义域为，∵，

∵，则使的的取值范围为，Ks5u故函数的单调递增区间为．

（2）方法1：∵，∴．

令，

∵，且，由．∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，

故在区间内恰有两个相异实根

即解得：．综上所述，的取值范围是．

方法2：∵，∴．

即，令，∵，且，由．∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．∵，，，又，故在区间内恰有两个相异实根．

即．综上所述，的取值范围是．

略19.已知函数，．

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．参考答案：见解析【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合解：（Ⅰ）由已知

当

，即，

时，

（Ⅱ)当时，递增

即，令，且注意到

函数的递增区间为20.（本小题满分12分）李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线（如图），路线上有、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.（Ⅰ）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.参考答案：（Ⅰ）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，

……………1分则，

……………3分所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为.

……………4分（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2.

……………5分

.

……8分随机变量的分布列为：012所以.

……………10分（Ⅲ）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以.

因为，所以选择路线上班最好.……………12分21.设函数，曲线处的切线斜率为0（I）求b;（II）若存在使得，求a的取值范围。参考答案：：（I），由题设知,解得b=1.……………4分(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+￥),由(Ⅰ)知,，(i)若，则，故当x?(1,+￥)时,f'(x)>0,f(x)在(1,+￥)上单调递增.所以,存在31,使得的充要条件为，即所以--1<a<-1;(ii)若，则，故当x?(1,)时,f'(x)<0,x?()时,,f(x)在(1,)上单调递减，f(x)在单调递增.所以,存在31,使得的充要条件为，而，所以不和题意.(ⅲ)若，则。综上，a的取值范围为：22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，点M的坐标为(3，)，曲线C的方程为ρ=2sin(θ+)；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点M．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若P为曲线C上任意一点，曲线l和曲线C相交于A、B两点，求△PAB面积的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出点M的直角坐标为（0，3），从而直线方程为y=﹣x+3，由，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）求出圆心（1，1）到直线y=﹣x+3的距离，从而得到圆上的点到直线L的距离最大值，由此能求出△PAB面积的